DIX-SEPTIÈME LEÇON

Théorie de rattraction nniTenelle, proportionnelle aux masses et en raison inTerse du carré de la distance. — Attraction d^on point sur un point; ses composantes.— Composantes de Tattraction totale d'un corps sur un point. — Fonction des forces. — Paramètre différentiel du second ordre. — Sa Taleur pour un point intérieur ou extérieur. — Cas où la distance du point attiré est très-grande par rapport aux dimensions du corps attirant. — Attraction d'une couche sphérique homogène et concentrique sur un point extérieur ou intérieur. — Attraction d'un corps formé de couches concentriques et homogènes; cas où la densité diminue proportionnellement à la dislance au centre. — Attraction d'un ellipsoïde. — Composantes et résultante de l'attraction dans le cas d'un point intérieur et dans le cas d*un point extérieur. — Attractions égales des ellipsoïdes homofocaux. — Attraction d'un ellipsoïde de révolution. — Cas où l'excentricité est très-petite. — Composantes des attractions exercées parallèlement et perpendicuUirement à l'axe de révolution, sur un point de la surface. —Application à la terre; calcul de son attraction sur un point extérieur. — Calcul de la pesanteur a l'équateur, à la latitude X et la hauteur h au-dessus du sol. — Attraction des con* tinents. —Attraction des masses sous volumes finis.

208. L'expérience montre que deux corps quelconques de la nature, mis en présence à des distances finies, semblent exercer Tun sur Fautre une attraction directement proportionnelle au produit des masses des deux corps, inversement proportionnelle au carré de leur distance ; et nous avons k donner la théorie de cette attraction, à déterminer par l'analyse la résultante des actiotis mutuelles des éléments des deux corps , actions variables avec leurs formes et leurs dimensions.

Considérons d* abord un point matériel A attiré par un corps de forme quelconque^ cette attraction est exercée par chacun des éléments du corps, et la résultante des attractions élémentaires constitue Tattraction totale exer-

fée par le corps. Prenons pour origine O (J^g- 43) "" point quelconque fixe dans rintérieur da corps, et pour axes coordonnés trois axes rectangulaires OX, OY, OZ; séparons par la pensée dans le corps attirant un élément infiniment petit dont la masse dm puisse être considérée comme concentrée en un point P de l'élément, ayant pour coordonnées x, y, z; appelons x^y^ z les coordonnées du point matériel attiré A , m sa masse et r la distance AP des deux points déterminée par l'équation

L'attraction exercée par Télément P sur le point matériel A sera, en' vertu même de la définition, — : — > k étant

une constante nécessairement égale à Tattracdon de Tuniié de masse sur Funitë de masse placée à l'unité de distance. Cette force d^attraction s'exerce par hypothèse dans la direction AP; les cosinus des angles que sa direction fait avec les trois axes sont donc.

et les trois composantes de l'attraction élémentaire suivant les trois axes sont

kmdm î kmdm =-» Amdat •

Si maintenant on désigne par X, Y, Z les trois composantes de l'attraction totale exercée sur le point A, od

aura

Cx — X X =:^ Am I ; — fim ,

i Cl-i

Z = Âm 1 ^ 1 dm i

Y = km I ' — — i- r/rii,

l'intégration devant s'étendre à toute la masse du corps attirant. Si l'on désigne par U la fonction des forces , ou qu'on pose

U = j(Xdx-hYdx-hZdz.]='-Am i —

les trois intégrales ou composantes X , Y, Z seront exprimées par la seule intégrale U, c'est-à-dire que l'on aura

Cette propriété remarquable subsiste même dans le cas où la densité du corps attirant est variable, et où l'attraction s'exerce suivant une fonction quelconque de la distance. Dans ce cas général , en effet , les composantes de l'attraction exercée par le corps sur le point matériel A seront, en appelant p la densité du corps au point P, et F ( r) la fonction de la distance suivant laquelle s'exerce l'attraction,

