SEIZIÈME LEÇON
Moments d'inertie et rayons de gyration. — Autre moyen de trouver les axes principaux dMnertte. — Représentation géométrique des équations dont dépendent les axes principaux.— Directions des rayons principaux degyration. — Valeurs de ces rayons, en fonction des paramètres des surfaces homofocales. — Lieu de tous les axes principaux d'iilertie parallèles à une direction donnée. — Lieu des axes principaux passant par un point donné.— Lieu des points dont les axesd'inertie passent parun point donné. — Points pour lesquelsdeuxdes rayons de gyration principaux sont égaux. — Lieu de tous les points de Tespace pour lesquels un des rayons de gyratlon principaux conserye une yaleur donnée. — Surface de l'onde luminease. — Moment de Taxe. — Paramètre du moment. — Influence de la rotation du plan sur la valeur du paramètre. — Plans nuls. — Paramètre principal.^^ Lieu géométrique des paramètres'. — Monfents parallèles. — Axe dont le moment parallèle a une valeur donnée. — Représentation géométrique des variations des moments parallèles. — Foyers. — Propriétés nouvelles des axes principaux d'inertie.
192. Considérons un premier axe passant par le centre de gravité et faisant les angles a, S, y avec les trois axes principaux d'inertie relatifs à ce centre ; puis un second axe mené par le point a, i, c parallèlement au premier;
appelons d la distance des deux axes, et r^, r^, \^A, ^B, v^ les rayons de gyration correspondant aux deux axes parallèles et aux trois axes principaux d'inertie : il viendra (n»M75, 178etl88)
r'J = r^ H- ^ = A cos'a H- B cos»6 H- C cos»7 -h fl'-f- Z^>-+- c^
— (flJCOSa^-^cos6 + ccos7)^
Comme aux extrémités des axes principaux de l'ellipsoïde qui sont en même temps les axes principaux d'inertie le plan tangent est perpendiculaire au rayon vecteur h de l*ellipsoïde, ces extrémités, et par conséquent les axes principaux^ doivent vérifier l'équation dh = o, et par
430 tTATIQQE.
conséquent rfr. = o, dr^ = o,
puisque d^une part
et de l'autre r^ dr^ = r'g dr^ ;
c^e8t*i*dire que pour déterminer les axes priDcipaux il suffit de trouver les valeurs de a, S, y qui rendent dr^ nul. En diflérentiant Téqualion qui précède, on trouve
/ df' z=: [Acosa — a(if cosa -h 6cos6 -|-ccoS7)]i/.cosa
4-[Bcos6 — 5 (acosa -f- ^cos6 -f-ccos7)]//*cosÇ -|-[Ccos7 — c (flcosa-f- 6cos6-4-cooS7)]i/.oo67.
OD«a d'ailleurs,
cos'a -f- co$*6 -H cos'7 = i ,
et, par conséquent,
cosa</.cosa + cos6^.cos6 + cos7i/.cos7 = o.
Multipliant cette dernière équation par une indéterminée X, et rajoutant a celle qui donne la valeur de ^^^ ^ on trouve
r'€ir^=[(XH- A)cosa — a (0co9a+^coa6+«cos7)]^«oosfli -f-[(^+B) coft6 — &(aG(Ma+^cos6+ecos7)]<^« oo«( -|-[(^-hC) C0S7 — c(ff cosa+^cos6-|-ccos7)]</.coS7.
Admettons que dans cette équation a, 6, y représentent les angles qui se rapportent à Tun des axes principaux d'inertie, et donnons à l'indéterminée X la valeur déterminée par l'équation
{\ -h A)cosa = « (acosa -H ^cos6 -f-ccoS7);
alors la valeur île Vgdr^ ne renfermera phia que deux différentielles complétoment indépendantes d* cos 6, d. 00s y;
MOMBUTS D'nfBKTIB. 43i
et comme eUe detra èire sulle quelles que soient cet différentielles, il faudra que les coefficients de ^.cos 6 et d.cosy soient nuls séparément, ou que les quantités a, S,y,'k satisfassent aussi aux deux équations
(X-hB)co$6 = b{acosa-h icosS -^coosy), (X 4- C) COS7 = c (fl cosa 4- 6cos€h-ccos7).
Les trois dernières équations, jointes à
cos*a -f- cos^6 -+- cos*7 = i ,
suffisent en général à la détermination des quatre quantités a, 6, y et X. Si nous posons
a cos oL-h b cos 6 H- c COS7 = m ,
m devenant une nouvelle inconnue auxiliaire, les équations qui expriment que Taxe que Ton considère est un axe principal d'inertie, prennent la forme suivante :
Substituant ces valeurs dans l'expression de m, et aussi dans l'équation de condition cos' a -f* cos' 6 + cos* y = i , on trouve
H-A X-h-B \-hC
r fl* b* ^* 1
(») '*'L{n:Â7"*"(>^TBy'"*'(TTcr'J =
Les trois équations (i), (s), (3) renferment la solution cberchée du problème proposé -, on déterminera d'abord X par Téquation (a), puis m par l'équation (3) ; les équations (1) donneront enfin a, 6, y.
498. IfCS directions correspondantes aux valeurs ainsi cidieulées de a, 9, 7 peuvent être représentées géométri-
43a STATIQUE.
quement d'une manière assez simple. Prenons rellipsoïde rapporté à ses axes principaux
toutes les surfaces du second degré homofocales à cet ellipsoïde seront comprises dans Téquation
(4) TTÂ "^ T+B -^ ITc = ' •
Celles de ces surfaces homofocales qui passent par le point a, by c sont au nombre de trois, et leurs paramètres X sont donnés par Téquation du troisième d^ré
fl» b^ c^
La quantité X qui entre dans les équations (z), (a), (3), n'est donc qu'un des trois paramètres des surfaces du second degré homofocales à l'ellipsoïde (4) et passant par le point (a, b, c). Quant aux directions a, 6, y, ce sont celles des normales aux trois surfaces homofocales. En effet, la droite déterminée par ces directions a pour équations
X — a y — h % — e cosa cos€ C0S7
ou, en substituant pour cosa, cosS, cosy leurs valeurs tirées des équations (i), et multipliant par m,
>-l-A >-^B X-hC
Or ces dernières équations sont précisément les équations de la normale au point (n, &, c) & la surface (4). On sait que les trois surfaces homofocales d'espèce dif-
MOMENTS d'inertie. 4^3
férente passant par le point (a, b^c) s'y coupent mutuellement à angle droit suivant leurs lignes de courbure; les trois axes principaux d'inertie relatifs à ce point sont donc les trois normales à ces surfaces, ou les trois tangentes à leurs lignes dMntersection.
i94. Pour trouver, non plus les directions, mais les valeurs des rayons de gyration principaux, reprenons les équations
{\ -h A)cosa=:£i (acosa + 6cos6 -+-<?C0S7), ("k -+-B)coso = b{acosoi -+- ^ cos 6 4- ^ COS7 ) , (> -f-C)cos7 = c(flcosa-f- 60056 + ccosy);
multiplions là première par cosa, la seconde parcosS, la troisième par cosy, et ajoutons-les, il vient
