X-HAcos'a -f-Bcos*6-hCcos*7 = (acosa-4-6co

L'équation qui donne la valeur cherchée r^g du carre du rayon principal de gyration se réduit alors à

r étant la distance du point a, &, c au centre de gravité du système. Le carré du rayon de gyration relatif à un des axes principaux d'inertie passant par un point quelconque M est donc égal au carré du rayon vecteur allant du centre de gravité à ce point M, diminué du paramètre de la sui^ face homofocale. à laquelle cet axe est normal. On peut déduire de ce théorème quelques conséquences remarquables.

195. Cherchons le lieu de tous les axes principaux d'inertie parallèles à une direction donnée a, S, y. Considérons un quelconque de ces axes passant par le point

M (a^ £, c) ; il aura pour équations

ces a cos6 COS7 '

on aura d'ailleurs

et, par conséquent,

Gosa m m ces 6 m m COS7 m m

ces a CCS 6 COSa ces 7 COS<> COS7

(5) f(B-C) + -^(C— A)-+--i-(A — B) = o. ' cosa^ / COS6 ' C0S7^

Cette équation, où n'entrent plus que les variables x^y^ z, est Téquation du cylindre formé par tous les axes principaux d'inertie parallèles à la direction donnée ; or oo ▼oit que ce cylindre se réduit à un plan passant par le centre de gravité et parallèle a la direction donnée. Voyons maintenant quel est dans ce plan le lieu des points M (a, i, c) auxquels ces axes principaux d'inertie se rapportent. La quantité m dans les équations qui précèdent représente Texpression a cos a -|- ft cos 6 + c cos y, de sorte que pour les points a, &, c, en question, on aura

acosa-f- ^cos»>-f-ccos7 = 7— = = —7

cosa cos6 cosa C0S7 cosS 00S7 Ainsi, outre l'équation du plan ( 5), on aura, par exemple,

(«cosa + ^cos6 4- CCOS7) 1 i 1 = A — B.

^ " \cos« cos6/

MOMENTS d'iVERTIE. 4^5

Si'de réquation (5) on tire la valeur de r ou de c pour la reporter dans Téqualion qui précède, on aura Téquation de la projection de la courbe cherchée sur le plan des JC, j^5 et l'on voit que celte projection est une hyperbole ayant pour centre l'origine, et pour asymptotes les droites

= o , a cos a -4- ^ cos6 -f- c cos 7=0.

ces a cos €

Donc dans l'espace on a une hyperbole située dans le plan (5), et dont les asymptotes sont, Tune l'intersection

du plan (5) avec le plan projetant, -=o,

c'est-à-dire la droite

cos ff ces 6 cos 7 ^

et l'autre, l'intersection du même plan (5) avec le plan

xcosa 4-jcosS-hzcos7 = 0.

Or^ ce dernier n'est autre que le plan mené par l'origine perpendiculairement à la direction donnée. La seconde asymptote, par conséquent, est perpendiculaire à la première, et l'hyperbole en question est équilatère» Pour la définir complètement, il suffit de constater que son paramètre p est donné par l'équation

p\ — (A — B)» cos' a cos' 6 4- (A — C)»cos^aeo8»7-|-(B — C)'cos'6cos'7,

ou que son équation est xj t=p*.

196. Considérons encore les axes principaux d'inertie passant par un nouveau point (|, yj, ^). Les coordonnées a:, y, £, d'un point quelconque de chacun de ces axes,

vérifieront encore les équations

cosa ces 6 , CCS a COS7 cos6 cosy

et comme a, S, y sont les angles que l'axe d'inerûe fait avec les axes coordonnés des jr, jr^ z, on aura

cosa =

cos<> =

cos7 =

Substituant pour cos a, cos S, cos y, leurs valeurs, et multipliant par \/(x — U*"*"(y — »))*•+-(« — f)% il viendra

mv/(x — 5)» + (jr -„)«-!.(« — ç)> A — B A — C B — C

ou bien, en remarquant que

X Ç y ïj

(6) mv/(x~ç)'-h(r~>,)'H-(z-0'

MOMENTS d'iNEATIE. 4^7

d'où Ion lire, pour réquation du lieu cherché, '

Le lieu des axes principaux passant par le point ^, 19, ^^ est donc un cône du second degré dont Téquation sous forme entière est

{B~C)Ç(r-n){*~Ç)-h(C-A)>,(:r-Ç)(s — Ç) -h(A-B)Ç(ar-Ç)(7-„) = o.

