V-hA>o, )/-f.B>o, V-^C>o
Thyperboloïde à une nappe
rhyperboloïde à deux nappes
X"'-hA>o, r-|-B<o, X*'-|-C<o;
d'où Tou déduit la série d'inégalités
et en ajoutant /^ à tous les termevS
Ainsi des trois rayons de gyration principaux, et par suite des trois moments d'inertie principaux, le plus petit correspond à Taxe normal à Tellipsoïde, le moyen à Taxe normal à ITij'perboloïde à une nappe, le plus grand à Taxe normal à l^yperboloïde à deux nappes.
L'équation qui détermine la valeur de X est
>-f-A A-+-B >.-hC
par suite l'équation qui donne les trois valeurs de r^ est
a^ b^ tf»
Si on la met sous forme entière, en faisant disparaître les dénominateurs, on trouve que la somme des racines,
MOMENTS d'iUBRTIE. 44 <
^ale au coefficient du second lerme pris en signe con-
traire, est
/'-h/^''-h^'=:(/^-+-A)^(r»-hB)-h(A»-|-C)— fl>-ô^~c>
= 2r»-f-AH-B-f-C;
et l'on constate que la somme des carrés des trois rayons de gy ration principaux reste la même pour tous les points de la spliëre de rayon r. Il en est ainsi, par conséquent, de la somme des carrés de gy ration relatifs à trois axes rectangulaires quelconques, passant par le point (a, &, c), puisque, comme on l'a vu, cette somme est égale à la somme des carrés des rayons de gyration principaux relatifs à ce même point.
199. S'il existe des points pour lesquels deux des rayons de gyration principaux, le plus petit, par exemple, et le moyen, deviennent égaux, et où, par conséquent, Tellipsoïde des moments d'inertie soit de révolution, on devra avoir en ces points
et, en vertu de l'inégalité — i'< C < — X'^
Ces points se trouvent donc sur l'intersection de Tellipsoïde — i'= C, et de l'hyperboloïde à une nappe — V=^C», Mais ces deux surfaces limites se réduisent toutes deux au plan des a:, y^ et Ton ne voit pas bien quelle est leur intersection. Pour la découvrir, prenons d'abord deux surfaces très- voisines, rellipsbïde, — V= C — e'*, et l'hyperboloïde à une nappe, — i''= C -H s"*, dont les équations sont
(A — C)-hs'' (B — €)-»-«
(A~.C)—£"' fB— C)--s"» ff
L'ellipsoïde qui a pour axe des z la longueur €\ est extrêmement aplati, et à mesure que i* décroît, il tend à se réduire aux points du plan des Xy y compris dans Tintérieur de Tellipse
Quant à l'fayperboloïde à une nappe qui a pour axe imaginaire la longueur s'', il tend, quand ^^ diminue, à se réduire aux points du plan des x^y extérieurs à Tellipse limite
Donc Tintersection toujours réelle des deux surfaces a pour limite Fellipse
* = o, -Ti-^zi :;= M
c'est le lieu des points cherchés. Il est facile de trouver pour ces points les directions des axes principaux d'inertie et les grandeurs des rayons de gyration. En eiïet, les axes du plus petit et du moyeu moment d'inertie sont deux axes quelconques rectangulaires entre eux, dans le plan normal à l'ellipse qui précède; et pour tous les axe^ compris dans ce plan normal, le rayon de gyration est
L'axe du plus grand moment d'inertie est situé dans le plan xy^ tangentiellement à cette même ellipse, et son rayon de gyration est donné par l'égalité
/^' = 2/^-h A-H B -t- C — /^' — /' = A-hB + C;
il est constant pour tous les points de l'ellipse.
On trouvera de même que les points pour lesquels le
MOMENTS d'iJNBRTIE. 44^
plus grand et le moyen moment d'inertie sont égaux, sont donnés par l'égalité
et, par suite, qu'ils appartiennent à Thyperbole située dans le plan des x, z^
•^="' Â:rB-B3c = ''
Pour tous ces points le plus gi*and et le moyen moment d^inertie sont deux axes quelconques rectangulaires, dans le plan normal à l'hyperboloïde qui précède. Les rayons de gy ration correspondants sont rj'* = f^*=: r* -+- B. L'axe du plus petit moment d'inertie est la tangente à l'hyperbole ; son rayon de gyration est r^' = A H- B -H C 5 il est par conséquent constant pour tous les points de l'hyperbole.
L'ellipse et l'hyperbole sont situées dans des plans rectangulaires ; de plus, il est aisé de voir que les sommets de l'une sont les foyers de l'autre, -et réciproquement*, ce sont donc les deux courbes focales conjuguées. Comme ces deux courbes n'ont pas de point commun, il n'y a pas de point dans l'espace pour lesquels les trois moments principaux d'inertie deviennent égaux, et où l'ellipsoïde des moments devienne une sphère.
