DE — F(I-Z

En outre, les moments A» B, C d'inertie relatifs aux trois aices principaux ainsi déterminés seront donnés par les

4o4 STATIQUE.

équalioiis

481 • S'il 8*agit d'un corps solide , et que dans ce corps il existe uo point qui jouisse de cette propriété que Iç^s moments d'inertie relatifs aux axes principaux passant par ce point soient égaux, on déterminera sans peine, de la manière suivante, les coordonnées de ce point. Prenons pour origine des coordonnées x^ y, zle centre de gravité, en sorte que Ton ait

et en outre, pour axes, les trois axes principaux relatifs au centre de gravité , afin que Ton ait aussi

fyzflfi ■= o , f JczdyL = o , Jxydy. :^ o .

Concevons maintenant qu'on mène par le point cherché dont les coordonnées soient ^9 vi» (^, trois nouveaux axes des coordonnées x, y, z parallèles aux premières, on anra

et pour que les nouveaux axes des x , y, z soient des axes principaux, il faudra que Ton ait

/xyrfp =/(.r - Ç) (jr „) ,/p = Ç>r/^fA = o, /xzrfpt=/(.r— Ç)(;:-Ç)rV = «/rff* = o, /yzr/fi =/( j- — >,) ( 2 — Ç) ^p = «ïÇ/'^p = o,

rt, par conséquent,

\n = o, $; = 0, nÇ = o,

c'est-à-dire que le point cherché doit toujours être situé sur un des axes principaux passant par le centre de gravité. Si Ton appelle A', BS C les moments d'inertie priu-

MOUEKTS d'inertie. 4o5

cipaux relaiifs âVL% axe& dea x, y, z, on aura (n^ 178)

Sî l'on doil avoir, comme nous le supposons, A'=== B' =^ C, on devra avoir aussi

A — fxÇ' = B — pwî^ r= C — pÇ^

Si, par conséquent, on avait Ç = a^ vi :?= o, ou si le point

cherché était aitné sur Taie principal des z^ il Caiidrait

que l'on eût

A = B et C>A,'

et comme alors on aurait

;==ti/^.

il existerait sur Taxe^es z deux points jouiséant de la propriété énoncée. Si le point ^, y}, ^ avait été sur Taxe des y^ on aurait du avoir

Si enfin il avait élé sur Taxe des .r, les deux conditions

auraient dû être remplies. Donc pour qu'il existe dans un corps un pcnnt doué de cette propriété que tous les moments d'inertie relatifs à des axes principaux passant par ce point soient égaux, deux des moments d'inertie relatifs aux axes principaux passant par le centre de gravité doivent être égaux, et le moment relatif au troisième axe principal doit être .plus grand que les deux moments égaux. Il existe alors sur le troisième axe, à égales distances du centre de gravité, deux points qui possèdent la propriété cherchée. Si les trois moments relatifs aux axes |>rincipaux passant par le centre de gravité sont égaux,

4o6 8TATIQVS.

il n'existe dus le corps aucu autre poinl pour leqvel cette même égalité ait lieu.

i82. Chaque axe principal passant par le centre de gravité est aussi un axe principal relativement à chacun de ses autres points. En effet, soient x» y^ z les coordonnées relatives aux trois axes principaux passant par le centime de gravité, et O^ un point situé sur Taxe des x^ i ia distance a du cenu^e de gravité; menons par ce point Cy deux nouveaux axes des^ et des s, et appelons t, y, z les coordonnées relatives à la nouvelle origine; on aura

x = x — fl, j=x, * = «, et, par suite,

fikjdyL =Jxyd}f. — afyd^^ fxL d^ =Jxyd^ — â/s</p.

MsLisfxydii = o, fxzdyi = o, parce que Taxe des x est un axe principal, et •

parce que l'origine est le centre de gravité du corps; donc

fxjd^ = o, /XZ </fA =r o,

c'est-à-dire que Taxe des x est encore un axe principal relativement au point 0^. Cette démonstration prouve en même temps qu'un axe qui ne passe pas par le centre de gravité n'est axe principal que relativement à un de ses points.

i83. Si Ton appelle p la densité au point x, y^ «, on aura dii=ipdxdydz, et, par conséquent, les moments d^nertie relatifs aux axes coordonnés, moments que nous désignerons par A, B, C , seront donnés par les équations

A = ///(/' + z^)pdxdxdz, B=fff(x^ + z^Ypdxdjdz,

C = fff{j:*-i-X^)edxdydz.

Si le corps est homogène, bu s'il a partout la même den-

site, et que, pour abréger, on pose

fffx^dx<fydzz:zG, Jffj^dxdrdz^zH, ffft^dxdydz;=.I,

on a

A=rp(F4-/), B = p(G-hi), C = ^{G^B).

Les limites des intégrale! doivent naturellement être prises de manière à embrasser le corps entier.

i84. Faisons quelques applications de ces formules : 1^ supposons que le corps est un prisme ou un cylindre droit de section quelconque; prenons le centre de gravité pour origine des coordonnées, et pour axe des x Taxe longitudinal du cylindre dont la longueur est égale a aa; après les intégrations relatives à x faites depuis x= — a jusqu'à X = + a, on aura

dfdz.

L'axe des x sera toujours un axe principal , parce que, en vertu de Téquation I xdx = o , les deux intégrales

1 / / xjrdxdydzy 1 f 1 ^ndxdydz

sont identiquement nulles.

Admettons maintenant que le prisme est à base carrée, ou que la section normale à l'axe du prisme est un carré dont ai et a c soient les côtés parallèles aux axes des j" et des x, les limites dej^ seront — i, +&, celles de z — c^ -^ c^ et Ton aura

/ dzdy = ^bc, J I y^d;ydz = ^b*c,

f f z'djdz=z^bc'.

4o8 STATtQim.

et, par conséquent,

Le volume du prisme ^st %abcy sa masse Spo&c; en Tapp^lant fi^on aura définitivement

lies axes des jr et des ^ sont^ comme Taxe des x, des axes principaux, parce que

Si les trois dimensions a, i, c sont rangées par ordre de grandeur, de telle sorte que a>» & ^ c, on aura aussi

A>B>Ci si

// = 6., on aura A = B, si

a =z b =Cy on aura A = B = C.

Si la section du cylindre est une ellipse dont les demiaxes parallèles aux axes des y et des z soient b et c, on aura

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