Cette équation montre immédiatement que les tix>is parallèles aux axes coordonnés

jr=5, jr=ri; x=Ç, z=;; y = n, 2=^,

sont trois génératrices du cône. La droite qui unit l'origine au point (^, y;, ^) est une quatrième génératrice, car réquation (7) est évidemment vérifiée par a: = o, j^ = o, z=o. Pour définir complètement ce cône, il suffit de conuaitre en outre un de ses plans tangents; or on voit sans peine que le plan tangent au cône suivant Tarète qui va de Torigine au point (^9 ^> ^)} a pour équation

et que ce plan tangent est celui qui contient tous les axes principaux d'inertie parallèles à Tarête dont il s'agit. Un résultat digne encore d'attention est que, si le point ^, 17, C, varie en restant toujours sur cette même arête passant par l'origine, le cône ne change pas de forme, et se transporte parallèlement à lui-même. Eneflet, lecône (7), transporté parallèlement à lui-même de manière que son sommet vienne coïncider avec l'origine, a pour équation

et Ton voit que quand le point ^j rj, ^, reste sur un même rayon passant par l'origine, ou quand les coordonnées ^, Y}, Ç, conservent entre elles les mêmes rapports, Tëquation du cône transporté parallèlement à lui-même ne change pas. Si Ton suppose que le point ^, 77, Çf s'éloigne jusqu'à Tinfini, en restant toujours sur la même droite passant par Torigine, le sommet du cône ira à Tinfini ; et la partie qui reste à une distance finie de l'origine se réduit au plan tangent suivant cette droite^ on retrouve ainsi ce résultat que le plan tangent commun à tous les cônes ayant leurs sommets sur la ligne qui va de Torigine au point ( ^, 19, ('), est le lieu des axes principaux d'inertie parallèles à cette ligne.

197. Déterminons enfin le lieu des points dont les axes d'inertie principaux passent par le point (^, m^ ^). Soient a^b^c, les coordonnées d'un de ceë points ; substituées a jr, y y z, elles vérifieront d'abord les équations (6), et comme on a, en outre, m == acosa -f- b cos 6 -f- ccosy, il viendra,

en multipliant par ^{a — Ç)*-+- (b — >?)*-+- (c — Ç)',

= «(«I — ^)-+. 6 (6 — Tj) -4- c(c — Ç),

et, en substituant cette valeur du radical dans les équations (6) on trouvera enfin que les coordonnées a, &, c, satisfont aux relations

fl (« — Ç) 4- ^( 6 — «) -h- c{c— K) A— B A — C B — C

ce sont les équations de la courbe cherchée; elles se réduisent réellement à deux. La première, celle que l'on obtient en égalant entre eux deux quelconques des trois

MOMEBTS D'IIUBRTIE. 4^9

derniers membres de' l'^alité, est Téquation du cône da second degré (7) ; la seconde, obtenue en égalant le pre* mier membre de Fégalité k Tun des trois derniers, est Té* quation d'une surface du troisième degré qui coupe le cane suivant la' courbe cberchée. Chaque génératrice du cône doit rencontrer la surface du troisième degré en trois points ; mais il est facile de voir que deux de ces points se réunissent au sommet (^, 77, ^); et en négligeant cette solution étrangère, on ne trouve qu'un point sur chaque génératrice. Considérons une de ces génératrices faisant avec les axes des angles a, 6, y, et appelons r la distance du point inconnu (a, i, c), qui se trouve sur cette génératrice au sommet (Ç, y}, (^) ^ on a

r=v^(«~Ç)»H-(6-7,J'-h(c — Çj", a — Ç = rcosay b — ij = rcos€, c — }^ = rcosy-

Substituant dans Féquation (8) et négligeant les valeurs r = o, nous aurons

r -h Ç cos a 4- >î cog 6 -h Ç ces 7 A— B A — C B — C

cosa cos6 cosa ces 7 cos6 C0S7

ce qui ne donne' réellement qu'un point unique sur chaque génératrice; ce résultat était facile à prévoir, puisqu'une droite n'est axe principal d'inertie que pour un de ses points.

198. L'équation r'g = r* — X, qui donne la valeur des rayons de gyration principaux, conduit de même à quelques conséquences qui ne sont pas sans intérêt. Prenons un point (a, &, c) et concevons les trois surfaces homofocales du second degré qui passent par ce point. Soit V le paramètre de l'ellipse, X'' celui de l'hyperboloïde à une

44o STATIQUE.

nappe, W^^ celui de Thyperboloïde à deux nappes. Soient r'gj Tg^ f'gy les rayons degyralion pour les axes principaux normaux à ces surfaces; en supposant A ^ B }> C, nous aurons pour :

Tellipsoïde