SOO. On peut se proposer un dernier problème : Quel est le lieu de tous les points de l'espace pour lesquels un des rayons de gyration principaux conserve une valeur donnée r^ = k. Pour le résoudre, il suffit de reprendre l'équation.
qui donne les rayons de gyration principaux en fonction
de a> ^9 C] el de supposer que, k y conservant la valcïur
donnée, a, i, c et r= ya*H-i* + c' varient de manière à satisfaire toujours à cette équation; le lieu cherché aura donc pour équation
C'est sa forme la plus simple \ si pour la mettre sous forme entière on fait disparaître les dénominateurs, elle devient
--ar'(X-— A)[X- — B-|-i{- — C]— r'(^ — B)[X- — A+it — G] ! = o — z»(^ — C)[/- — A-f-^ — B)-h(A- — A)(/- — B)(X — C) )
Ce lieu est une surface du quatrième degré symétrique relativement aux plans coordonnés ; ses intersections avec ces plans se décomposent en deux courbes du second degré dont une est un cercle réel ou imaginaire. Ce n'est pas autre chose que la surface des ondes de Fresnel, qui représente le mouvement du rayon lumineux dans les substances biréfringentes^ M. Peslin, à qui nous avons emprunté cette théorie, Ta discutée complètement dans sa Thèse de Doctorat, soutenue en i858, et imprimée chez M. Mallet-Bachelier.
201. Un jeune géomètre, M. Haton de la Goupillière, a étudié d'une manière toute particulière non plus les sommes Smx et Z/Tix* relatives aux centres de gravité et aux ^ moments d'inertie, mais la somme 2/7i;r^, et cette étude l'a conduit a quelques résultats intéressants qu^il est utile de résumer ici .
Cette somme Ytmxy^ que nous appellerons le moment de taxe z, peut être représentée par fxXY, ^ étant la masse totale du système et X, Y deux quantités assujetties
MOMENTS d'inertie. 44^
Simplement à vérifier Téquation
Cette équation ne suffit pas à déterminer ces deux quantités, et on peut prendre pour elle les deux coordonnées d'un point quelconque d'un cylindre à base d'hyperbole équilatère asymptotique aux plans coordonnés. Ce cylindre est tel, que le moment ne change pas lorsque Ton condense toute sa masse sur sa surface, en l'y répar tissant du reste d^une manière quelconque. Mais une hyperbole dont on a les asymptotes est entièrement connue, et de la manière la plus nette, si Ton donne en outre son sommet ou son demi-axe transverse^ en le désignant par X, Téquation devra prendre la forme
XY = ^. d'où X'=ii^.
Cettequantité X,qui représente une1ongueui% est analogue au rayon de gyration ; nous l'appellerons le paramètre du moment»
202. Considérons un second système de plans fixes (j', y) qui fasse avec le premier (x, ^) un angle 9, on passera du premier système au second à Taide des formules
j/=j^sin^-f-^co8ç, ^'=^co5«p — xsiuf^y d'où l'on tire
a^y = ( j' — x^ ) sin «p cos y -f- jry ( cos'y — sin*^ ) , a2mj/j'=sina^2/ii(/* — ji^)-^ ilmxy .cosii^.
Si maintenant nous prenons sur l'axe une origine arbitraire O pour y rapporter des coordonnées 2, nous aurons identiquement
en désignant par u et m les rayons de gyration relatifs aux axes des x et des j^. Cela posé, en divisant par (i et appelant a\ X les paramètres des deux systèmes de plans, il viendra
y* = ( tt' --(»*) sin !x <p -f- ^* ces Xf ;
cVst la formule à Taide de laquelle on déduira un paramètre quelconque des valeurs connues du paramètre et des rayons de gyration pour un système particulier de plans.
Cette valeur de X' devient nulle quand on a
il existe donc toujours pour un axe quelconque un système de plans et un seul qui donne un moment nul ; pour abréger, nous appellerons ces plans plans nuls.
203. Si Ton prend pour plans fixes (X, Y) les plans nuls, et qu'on désigne par U, V, $, ce que deviennent 4<, ^, f , Xsera nul, et l'on aura
V» = (U» — V»)sin2*.
La plus grande valeur de cette expression correspond à <I> = 45*^5 si on rappelle /, on aura
Ce paramètre principal correspond aux plans bissecteurs des plans nuls, tandis que (J« V sont les rayons de gyration des axes nuls eux-mêmes. Substituant pour U* — V* sa valeur /*, on a
et il en résulte que le paramètre W varie comme te rayon vecteur /Tune lemniscate é^uûatère qui aurait pour demi-