X=:m Ç Ç Çp fSllY(r]dxdydz, Y = /iJ Ç Ç Ç^llZJ^Y(r]d%.dydz, Z = m I I 1 p^-^^^F[r)dxdydz:

on a d'une part

dr X — X

dr r— y

dr z — z

dx r '

dz r

et si, appelant ^ (r) la fonction dont la dérivée par rapport à rest F(r), on pose

on aura évidemment, en admettant toutefois que la fonction 9 (r) ne passe pas par riniini entre les limites des in-

tëgratîoDs,

U =/(XrfxH- YdTj-f. Z</z),

S09. Revenons au cas particulier de rattraciion en raison inverse du carré de la distance. La fonction des forces U et ses dérivées par rapport à x, y^ z sont des fonctions finies et continues de ces variables, à la seule condition que la densité ne sera pas supposée infinie; c'est ce qui résulte immédiatement des équations qui expriment U, X, Y, Z, lorsqu'on admet que r est toujours plus grand que zéro, ou lorsque le point attiré est extérieur au corps attirant. Pour prouver qu'il en est encore de même lorsque le point attiré appartient au corps attirant, ou est situé dans l'intérieur du corps attirant , il suffira de remplacer les coordonnées rectangulaires par les coordonnées polaires en faisant

X =:a:-|-rcosf , y =^-|-/"sin^cosi|*, z = s-h rsin^siD^»;

f étant Tangle que la distance r fait avec l'axe des x et <)i l'angle que fait avec le plan xy le plan passant par la distance r et par Taxe des x. L'élément du volume sera alors

r^fSiVLjd^d^dry

et, par suite, en appelant p la densité au point P, on aura

dxcL z=i pr^ sio tfdfd^dry

U= — Amfffprsiufdffd^^dr^

X=D,U = — Amfffpàn^cos^difd^drf

Y = p;.U = — Amfffpsin^ffcos^dtfd'^dry

Z = Dj U = — Am fffp sin' ^sîn^dffd^ dr.

Or ces valeurs montrent évidemment que la fonction des

ÀTTRACTIOM UNIVERSELLE. 4^7

forces et ses dérivées sont des quantités finies et continues.

Si Ton piend les dérivées secondes de la fonction U exprimée en coordonnées rectangulaires, on trouvera

Dans le cas où r ne peut pas être nul, c'est-à-dire tant que le point attiré est en dehors du corps attirant, les seconds membres de ces équations restent finis, et, eu les ajoutant membre à membre , on trouve

D*U-hD'U-^D'U = A(»)U = o.

Le paramètre du second ordre de la fonction des forces U est donc alors identiquement nul.

Il n'en est plus ainsi lorsque le point matériel attiré fait lui-même partie du corps attirant. Pour savoir ce que devient alors le paramètre différentiel A*U, concevons une sphère infiniment petite qui entoure et renferme le point matériel A \ appelons U' la fonction des forces pour toute Tétendue de cette petite sphère et U'^ la fonction des forces pour tout le reste du corps \ U^' satisfera à Técpiation

Si Ton désigne par ^, >}, Ç les coordonnées du centre C de la petite sphère [fig* 44) » P^^ ^ son rayon, par p la densité au point attiré A devenu Tun des points du corps attirant et dans toute l'ciendue de la petite sphère, par d

la distance CA du point attiré A au centre C de la petite sphère, par r la distance PC de Télément attirant ou du point P au centre C de la petite sphère; par^' Fangle PCA de PC ou r avec CA ou d; en6n par f l'angle que le pian PCA fait avec un plan fixe mené par CA : on aura

PA = r = V^r' — 2rdcostp+d', dm = p r' sin >|« d<fd'^ dx ,

T^ûfi'^dffd^dT

r r r r^smu

dcos

Tin légra lion devant s'étendre par rapport à r depuis r =o jusqu'à r = R ; par rapport a ^ depuis (j/ = o jusqu'à i|; = tt; par rapport à ^ depuis f = o jusqu'à f = air. Une double intégration par rapport à i|; et f donne

XR [d-f-r — V(r— d)»]îl^,

équation dans laquelle il faudra toujours prendre pour V^(r — d)' la valeur positive du radical. Donc^ puisque d est toujours plus petit que R, on aura

XR . /•<!

\à^x^^xT^àf\lJ^^\ [(d -H r) - (d - r)]

rrfr T

XR ,

[(d + r)-{r-d)îî^

Jr 2r*c/r C ] — r f. I 2r^/r o d Jj

Substituant cette valeur, on trouve

et parce que d'= (a: — S)*+ (j — ^Y'^i^ — ?)''

d'où l'on tire, en différentiant,

D,U'=|itit/ifp(:t-Ç), D^U' = |7rA-/iip,

D,U'=:|7rXmp(2 — ;), D] U' = | Tr^mp,

et, par conséquent,

D^U' + D' U' 4- D]U' = A'')U== 47r ;frinp.

