MOMENTS D^INERTIE

port à un de ses rayons équatoriaux. Rapporlons le tore à son axe de figure OZ et à deux rayons rectangulaires OX et OY. Le moment d'inertie par rapport à ce dernier axe OT est donné par Téquation

En raison de la symétrie du corps autour de Taxe de figure, les deux sommes Z/no:', Z/n^' ont la même valeur, qui est aussi celle de leur demi -somme

i 2/îi Ix* -h r^ ) = - l«f ^% d étant la distance à l'axe de figure; on a donc encore

Pour trouver Z/nz', décomposons le tore en tranches horizontales ayant pour épaisseur dz (fig. 38). Chacune de ces tranches aura pour section verticale t^t^dz, ^ étant Tordonnée horizontale du cercle générateur par rapport à des axes parallèles aux premiers, mais passant par le centre o de ce cercle générateur, dont r est le rayon* La distance du centre de gravité de la tranche à Taxe de révolution est égale à la distance à ce même axe du centre du cercle générateur, ou au rayon R du cercle décrit par ce centre. Le volume engendré par la tranche est donc

2Çc/zX2trR = ^icKlidz^ et la masse

4irpRÇi£s; on a donc

= 4irpR p''îlj^l^==4irp[Rr'./(2)-R./(4)],

4aa STATIQUE.

en faisant, po«r abréger,

Pour trouver de même £md', décomposons le tore en couronnes cylindriques d^épaisseur di {fig* Sp), ayant chacune pour section verticale 2£^d, et comme la distance du centre de la section à Taxe de révolution est }, le volume engendré par elle sera

et la masse contenue sous ce volume

^fepz9d9y on aura donc

4irp I ,. «Ç

— R (R' — 3r') ./(2) 4- SRT» /(i) + r>R»./(o)].

Il est évident d'abord que J (n) s'annule quand n est impair, puisque entre o et — r on retrouve, aveciin signe contraire, les mêmes éléments qu'entre o et -^-r. On peut donc supprimer dés à présent les termes en^(i), y'(3),y*(5). Il vient alors simplement

K = 2irpR[-5./(4)-+-(5r*-.R»)./(a)H-R»r»./(o)J. r\ J» -Il C" *"^* I .3.5.7. . .(/f — 0 « .

On a d ailleurs / , ■ = 1 à d' ' ^ '^i cl

•/o sJr*'^ê* 2.2.4»0.o. .- *

MOXEHTS D*IBrEftTlE. 4^3

pour étendit!, dam le cts de n pair, rintëgraie de — r à 4- r, ou pour obtenir /(n), il suffit de donbler le résultat, car de — r ko on retrouve les mêmes éléments que de o s r; on aura donc

et par suite, tout calcul fait,

•li introduisant la masse totale |uis= air'pRr* du tore«

M. Haton de laGoupillière ajoute : i^ qtie le momeut d'inertie du tore relatif à son axe de figure est

a^ que son moment d*inertie par rapport au centre est

188. Revenons à la définition du moment d'inertie d'un certain nombre de points matériels dont les masses sont m'y m", m*', . . . , et les distances à l'axe r', r*, r^, . . . ^ on aura , en vertu d'un théorème connu,

= (m'-hm''-+. jw*'., .) moyenne entre (r'% r"% r'^',. . .)

en désignant par jx la masse totale du système, et par r* carré une quantité moyenne entre r'*, r''*, r^, . . ,. , ou entre les carrés des distances des divers points matériels k l'axe. La distance moyenne r^, racine carrée du quotient du

moment d'inertie K par la masse p du corps, prend quelquefois le nom de rayon d*inertie ou de gf ration autour de l'axe que l'on considère ; et les rayons de gyration relatifs à divers axes ont entre eux les mêmes relations que le& moments d*inertie. Si, par exemple, on appelle /> % r^ les rayons de gyration pris par rapport à deux axes parallèles, dont lejpçemier passe par le centre de gravité du corps et dont la distance est $, on aura

