X- = ^Ç» -h îi' -h ÇS cosX=jî coSf* = -7 cosv
En substituant ces valeurs de cosX, cos/i, cosv dans la première des équations quidonnent le moment d'inertie K, on trouve
AP-t- B»i>4- CÇ* — aDÇn — 2EÇÇ — aFÇ», = 1.
Les coefficients Â, B, C étant essentiellement positifs, de plus le moment d'inertie K, et par suite le* rayon vecteur Ar, étant toujours une quantité finie, la surface représentée par la dernière équation est nécessairement un ellipsoïde qui a pour centre Torigine des coordonnées, et l'on arrive ainsi au théorème suivant :
Théoaème P'. — - Considérons un système fie points
MOMENTS d'inertie. SSp
matérieis M, M', M '',..., ee supposons qu après avoir mené par un point O pris à volonté dans r espace une infinité d'àxes on détermine les moments dUnertie du système par rapport à ces mêmes axes^ si à partir du point O on porte sur chaque axe une longueur numériquement équii^alente à F unité divisée par la racine carrée •du moment d^inertie correspondant, les extrémités de ces diverses longueurs feront partie de la surface d'un ellipsoïde dont le point O sera le centre.
Si tous les points matériels du système étaient situés sur un même axe, le moment d'inertie relatif à cet axe deviendrait nul, et la longueur correspondante serait infinie, d^où il résulte que Tellipsoïde se transformerait en une surface cylindrique.
174. La direction des axes coordonnés étant arbitraire, on pourra toujours faire coïncider ces axes avec ceux de Tellipsoïde dont nous venons de parler. L'équation de cet ellipsoïde ne devra plus dès lors re^ifermer les doubles produits xjr^ xz ^yz , de sorte que Ton aura
D = o, E=o, F = o, et, par suite,
2 myz = o , S/nzjc =; o , Imxjr = o.
On arrive alors à cette importante conclusion :
Théokème il — On peut toujours faire passer par nn point donné O trois axes rectangulaires tellement choisis y quen les prenant pour axes coordonnés on fasse évanouir les sommes que Von obtient en multipliant la masse de chaque point matériel par les doubles produits des coordonnées de ces points. Ces trois axes sont ceux qu'on a nommés les axes principaux du système relatifs
SpO STATIQUE.
au point O. On appelle moments d* inertie principaux ceux qui se rapportent à ces mêmes axes.
Lorsque Tellipsoïde est de révolution^ il exbte une infinité de systèmes d'axes rectangulaires propres à faire disparaître de son équation les douMes produits, et propres, par conséquent, à faire évanouir les trois sommes
l^myzj I mzx , 2 mxy ;
en d'autres termes, il existe une infinité de systèmes d'axes principaux. Chacun de ces systèmes se compose : i^ de Taxe de révolution; 2^ de deux autres axes passant par le centre de Tellipsoïde et se coupant à angle droit dans le plan de son équateur.
Si Tellipsoïde se réduit à une sphère, tout système de troia axe& rectangulaires passant par rorigine fait disparaître les doubles produits, et forme par conséquent un système d'axes principaux.
175. n existe, éomme nous venons de le prouver, des relations nécessaires entre les moments dMnertie pris par rapport à divers axes passant par le point O et les rayons vecteurs d'un certain ellipsoïde. Dès lors toute propriété de ces rayons vecteurs, toute relation qui les fera dépendre l'un de Fautre entraînera nécessairement une propriété correspondante des moments d'inertie, et établira entre eux des relations plus ou moins importantes, qui dans un grand nombre de cas permettront de les déduire les uns des autres.
Ainsi : 1^ comme en vertu de Téquation
la valeur du moment d'inertie k augmente tandis que le rayon vecteur k diminue, et réciproquement, il est clair '
MOMENTS d'iuertie. 3gi
que Tun des moments d'inertie, celui qui cori^espondra au grand axe de rellipsoïde sera le moment d'inertie minimum; tandis qu'un autre, celui qui correspondra au petit axe de l'ellipsoïde, sera le moment d'inertie maximum.
a^ Quand l'ellipsoïde est de révolution, les rayons vecteurs qui font le même angle avec l'axe de révolution sont égaux ; il en sera donc aussi de même des moments dMnertie par rapport a des axes qui formeront des angles égaux avec ce même axe de révolution.
3^ Si Tellipsoïde devient une sphère, tous les moments d'inertie seront égaux.
4*^ Si Ton fait coïncider les axes coordonnés avec les axes principaux, Téquation de l'ellipsoïde et celles qui donnent la valeur d'un moment d'inertie quelconque deviennent
Ax»-hB/»-hC«'=i, K. = AcosU 4- Bcos»fA-h Ccos'v, K = G sin» > H- Hsin> 4- I sinS .
