MOMENTS D INERTIE

axe transyerse en grandeur et en direction le paramètre principal l {Jig* ^o ) .

M. Haton de la Goupillière appelle en général lemniscate la courbe lelle, que le produit des distances p^p\ de chacun de ses points à deux foyers fixes est égal à un carré donné a*, et, en particulier, lemniscate équilatère celle où le côté du carré est la demi-distance focale. On a pour cette dernière, en posant [fi g. 4*)

FM = p, F'M=:p', 0M=/-, MOF = », a< = p'p'*=: (H 4- a» — 2<ircoS6»)(r*+a^ H- 2flrcos») = (r*-+.ûO* — 4^*'*c®****= (r^-l-û')*— 2a»r"(i + co8 26i) = r* — 2ii'r»cos2ft)H-a*,

d'où r*= aa'cossGO.

Si nous représentons par / le demi-axe a^ et par 6 Fazimut rapporté â la tangente au centre et non à Taxe, d'où w = 9 — 45^» l'équation qui précède devient H = /'sin 2O, identique quant au fond et à la représentation géométrique avec X* = /'sin 2 4>.

204. Si pour représenter géométriquement les paramètres, comme on a représenté les moments d'inertie, on portait sur chaque bissectrice des longueurs inversement proportionnelles aux paramètres correspondants, la courbe lieu des extrémités de ces longueurs aurait pour équation

^sin 0. 9 c*=H8in2Ô = 2r*sinOcosô=:2rsîn0.rços6 = ajrx,

et il en résulte que \e paramètre varie en raison inverse du rayon vecteur d'une hyperbole équilatère qui a pour axes les axes nuls. La valeur de l'axe transverse de cette hyperbole reste indéterminée, et cela doit être, puisque

toutes les hyperboles équilatères sont des courbes sem» blables.

205. Voyons maintenant de quelle manière le paramètre varie quand on passe de Fune à l'autre des droites qui forment un système ou faisceau de droites parallèles, ou quand Taxe des moments est transporté parallèlement à lui-mAme. Nous appellerons axe central celui qui passe par le t:entre de gravité G du système^ pour simplifier, nous mènerons par ce point un plan perpendiculaire â tout le faisceau, et nous appellerons pieds des droites les points où elles rencontrent le plan perpendiculaire. Prenons pour origine le centre de gravité et pour axes des x, j^ deux droites rectangulaires menées dans le plan perpendiculaire à Taxe central^ soient O (|, y?) le point ou l'axe parallèle rencontre le plan x, j^, et OX', OY', deux axes parallèles aux premiers, on a

x'f == xy — Ç j — 7,;r H- Çtj l.mx'y = imxy — ^^fiy — nlmx -h pÇij.

Mais comme le centre de gravité est situé à la fois sur les axes des x et des j', Zmx et 2m^ sont nuls, et il reste

c'est-à-dire qu'on obtient un moment quelconque en ajoutant au moment central parallèle celui de la masse totale réunie au centre de grauité.

Si Ton prenait pour plans fixes les plans centraux nuls, ^niay s'évanouirait, et Ton en conclurait qu'ii/ï moment quelconque parallèle aux plans centraux nuls est le même que si toute la masse était concentrée au centre de gravité. Si au contraire on prenait pour^l'undes plans fixes le plan qui réunit Taxe que Ion considère à Taxecen*

MOMENTS d'inertie. 449

tral, ce sera le terme (i^n qui disparaîtra^ et Ton arrivera à cette proposition que le moment ne change pas si Taxe central se déplace dans un de ses plans. Enfin si Taxe considéré est situé dans un des plans centraux nuls, son moment sera nul, et Ton arrivera à ce nouveau théorème, que les plans centraux nuls sont nuls en tous leurs points, ce que Ton aurait pu conclure tle la propriété bien connue qu'un axe principal est axe d'inertie en chacun de ses points.