189. Supposons, pour donner un exemple, qu'il s'agisse de trouver le rayon de gyration d'une lentille biconvexe homogène autour d'une parallèle à Taxe de révolution; on suppose la lentille terminée par deux surfaces sphériques égalesi II suffira évidemment de considérer une seule des deux lentilles plan-convexes dont Tensemble forme la lentille proposée. Soient r le rayon de la surface sphérique, a la flèche de la lentille plan-convexe, b Je rayon de la base, jx la masse, p la densité, r^, r^ les rayons de gyration autour de Taxe proposé et de l'axe de révolution, i la distance des deux axes. Cherchons d'abord r\. Pour cela , considérons une tranche infiniment mince et perpendiculaire à Taxe \ si nous nommons j le rayon de cette tranche et x la distance au sommet de la lentille, le moment d'inertie de la tranche autour de l'axe de ré* volution sera

et par conséquent le moment d'inertie fxr^ de la demilentille sera

o ^' Jo

M0MEJNT8 d'iNBETIE. 4^S

or

donc

'*'-.= 2^^ 3 i -^Sj

= ^'^^-^ («< H- 5a' A» + io*M , o.io^

et, puisque fx= ^7rp(a*H-3aft*),onaura

r = :: tttz > ©' / =r -♦-a'.

* lo a^H-S^» g f

190. On trouve énoncées dans les Problèmes de Mécanique rationnelle du R. P. Julien (t. 11^ p. 55) les propositions suivantes relatives aux rayons /*, de gyration de divers corps, lignes, surfaces ou volumes, supposés homogènes :

I® Pour une droite AB de longueur / autour d'un axe qui passe par lextrémité Â et fait un angle ê avec la

j . s /*sin'6 droite : r = — 5

a^ Pour une droite autour d'un axe perpendiculaire et non situé dans le même plan, a a étant la longueur de la droite et b la perpendiculaire abaissée du milieu de la

droite sur l'axe, 'ff = 0 ^*H- i*«

3^ Pour un arc de cercle autour d^un axe perpendicu*

laire à son plan et passant par son centre de gravité :

R étant le rayon, c lacorde et a la longueur de Tare domié,

4^ Pour un arc de cercle autour d'un axe perpendiculaire à son plan et passant au milieu de Tare , les nota-

2R' tiens restant les mêmes, rj = — (a — c).

4^6 STA.TIQVE.

5^ Pour la surface d'une ellipse dont a a est le grand

axe et 2 i le petit : autour du grand axe, r^ = -7-; autouc

du petit axe, r^ = -j'

6^ Pour la surface d'un triangle isocèle autour d« la perpendiculaire abaissée du sommet sur la base a&,

7^ Pour la surface d'un triangle ABC autour d'un axe perpendiculaire passant par le sommet A , les côtés opposés aux sommets A, 6, C étant respectivement a, &,c,

8^ Pour la surface d'un triangle autour d'un axe per» pendiculaire passant par le centre de gravité, o, b^ c étant

les trois côtés du triangle, r* = ^ (a* -4- i* -+- c" ) .

9^ Pour la surface d'une ellipse autour d'un axe perpendiculaire passant au centre, aa, 2& étant les axes de

l'ellipse, r; = i{a«+i«).

10° Pour la surface d'un parallélogramme autour d'un axe perpendiculaire passant parle centre, a a, 2& étant les

côtes, ri = — 5 — •

11^ Pour la surfaced'un polygone régulier autour d'un axe passant par le centre de gravité, n étant le nombre

j 2 4- cos

des côtés et c leur longueur, r^ = —

12 2fr

I — cos —

12^ Pour une sphère creuse autour d'un diamètre, a

MOMEIITS d'iIIBRTIX. 4^7

et b étant les rayons de la surface externe et de la surface

interne, r, = g ^ZTf^'

i3° Pour un cône droit autour de son axe, a étant le

rayon de la base, Vg = — a*.

14** Pour un cylindre, le rayon de la base étant a, la

longueur 2 b : autour de son axe, r^ =£ -a*'^ autour d'une

perpendiculaire au milieu de l'axe, rj = -s a* -+■ ^ 4*.

zS*' Pour un cône droit autour d'une perpendiculaire

à Taxe mené par le centre de granité, a étant le rayon de

la base et cla hauteur du cône, r^ = jç- (4a*+ c*).

16^ Pour une lentille biconvexe autour d'un diamètre de la base commune des deux lentilles plan-convexes qui la composent, les notations restant toujours les mêmes

que n** 189, ri = — ^ , . ^,,

191 • Le tableau suivant dressé par M. Macquom Rankine fournit le moment d'inertie et le rayon de gyration des corps qui se présentent le plus souvent dans les applications pratiques. La première colonne montre le nom du corps ; la seconde dé6nit Taxe pour lequel on prend le moment d'inertie ; la troisième donne la valeur K de ce moment d'inertie; la quatrième le carré tg du rayon de gyration ; p est la densité. En divisant le moment d'inertie par le carré du rayon de gyration, on aura la masse du corps; en divisant la masse par la densité on aura son volume.