En désignant par K', K^, K'^', les trois moments d'inertie principaux, ou les moments d'inertie relatifs aux axes actuels des jr, jr, 2, nous aurons
K' = A, K*' = B, K-'zrrC, et, par suite,
K = K' cos'> + K" cos» fx -t- K*' cosS ;
cette dernière formule donne un moyen très-facile de calculer les moments d'inertie relatifs à un axe quelconque, quand on connatt les moments d'inertie principaux et les angles que forme Taxe dont il s'agit avec les axes principaux.
5^ Considérons un système de trois axes rectangulaires
39 a STATIQUE.
quelconques, et désignons par Ki, Kj, K| les moments d'inertie relatifs à ces trois axes; par X|, fXj, V|, X», |ui,, Vt? ^s 1 f^s ) Vs 9 les angles que ces mêmes axes font avec les axes principaux ; on aura
cos' X| -h cos' X, -t- cos' Xj = I , cos' fil 4- ces' fAi -f- cos' pij = I , cos* »i -h cos* V, -h ces* V, = I ,
K, == K' cos^X, 4- K" cos>, 4- K" cos» v, , K,=K'cos»X,-+-K''cDsVt4-K*' cos»v„ K3 = K' cos*X5-h K" co»V, -h K*' cos» V, ,
de sorte que la somme des moments d'inertie relatifs à ces trois axes rectangulaires est constante et égale à la somme des moments d'inertie principaux.
176. On détermine les axes et les moments principaux dHnertie en déterminant en grandeur et en direction les axes principaux de rellipsoïde. En^ effet, le rayon mené du centre de Tellipsoïde au point ^, y?, ^^ situé sur la surface sera un axe principal sMl devient perpendiculaire au plan tangent, c'est-à-dire s*il vient k coïncider avec la normale. Or Téquation de Tellipsoïde étant
a = AÇ»4-B»î»4-CC»— 2D19Ç — 2EÇÇ— 2FÇ1Ï — 1 = 0,
le rayon vecteur et la normale font avec les axes des angles dont les cosious sont respectivement proportionnels aux quantités
Ç, ^ = 2(AÇ-F„-EÇ),
n, ^=2{-FÇ4-Bi,-DÇ),
C, ^=2(-E5 — D^-hCt).
MOMENTS d'I2IBETI£. SpS
Dès lors, pour que le rayon vecteur coïncide avec la nonnale et devienne un axe principal, il faudra que Ton ait
Ag — Fi> — El; --Fg-f-Bn-Ds — Kg — P»»-+-CS.
mais ^, y], ^ sont aussi proportionnels à cos X, cosfx^ cos v, on aura donc
AcosX — Fcosfi — Ecosv — F cos X -h Bcosft — Dcosv
cos X cos ft
— E cos X — D cos pi 4- C cos v cos y
Acos^X+Bcos'pi-i-Ccos'v— 2D cosp cos^—aE cosX cosi»— aFcos) cos fi ^
cos' X -I- cos' f* 4- cos' V
K étant le moment d^nertie correspondant au rayon vecteur devenu axe principal, et, par conséquent, un des moments principaux. On tire des équations qui précèdent :
(K — A) cos X 4- F cos f* -f- E cos v = o , FcosX -f- (K — B) cosfi + Dcosv =o, £cosX4- Dcosft4- (K.— C)cosv = o.
L^élimination de X, |ui, v, entre ces trois équations conduit â Téquation du troisième degré
— C'{K — C)-t-2DEF = o,
qui aura trois racines réelles et finies; ces racines seront précisément les valeurs des moments d^inertie principaux. A ces moments correspondront trois systèmes de valeurs des angles X, [ly v déterminées par les équations qui précèdent, d'où l'on tire
COSX cos fi cosv
€68 trois systèmes de valeurs déterminent la direciion des trois axes principaux.
177. L'équation du troisième degré à laquelle nous sommes parvenus se présente dans un grand nombre de questions importantes. M. Binet aï démontré le premier que ses racines représentaient les moments d'inertie prin* cipaux ^ on peut lui donner une autre forme qui fasse apercevoir immédiatement la réalité de ces racines.
L'équation
(K — A)cosX-l-FcoSf*4-Eco5v = o donne
F cosft -f- E cosv = ( A — K) cos l ,
ou, en divisant par EF et ajoutant^ux deux membres — =r-9 cos> cosp cosv cos> / EF \
On trouverait de même
cos> cosp cosv cosf* / DF \
~D- "^ ~Ë~ "^ ~r ="dF \^+ T-*^ j'
cosX cosiA cosv cosv / DE „\
et en posant
