CHAPITRE II

TlléORKME I.

591. Le carré B O construit sur V hypoténuse BC Fig. 183. d’un triangle rectangle ABC est équivalent à la

202 LEÇOîfS DK GÉOMÉTRIE.

somme des carrés AD et AF construits sur les deux autres côtés de ce triangle.

Abaissons du sommet A de l’angle droit la perpendiculaire AI sur l’hypoténuse, et prolongeons-la jusqu’au coté opposé du carré RO : nous partagerons ainsi ce carré en deux rectangles BL et CL, que je dis être équivalents aux carrés correspondants AF et AD. Pour le démontrer, je joins AK et FC, et je forme ainsi les deux triangles FBC et A B K, qui sont les moitiés respectives de AF et de BL; car le triangle FBC, par exemple, a la même base F B et la même hauteur AB que le carré AF. Or, ccs deux triangles sont égaux : en effet, l’angle FBC, composé de l'angle ABC et du droit FBA, est égal à l’angle ABK, composé du même angle ABC et du droit CB K. De plus, les deux côtés F B et BC, qui comprennent l’angle FBC, sont égaux chacun à chacun aux côtés AB et B K qui comprennent l'angle ABK : donc les triangles FBC et ABK sont égaux, c’est-à-dire que la moitié du carré AF est égale à celle du rectangle BL; donc ce carré et ce rectangle sont équivalents. On prouverait de la même manière que le carré AD et le rectangle CL sont aussi équivalents : donc le carré BO, somme des deux rectangles BL et CL, est aussi la somme des deux carrés AF et AD.

592. Corollaire i. Les deux rectangles BL, CL, et le carré BO, ayant même hauteur IL, sont proportionnels à leurs hases (560) : ainsi l’on aura la suite de rapports égaux :

BL ou AF : BI :: CL ou AD : IC :: BO : BC,

c’est-à-dire que les carrés construits sur les trois côtés d’un triangle rectangle sont proportionnels aux projections de ces côtés sur l’hypoténuse.

593. Corollaire: ii. Les carrés jaits sur les cordes qui partent des extrémités d’un môme diamètre sont proportionnels aux projections de ces cordes sur ce diamètre : car le rapport du carré de chaque corde

AB à sa projection BI sur le diamètre BC est égal (392) au rapport du carré de ce diamètre à ce même diamètre, et ainsi ce rapport est constant.

594. Sciiolie. On aurait pu déduire le théorème qui précède et scs deux corollaires de celui du u° 253, 4° et 5°, et du corollaire n i (237) : car l’aire du carré construit sur une droite ayant pour mesure le carré du nombre abstrait qui exprime la longueur de cette droite (3G4), on voit que dire, par exemple, que le carré de la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle est égal à la somme dos carrés des longueurs des deux autres côtés de ce triangle, revient h cette proposition : Le carré construit sur l’hypoténuse d’un triangle rectangle est équivalent à la somme des carrés construits sur les deux autres côtés, etc.

En général , on pourra substituer aux expressions carré de la longueur d’une ligne et produit des longueurs de deux lignes les expressions respectives carré construit sur cette ligne et rectangle construit sur ces deux lignes : ainsi , par exemple, ce théorème d’algèbre, que le carré de la somme ou de la différence de deux nombres est égal à la somme des carrés de ces nombres augmentée ou diminuée de leur double produit , revient à ce théorème de géométrie : Le carré construit sur la somme ou la différence de deuxdroites est équivalent a la somme des carrés construits sur ces deux droites augmentée ou diminuée du double du rectangle qui aurait l’une d’elles pour base et l’autre pour hauteur (•).

(') 1° Sur la droite AC, somme des deux lignes données AB Fig. 184. et BC, construisez le carré AC. DF; prenez AGr=AB , et par les points B et G menez les droites B I. et G I parallèles à A F et à AC. De cette manière le carré AD sera la somme des quatre ligures AK, DK, F K et CK. La première est le carré construit sur AB; la seconde est un carré dont le côté est égal ABC: car la figure KD a ses quatre angles droits, le côté K I = BC ;

L1C, qui est égal à F G, différence de AF et de AG, est ainsi égal à BC, différence des lignes AC et AB égales à celles-ci ; enfui

Théorème II.