Pour le reste du corps attirant, on a, comme on Ta vu précédemment,

D^U''-HD'U"-i-D^U"=:A^*)U" = o,

on aura donc, en ajoutant,

D^U -h D' U -h D]U = A(»U = AC»)U' -h A(»)U" = 47rA/wp ,

p étant à la fois la densité du corps attirant et du point matériel attiré qui, dans le cas que nous considérons, fait partie de ce corps. On peut regarder cette dernière formule comme générale, ou l'étendre aux deux cas du point attiré extérieur et du point attiré intérieur, en admettant que lorsqu'il s'agit d'un point situé à l'extérieur du corps attirant, la densité p est nulle. A la surface même du corps attirant D«U aura deux valeurs égales à celles que

leurs infiniment petites positives ou négadves de Ax. D^ U et D' U auront de mime en général deux valeurs, de sorte que dans ce cas l'expression

aura en réalité huit valeurs distinctes.

210. Si la distance du point attiré au corps attirant ett très-grande par rapport aux dimensions de ce corps, on peut dans le calcul de la fonction des forces U développer

la quantité - en une série ordonnée suivant les puissances et les produits des coordonnées x, y, z. Si l'on fiil

OA = [«' +j' -+•*'} = «,■

on aura

2fl'

et, par suite,

Si maintenant on prend pour origine O des coordonow*

le centre de gravité G du corps attirant, et qu'on appelle fx ]a masse totale de ce corps, on aura

fxdm = Oy fjdmziiz Oy fzdm = Oy et, par suite,

Or si la distance R est très-grande relativement aux coordonnées X) y, z, on pourra réduire cette valeur de la fonction des forces à son premier terme, et l'on aura, par conséquent,

1J = ^km^y X^Am^, Y=X/iii^, Z=lmf^.

La résultante de ces trois composantes de Tattraction

sera égale à —^^ et elle s'exercera sur le point A dans

la direction AO ou AG. On en conclut ce théorème fondamental : Si la distance du point matériel attiré est très^grande par rapport aux dimensions du corps aiti' rant, l'attraction exercée est sensiblement la même, en grandeur et en direction, que si la masse entière du corps attirant était réunie en son centre de gravité,

211. Considérons le cas où le corps attirant est une couche sphérique concentrique et homogène dont nous prendrons le centre O pour origine des coordonnées.

Appelons R la distance 0A = ^a:*-|-j'-+- «* du point attiré au centre, P un élément de la couche sphérique

sensiblement Concentrée au point P ; OP=r= ^x'-Hy* -f-z* la distance de l'élément au centre O; ^ l'angle que la droite OP fait avec OA \ ^ l'angle que le plan OPA fait

402 STATIQUB.

av»c un plan fixe arbitraire passant par la dit>ite OA ; B, et R« les diamètres intérieur et extérieur de la couche sphérique; r la distance PA du point attirant P (x, y, z) au point attiré A (x, y^ ^)\ P enfin la densité unirorme de la couche sphérique homogène : on a dans le cas actuel

dm = pr' %\ïîffdffd'^dT^

r> = R* — aRrcoSf + r% et la fonction des forces U est donnée par Téquation

J '' J J J y/R'^a^rcwff-hr'

les intégrations ayant lieu par rapport à r depuis r=R, jusqu^à r = R«*, par rapport à (f depuis f=:o jusqu'à f = TT -, enfin par rapport à i|; depuis i^ = o jusqu^à (ff =: sir. Intégrant d'abord par rapport à ({;, on trouve

U = — ^tckmp I rdr 1 —

X c/o Va'-aRr

\fd^ cosf -hr*

Mais on a

/rs\n 9 dta 1 ,;— :

■ ■ " ^ = ~ VR -- aï^rcosif + r' +const.,

V^R>— 2Rrcos © -I- r» ^

le radical devant toujours être pris avec sa valeur absolue positive. On aura donc, si R est plus grand que r ou égal à r.

,^, , ^ ^===^[(R-^r)^(R~r)] = --i ^R' — aRrcosf -h r^ '^ **

et si au contraire R est plus petit que r,

•. o V*^ — aRrrosf-f-r^ tv

SubsthuaiU, on trouve :

1^ Si le point attiré est extérieur h la couche sphérique, et par conséquent R toujours plus grand que r (^g. 4^))

Vr. r 3R r '

fi étant la masse entière de la couche spbénque. Si, après

avoir substitué pour R sa valeur ^x* -hj* -h -z*, on différentie tour à tour par rapport à x^y^ z, on trouvera

X = D,U = -Jt:, T= D,U = — fi , Z=D.U = -j^.