206. On peut se proposer le problème inverse, ou chercher un axe dont le moment parallèle ait une valeur donnée. Ce problème est indéterminé, lors même que la direction des plans fixés est assignée, puisque pour déler* miner ^, t} on n'a qu'une seule équation

tmi^ y* — l.mxy

laquelle prouve au moins que les axes de même moment parallèle formant un cylindre à base d'hyperbole équilatère asymptotique aux plans centraux adoptés. Pour obtenir Féquation générale de ces courbes, rapportons-les à des coordonnées polaires, en prenant pour axe fixe Taxe nul central Gli(/ig. ^2). On aura, en posant GM = r,PGX = ç, MGP = e,

Ç = GP = rcos(e— y), u = MP = rsin(ô— <p) et ^=X»6may,

en désignant par X le paramètre principal de Taxe central -, il vient ainsi

Hsin 2 (Ô — f>) == X'' — X'sin 1 f,

équation dans laquelle r et 0 sont des coordonnées courantes, X une constante fixe qui caractérise le faisceau I. 29

parallèle, ï! et ^ deux constantes arbitraire5 relatives, Tune W à la valeur du moment que Ion se donne, Tauire ^ à la direction fixe que Ton adopte. Si Ton considère la direction des plans comme assignée, ou (f comme une constante, et qu'on porte sur chaque axe, à partir de son pied, une longueur égale à son paramètre, ce qui revient à considérer W comme une ordonnée, le lieu des extrémités formera une surface du second ordre qui ne peut être qu'un hyperboloïde équilatère de révolution k une nappe. En effet, i^ si pour avoir sa trace sur le plan perpendiculaire au faisceau on fait X' = o, ou aura

r*sin2(ô — ^) = — X2sin2f,

hyperbole équilatère entre les directions fixes ^ 2** si on la coupe par un plan perpendiculaire à la bissectrice des directions fixes, en faisant 0 c=3Ç^- i35", il viendra

V2+r»=X»sin2<p,

équation d'un cercle. Ainsi donc : le paramètre des mo^ ments parallèles varie comme r ordonnée d^un J^perboloïde équdatère de ré\^oliition à une nappe qui a pour axe la bissectrice des directions fixes et pour rayon de gorge le paramètre central qui leur correspond. Si dans Téquation

r'sin2 (ô — «p) = — Vsinay,

on fait 0 = o, il vient r = ±: i ; et si Ton porte sur Taxe GX de part et d'autre du centre là longueur i, on obtiendra deux points F, F* que Ton peut appeler foyers et où se croisent toutes les hyperboles équilatères. Ces foyers sont uniques, car deux hyperboles de même centre ne peuvent se couper qu'en deux points symétriques. La propriété caractéristique de ces foyers est évidemment que la direction des plans nuls y est indéterminée, puisque.

MOMENTS d'inertie. 4^'

pour chaque point, elle esl celle des asymptotes de l'hyperbole qui y passe. Ainsi donc, i7 existe toujours dans un faisceau deux axes ^ et rien que deux y pour lesquels les plans nuls sont quelconques^ de telle sorte que tous les paramètres, et parmi eux le paramètre principal^ y sont nuls y ou que les rayons de gy ration de toutes les droites menées parleur pied dans le plan sont égaux. Ces axes sont situés de part et d'autre de Taxe central le long de celai des axes nuls qui a le plus grand rayon de gyratîon (pour que X soit réel) et à une distance égale au paramètre central principal, de sorte que les foyers sont précisément les sommets de la lemniscate équilatère (n^203).

207. On sait depuis longtemps qu'un axe principal est axe d^inertie en tous ses points : si Ton veut se représenter la série des autres axes sur tout son parcours, rien n'est plus facile, car ils sont respectivement parallèles aux deux axes principaux perpendiculaires ; ils forment donc par leur ensemble les deux plans principaux qui passent par Taxe considéré, et ils les décrivent en restant parallèles à eux-mêmes. On sait de plus qu^un plan principal est plan d'inertie dans toute son étendue, c'est-à-dire qu'en tous ses points l'un des axes d'inertie lui est perpendicuhire; or les autres axes situés dans le plan principal peuvent être considérés comme les axes nuls de chaque, point du plan, et, appliquant à ce cas particulier les résultats précédents, on arrive à cette conclusion : La série des points d^un plan principal pour lesquels les axes dUncrtie ont une direction fixe, forme une hyperbole équilatère qui a pour asymptotes les droites menées par le centre de gratuité dans ces directions. Toutes ces hyperboles se croisent aux deux foyers principaux, et la série de leurs sommets forme une lemniscate équilatère qui a ses pro'

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près sommets en ces deux foyers. Pour ces derniers ^ les deux axes d'inertie sont quelconques, et V ellipsoïde d^ inertie est de résolution.

Nous n'irons pas plus loin : ceux de nos lecteurs qui désireraient plus de détails sur cette théorie de la géométrie des masses^ comme l'appelle M. Haton de la Goupillière, les trouveront dans sa Thèse pour le Doctorat, imprimée chez M. Mallet-Bachelier en 1857, et dans le trente-septième cahier du Journal de TÉcole Polytechnique.