Les théorèmes ci-dessus démontrés s'étendent au
MOME ATS D^ INERTIE. 'd^g
cas même où le nombre des points matériels M, M', . • . devient infini, et où le système de ces points se transforme en un corps solide.
Lorsque le corps est bomogène, et qu'un plan mené par l'origine ou par le point commun à tous les axes que nous avons considérés dans le premier théorème, divise le corps en deux parties symétriques, ce plan renferme évidemment deux axes de Tellipsoïde des moments d'inertie, et par conséquent deux des axes principaux relatifs au point commun à tous les axes. De cette remarque on tire immédiatement la proposition suivante :
Théorème IV. — Lorsque par te centre de gra\fiié (Tun corps solide homogène on peut mener trois plans dont chacun divise le corps en deux parties ^métriques y les droites d^ insersection de ces mêmes plans sont précisément les axes principaux relatifs au centre de grai^ité.
Ainsi, par exemple, dans un parallélipipède rectangle et dans un ellipsoïde homogènes les axes principaux relatifs au centre coïncident avec les droites menées par le centre parallèlement aux arêtes du parallélipipède ou aux axes de Tellipsoïde.
180. On peut résoudre d'une autre manière, et plus analytiquement, le problème relatif à la détermination des positions des trois axes dMnertie principaux et rectangulaires. En effet, soient x,j^, z, les coordonnées relatives aux axes actuels, x, y, z les coordonnées relatives au système cherché de trois axes principaux rectangulaires, Torigine restant la même , et posons, comme.nous Tavons déjà fait,
Im^z = D , Imxz = E , Imx/ = F. (Dans tout ce qui va suivre, si, au lieu d'un système de
4oO STATIQUE.
poînls matériels on considérait un corps solide, les sommes
2/iix% X/ïl>^% 2/W3', 2 mxy^ 2 mxz , 2 ntzy-j
seraient remplacées par les intégrales définies
Appelons («, 6, y), (a', 6', /), («^ 6^ y'') les angles que les trois axes principaux des x, des y, des z font avec les axes des x, y^^ z^ et posons encore
2/wx*=X, 2/?iy'=Y, 2iWZ»=Z.
Puisque par hypothèse les trois axes des x, y, z sont des axes principaux, on aura
2/7zyz=o, 2/?îzx = o, 2/wyx=o.
Comme on a, d'ailleurs,
x = 4rcosa-i-j^cos6+2COS7, j?=:xcosa -f-ycosa'-hzcosa",
xar = x(xco5a-+-^cos6 H- zoosy) = X (xeosa -h y CCS a' -f- zoos a"),
et, parce que
2//ïyx = o, 2/WXZ=:0, ces a 2 /wx' 4- cos 6 Zmjry 4- cos 7 2 mjrz = cos a 2 w x',
OU
(G — X) cos oc + F cos 6 H- E cos 7 = o ;
on trouvera de même
F cos a -h ( H — X) cosê H- D COS7 = o , E cos a -4- D cos 6 -H (I — X ) cos 7 = 0.
Si entre ces équations on élimine cos a, cos 6, cos 7, 00
trouve
-F*(I— X)4-aDEF= ô.
Si dans les développements qui précèdent on avait introduit y et z au lieu de x , on aurait obtenu deux équations tout à fait semblables, dans lesquelles Y et Z prendraient la place de X. Les trois grandeurs X, Y, Z, sont donc les trois racines de cette équation du troisième degré résolue par rapport à X. Pour prouver que ces trois racines sont réelles, posons, pour abréger,
G cos a -4- F cos 6 -+- E cos^ = a , F rosa-h H cos 6 -h D 0057 = ^, E cos a 4- D cos 6 -f- I cos 7 = c .
Représentons toujours parX, Y, Z les trois racines de Téquation du troisième degré, et par a, h^ Cy <J^ V ^ </^ a". A", c" les valeurs de a, A, c respectivement correspondantes à X, Y, Z', on aura, en vertu de ce qui précède,
a = X cos a , fl' = Y cos a% a" ■= Z cos a", ^r=Xcose, b'=Ycosî', b*' = Zcos^\ c = X cos 7 , c' = Y cos 7', f" = Z cos 7".
Si Tune des trois racines de Téqaation, X par exemple, était imaginaire, comme Cous ses coefficients sont réels, une autre des racines, Y par exemple, serait conjuguée de la première^ et coecz, cosa', cosê, cos 6', cosy, cos/ seraient aussi des couples de racines imaginaires conjn* guéesj on pourrait donc poser
cosft =3= > -J- f* ^ — I, cosa'=> — f* ^— ij cos6 = V -+- p' v'^, cos 6' = V — p' V^^^,
4oa STATIQUE.
Mais on tire des dquations qui définissent les quantités a, />, c, «',&', c\
a cos «' H- A cos6' -f- c ca&y' a' cos a-h 0' cos 6 -+- </ r€>s 7
= cos a cos a' -H cos 6 cos S' 4- cos 7 cos 7'.
Les dénominateurs des deux fractions sont seuls inégaux, leurs numérateurs sont égaux entre eux et à
Gcosacosa' + l|ces€cos€'-1-' ICOS7 cos 7' -h D{co56c0S7' H- cos6' coS7)-+- E (cosa COS7' -4- cosa' COS7)
-h F(cos6cosa'-r cosS'oosa);
il faut donc, pour que Tégalité subsiste, que les numérateurs soient nuls, et que Ton ait aussi, par conséquent ,
cosa cosa'-H cos 6 cos€' -h co$7 cos 7' = o, ou
ce qui est absolument impossible. Les trois racines de Téquation du troisième degré en X sont donc réelles, et par conséquent on pourra toujours trouver des valeurs réelles pour les angles qui déterminent les directions d^s axes principaux. Des trois équations qui donnent les cosinus de ces angles, en supposant que les yaleurs de X, Y, Z satisfassent k Téquation du troisième d^ré, on tire encore
cosa[EF — D(G — X)]=cos6[DF— E(H— X)]
= cos7[DE — F(I-X)],
d'où, puisque
cos^ a -H cos' 6 H- cos' 7 =p i ,
MOMBMTS d'inertie. 4o3
et en faisant , pour abr^cr,
/* l£F~D(G-X)]«^[DF-.E(H — X)f
on tirera