La résultante de ces trois composantes donne pour Tat- U'action de la couche sphérique

A m a I km

\mu. I H m

itm u

Comme cette résultante agit en outre dans la direction du rayon de la couche, il en résulte que F attraction d^une couche sphérique homogène et concentrique sur un point extérieur est absolument la même que si la masse tout entière de la couche était réunie ou condensée en son centre.

2^ Si le point attiré est situé en dedans de la couche, si par conséquent R est toujours plus petit que r (J^g» 4^)^

U = 27rX-/wp/ 2re/r = — 27r^/iip (R^ — RM.

Les composantes de l'attraction seront données par les équations

Tattraction exercée par une couche sphérique homogène

et concenirique sur un point intérieur est donc absolnment nulle.

. 3^ Si le point attiré est situé dans la couche sphériqne même, et que Ton ait, par conséquent, R < R^, mais R>R, {fig. 47), on aura

-♦- 2ir

) I xdt I

'sio ffd^

reosf -i- r*

cos^ -I- r'

Comme R est toujours plus petit que r dans la première intégrale, toujours plus grand que r dans la seconde intégrale, on aura

l-..*«p[(Ri-R.)+|51^]

On en déduit pour les composantes de l'attraction

La résulunte ou Tattraction totale sera par conséquent 4 , R* — r/ a— i R3 — r'

ATTRACTION LNIVCRSELLE. 4^5

et elle b*excrce dans le sens du rayon de la couclie sphérique.

On serait arrivé au même résultat si, par F intermédiaire d'une troisième sphère ayant pour rayon la distance an centre du point attiré, on avait partagé la couche sphérique en deux autres couches concentriques, Tune extérieure, l'autre intérieure, par rapport au point attiré. En effet, l'attraction exercée par la couche extérieure est identiquement nulle, tandis que Tattraction de la couche

intérieure s'exerçant comme si sa masse ^ np (R' — R' )

«tait réunie en son centre de gravité, serait égale à

Si R. est nul, c'est-n-dirc si la couche sphérique se change en une sphère pleine, la résultante devient

et Ton en conclut que Taltraction exercée par une sphère homogène sur un point situé dans son intérieur est di-» rectement proportionnelle à la distance au centre du point attiré.

212. Les valeurs de la fonction des forces et de Tattraction auxquelles nous sommes arrivés dans les numéros qui précèdent, peuvent se déduire sans peine des équations

D'Uh- D' U-|-D'U=o, ou

c|ui ont lieu, la première quand le point est cxlérieur^ la I. ' 3o

seconde quand le point est intërietir au corps attirant ou en fait partie.

En effet, l'équation

donne

* R R» / R RJ • R R'

par conséquent

d:u = d^u(d,r)'+d^ud;r=J*d;u-hjD„u-^d,u,

D;U=D;0(D,R)'+D^UD;R = gD;U4-lD„U-gD,l'.

et, en ajoutant membre à membre,

On aura donc, pour un point extérieur au corps attirant*

I>kU-(-|D„U = o; pour un point extérieur ou adhérent au corps attirant

Djj U H- ^ D^ U = /in/,mp.

Puisque la couche ou anneau sphériquc est complètement symétrique par rapport à la distance R du point attiré, la fonction des forces U doit être une fonction de R seul ; de plus^ Tattraction de la couche doit nécessairement s'exercer dans la direction de la droite R et être égale à DuU. Les premiers membres des équations qui précédent

ATTRACT^O^ UKIVERSELLK. 4^7

sout donc des difTéreiitielles exactes ou complètes. De fait, multipliées par R' et intégrées, elles donnent dans le cas où le point attiré ne fait pas partie du corps attirant,

R' D^ U = constante, et quand ce point attiré fait partie du corps attirant

R*DjjU= ^ickmp I R'^R = I TfX/wpR» -h constante.

Admettons que le point attiré est tout à fait intérieur à la couche sphérique ou que R est toujours plus petit que R« , on a alors

R' Djj U = conslante ;

«t Tattrartion DgU est donnée par Téquation

,, const.

Pour déterminer la constante, on peut remarquer que si R est nul, ou que si le point attiré est situé au centre de la couche, Tattraction Dj^U doit être nulle; la con* stanteest donc toujours égale à zéro, et par conséquent {^attraction est elle-même toujours nulle tant que le point est dans l'intérieur de la couche. Comme d'ailleurs cette attraction est une fonction continue de R , elle sera encore nulle lorsque R sera égal à R. ou que le point attiré sera situé sur la surface intérieure de la couche sphérique.

Admettons en second lieu que le point attiré fait partie de la couche attirante, ratlraction sera dans ce cas