W TT
= - A*r 1 cos*(fr/y = ^ A^c 1 cos*^(/f ,
MOMENTS DINERTIB. ^OQ
en posant Mais
/M . r/cOs4f COS2* 3\ ,
sin4f sin 2f 3
et par suite
on aura de mèroe
par conséquent,
Le volume du prisme est ^nabc^ sa masse (x = intpabcy et l'on a définitivement
les axes des j:, jr^ z sont encore ici des axes principaux. 2° Considérons un ellipsoïde dont les trois demi-axes parallèles aux trois axes des coordonnées x^ y^ z sont a, b^ c, ou don^ Téquation est
4lO STATIQUE.
En posant
a on aura
G= f f ix^dxdxdz
irr* 'kÙ {a^ — x*)
de même»
Le Volume de Tellipsoïde est
sa masse
et l'on a définitivement
Les trois axes sont encore des axes principaux; et si Ton a a^b'^Cy on aura C>B>A. Si a=zb=c^ ou si l'ellipsoïde est une sphère, on a A=B = C, les trois moments d'inertie principaux sont égaux, et le moment d'inertie de la sphère relativement à un axe quelconque passant
par le centre est ? fA^*» a étant le rayon de la sphère.
185. Quand on se propose d'ëv^laer le moment d'inertie d'an corps solide homogène, le moyen le plus simple est d'employer la formule (n^ 175)
K = G sinn -H H sinV + I sin'v«
et de déterminer les constanles G, H, I a l'aide de la division du corps solide en tranches infiniment minces comprises entre des plans parallèles aux plans coordonnés. Ainsi 9 en particulier, pour déterminer la constante
G = lmx\
ou (n® 173) le moment d'inertie du corps relatif au plan desjrZf on cherchera d'ahord le momeni d'inertie d'une
tranche très-mince du même corps, renfermée entre deux plans perpendiculaires i l'axe des x et correspondants aux deux abscisses x, x + Ax» Soit U l'aire de la section faite par le premier de ces deux plans dans le corps solide et p la densité du corps. La masse de la tranche dont il s^agit et son moment d'inertie par rapport au plan des jrz seront exprimés par deux produits de la forme
(i -t-t)pUAjr, (i -Hi)/>Ua:*Ûjr,
S désignant une quantité qui s'évanouira avec û^x et qui pourra changer de valeur quand on passera du premier prodoit au second. Cela posé, si l'on divise le corps en un très-grand nombre de tranches semblables à celles que nous venons de considérer, on trouvera pour la somme des moments d'inertie de tontes ces tranches
G=Z(i-ht)pUx»ùir,
le signe S se rapportant aux différentes valeurs de .r et de £kX'y puis, en faisant couverger ûx vers zéro, ou
4ia STATIQDB.
passant aux limita, on obUeiidra réquatian
pUx'dlr,
Xq et Xt représentant la plus petite et la plas grande des valeurs de Tabscissc x.
Cette formule est relative au cas général où la densité p est variable avec l'abscisse x\ et quand le corps est homogène, elle se réduit â
x*dx\
OU trouvera de la même manière
on aura donc définitivement , dans le cas général «
pourvu que Ton désigne par y^ et j^i la plus petite et la plus grande des valeurs é&jr relatives aiLX divers points du solide; par z^ et Zx la plus petite et la plus grande des valeurs de z\ enfin par V et W les aires de deux sections faites dans le corps par des plans perpendiculaires aux axes des y et des z, correspondants le premier à Tordon* née j^, le second à l'ordonnée z .
186. Pour montrer une application de ces formules, roncevous que le corps solide soit un parallélipipède rectangle et homogène, dont le centre coïncide a%e€ lo-
MOMEMTS d'iNERTIB. 4^3
rigint^ et dont les arêtes soient parallèles anx axes des x, y^ z. Si l'on désigne par a, b^ c ces trois arêtes et par p la masse du parallélipîpMe, on aura évidemment
H--rt -h- «
On trouvera de même
CI, par suite, Ton aura
a'sin'X -f- ^'sin';* -f- <?*sîn'v
Tel sera le moment d^nertie du parallélipipède relativement à un axe mené par le centre de figure de manière à former les angles X, fx, v avec les direclions des trois arêtes.
Si le parallélipipède se transforme en un cube, la valeur de K deviendra indépendante des angles A, |i, v^ car en ayant égard à la formule
sin'l -+- sin*j* -4- sin'v = 3 — (cos'X -h cos'fx -♦- cos'v) = 2,
on trouvera
Considérons encore un ellipsoïde qui ail pour centre Torigine et qui soit représenté par l'équation
4l4 STATIQUE.
La section faite dans cet ellipsoiide par un plan perpendiculaire à Taxe des a: et correspondant à Tabscis^e x sera une ellipse qui, étant elle-mèine repréa^tëe par Téquation
H ; rr = i
aura pour demiTaxes deux longueurs mesurées par les produits
De plus , comme pour déterminer la surface U de cette ellipse, il suffira de multiplier le produit des deux demiaxes par le nombre tt , on aura
On trouvera d'ailleurs, en désignant par fx la masse de Tellipsoïde ,
Cela posé, on tirera de la formule qui donne G
ou
, en faisant ~ = r, G = - pta' I r*(i — r')<//=^f»<t'.
On aura de même
MOMBirrs d'ikeutib. 4i5
cl par soi le
K = fA -3— i^ TT-, ,-.
Tel sera le moment d'inertie de l'ellipsoïde relativement à une droite menée par le centre de manière à former les angles ^, {x, v avec les directions des trois axes.
