K — Z ' K—M ' K—N ' DEF

On voit facilement sous cette forme très-simple que Téquationdu troisième degré, en supposant les quantités Lj M^ N rangées par ordre de grandeur, a trois racines réelles, comprises entre les quantités — <X) ^ L^ M^ N\ on les quantités L^ M^ iV, -|-oo , suivant que le produit DEF est positif ou négatif.

Pour que l'ellipsoïde des moments d^inertie

. A5>-f-Bu»-t-CÇ^ — 2DiïÇ— 2EK— 2F?n= i

soit de révolution, il faut que Téquation

K — Z 1L—M • K— iV • DEF

ait deux ri^cines égales. Or chacune de ces deux racines ^ales devra annuler à la fois et le premier membre de l'équation primitive et son polynôme dérivé

(K— L)»^(K — il/)»^(K— AT)' '

après toutefois qu'en chassant les dénominateurs on les aura écrits sous formes finies

^,(K-A/)(K-iV)+^(K-Z)(K-iV)

Or celte condition ne sera remplie qu^autantqueTon aura

En effet, la valeur K = L = M vérifie en apparence les deux équations; mais si avant de faire K = Lz=zMjei si, pour faire disparaître les facteurs communs, on divise la première par K — Z = K — M^ la seconde par

(K — Ly = (K — My, elles deviennent

et Ton ne pourra vérifier ces dernières qu'autant que Ton fera aussi K== iV, et que Ton aura, par conséquent,

Donc pour que Téquation des moments d'inertie principaux ait deux racines égales, il ne suffit pas, conune on Ta souvent affirmé» que Tune des conditions

L=zMy M=z]V, N=Ly

soit vérifiée; il faut encore que Ton ait

Lz=M=N.

Pour que les trois racines fussent égales ou que Fellipsoïde fût une sphère, il faudrait, eu outre de

MOMENTS d'iVEATIE. iyj

que Ton eût

et, par conséquent,

178. Supposons maintenant qu^on veuille déterminer le moment d'inertie du système des points matériels M, M', . . . par rapport à un axe qui forme toujours avec ceux des x, j^, 2, les angles ï, fx, v, mais qui passe par un point CV distinct de Torigine* Soit toujours K le moment dUuertie relatif à Taxe parallèle passant par Torigine, K' ce même moment relatif à l'axe passant par le point Çy^ ay &, c, les coordonnées de ce point; d^ eid' les distances de Torigioe O et du point M au nouvel axe; fi la somme 2m des masses m, m', ... ; et enfin Xx^ y\^ Zi, les coordonnées du centre de gravité du système des points M, M'. . . -, on aura

De plus, pour déduire la distance d' de la distance^ déterminée par Téquation

d^ = .r» -I- ^» -i- 2» — (x cos> -h/ cosft -h z cos v)*,

il suffira évidemment de transporter Torigine au point O' dont les coordonnées sont a, 6, c, en changeant x^y^ z en a: — û, j — i, z — c, on aura donc

rf'« == {x — aY 4- (r ^ ^Y -^ («—0'

— [(« cosX -+-/ cosfi 4- z cosv) — (a cosX + b cos|*-f-coosv)f .

En faisant dans cette dernière équation

^ = 0, r = o> ;: = o, on aura la distance d^ de Torigine au nouvel axe, distance

déterminée par Téquation

</J = a»4- b^-^c* — (acosX -♦- b coSfi-4-ccosT»)% on trouvera par suite

4-2(^1 cosX 4- bcosit.-\-ccosv)(xcos\ -hJ^co$fiH-«cosv); puis en ayant ^ard aux équations

2m^/'» = K' = K H- pL£/; — 2fx (fl.«, -f- bxt -h «i )

-4- 2f*(a COS> -h^COSp+roOSv) (x, COS X-+-J^, COSfi+^i cos>).

Si l'on fait coïncider Torigine avec le centre de gravité du système des points M, M',. . •, Xi, j^i,Z|, s'évanouiront et r équation qui précède donnera

cette dernière formule comprend le théorème suivant :

Théoreke m. — Pour obtenir le moment d^ inertie d*un système de points matériels par rapport à un axe quelconque, il sujfit d^ ajouter au moment d^inertie relatif à un axe parallèle passant par le centre de gratuité la somme des masses des différents points multipliée par le carré de la distance entre les deux axes.

Il en résulte que le moment d'inertie relatif à un axe quelconque est toujours plus grand que le moment relatif à un axe parallèle mené par le centre de gravité; et, par conséquent, que le plus petit des moments d'inertie relatifs à des axes passant par le centre de gravité est minîmum minimorum^ ou le plus petit possible de tous les moments d'inertie du système.