Si Fellipsoïde se transforme en une sphère, la valeur de K deviendra indépendante des angles X, fi^ v et se réduira simplement k
i87. Le calcul du moment d'inertie d'un corps de révolution par rapport à son aie est très*simple.
En effet, prenons Taxe de révolution pour axe des x. Le moment d'inertie relatif à cet axe sera donné par l'équation
r étant la distance d'un point quelconque à Taxe des x. Soit A6 {Jig» 33) la courbe génératrice supposée plane, et partageons le volqmedu solide engendré en tranches infi* niment minces par des plans perpeu4içulaires à Taxe des X. Le vojume (^ de l'élément d'une de ces tranches engendré par la révolution du rectangle mnpq est la différence entre les volumes de deux cylindres dont la hauteur commune est ùkX et les rayons des bases r et r + Ar*. Donc
OU, en négligeant Ar par rapport à ar,
La masse m de cet élément et son moment d'ineriie k seront
4l6 STATIQUE.
La somme des moments d'inertie de toutes les tranches s'obtiendra évidemment en intégrant rexpressioii inpr^dxdrj i® depuis r=o jusqu'à r^^j-^ jrz=if[x) étant l'ordonnée de la courbe génératrice; a^ depuis a: = aro jusqu'à j:=:x, x = Xo, a: = j: étant les équations des plans qui terminent le corps de révolution, de sorte que l'on aura
K = 2^trp / I r^djtdr (2)
1 =2wp \ dx \ r^drz^-L I jr*dx.
S'il s'agissaitde trouver le momentd'inertierelatÎTementà un axe pris pour axe des r, et perpendiculaire à l'axe de révolution devenu axe desjr^ on mfaierait, par le centré de gravité du cylindre déterminé par deux plans perpendiculaires à l'axe desj^, un second axe parallèle à Taxe desx, et Ton chercherait d'abord le moment d'inertie du, cylindre élémentaire par rapport à cet axe. Soient ABCEA [Jîg' 34) le cylindre élémentaire, D son centre de figure, DC Taxe parallèle à l'axe des x. Appelons (f l'angle ODC^ X le rayon vecteur DO, la masse d^i du cylindre élémentaire ABCEA sera
c/|A ^ pk d\dxdf , sa distance r à l'axe DC sera
r = >siDf,
et par conséquent le moment d'inerlie du cylindre ABCEA, par rapport à DC, sera
pdj j I \*sm^ifdldff:=npdx j > VX = -r icp xV/ .
MOMENTS d'inertie. 4^7
La masse du cylindre ABCEA est d^ailleurs
son moment par rapport à l'axe des x sera donc
irpx^X*^X--hj7tpx*djr,
Si X ^=f(jr) est l'équation de la génératrice, le moment d'inertie cherché K relatif à Taxe des x sera
(3) K.= «P r ' jr'[/(r)]'-i- î [/(r)]' jrfr-
jipplications. Dans les cinq premières l'axe des moments est l'axe de rcWolution. i^ A la sphère. L'équation de la courbe génératrice est
d'où
8 ^ Lei volume de la sphère est
sa masse
f* = ^ irp «•, d'où wp a* = -T f*fl*,
K = I fta».
a^ Au cylindre engendré par la révolution d'une droite parallèle à Taxe. En appelant rie rayon du cylindre, h sa hauteur, on pourra prendre
j=r, x#=o, x\=zh^ L 27
4l8 STATIQUE.
et l'on aura
î^a masse fi=5 itpr^h^ d'où T:pr^h = fir^j
.s SI
3® A une portion de paraboloïde engendrée par la parabole j^* =px, et terminée d'un c6lé par le plan j^x, de Tautre par le plan x = h. On a
JV: — : •
Vo ""■"
on a d'ailleurs
donc
4® Au cône engendré par la droite^ ss ax, et terminé par le plan x = A. On aura
j« = fl*j^, xt=Oy 4:1 = A, *=r>
y __irp a^h* irpr*A 3 ^
5® A un cône tronqué par rapport à son axe. Soient (fis* 35) 0C = a, BA = i les deux rayons du tronc de eône, BE =? A sa hauteur, et posons
ta9gODC = 0,
HOMENTS m inS&TIK. 4lQ
dr
La masse (i du c6ne est d'ailleurs ,
donc
6^ A un tronc de cône par rapport à une ligne perpendiculaire à son axe. Soit (fig^ 36) OX Taxe par rapport auquel on cherche le moment d'inertie ; posons comme prëcédemment
OC=fl, BA = *, BO = A, tangODC = 0y
on a
a — « - dx
La masse /tdu tronc de cône est d'ailleurs
430 STiTtQDE.
donc
7*^ A UQ 5^;ment de spbère par rapport à un axe pei> pendîculaire au plan de la base. Soient (Jîg- Sy) ABCD le segment sphéri que, r = CD son rajon, A^DE sa baaleur, OX l'aie des x parallèle an rayon CD on perpendiculaire à la base du segment et situé à une distance OE^}*, on aura
EP = ar, Pm"=[2i— (A-x)]{A — x).
Le moment d'imne du segment relatif à l'axe DC sera
= -? jC [4''(»-»)'-4'-(*-«)'+(*-»)'1''(*-')
La masse n du segment est d'ailleurs
')] [A -')'^ = "?('*'- 5*')' on aura donc pour le moment K' relatif it l'axe DC
t pour le moment K. relatif k l'axe des x
8° Avec M. Haton de la Goupillière, à un tore par rap>
