R'-HC
D„TJ=r-7r//>/o— ^P-:
et comme, en raison de la continuité, elle devra approcher
de zéro à mesure queR s'approchera de R,, la consUnleC devra être égale à — R?, el l'on aura
Sur la surface extérieure, ou lorsque R = R^, lattraclion jeviendra
3 Rr R.
Supposons enGa que le point attiré est tout à fait extérieur à la couche sphérique attirante ou que R est toujouri plus grand que R« ; on a de nouveau
Lorsque R deviendra égal à R^, cette équation doit don* ncr pour D^l] la valeur que nous avons trouvée lorsque le point attirant était situé à la surface extérieure de la couche sphérique^ on devra donc avoir
el par conséquent
Les valeurs trouvées pour rallraction par celte seconde méthode coïncident pleinement, on le voit, avec celles des numéros précédents.
213. Les mômes théorèmes relatifs à Tattraclion ti^ouvent leur application lorsque, au lieu d'être entièrement homogène, la sphère se compose de couches de dcnsile
ATTRACTION UNIVEUSELLE. 4^9
diiTérenlc, mais uniforme pour chaque couche :' puisque rattraction totale est nëcessaîrement égale h la somme des attractious des couches individuelles. Or si le point est extérieur à la sphère, il est attiré comme si la masse entière de la sphère était réunie en son centre; et ia manière dont la densité varie d'une couche à l'autre est tout à fait sans influence sur Tattraction exercée. Si le point attiré est situé dans Fintérieur de la sphère, on peut concevoir une surface sphérique concentrique qui passe par ce point ^, Tattraction de la couche extérieure est nulle et Ion n'a plus à tenir compte que de celle de la sphère intérieure. Mais pour arriver dans ce cas à trouver l'expression générale de l'attraction exeixée, il faudra nécessairement connaître la loi suivant laquelle la densité varie d'une couche à l'autre.
Admettons , par exemple , qu'à partir du centre elle diminue en progression arithmétique, qu'au centre elle est égale à p^? et qu'à la distance r du centre elle devienne po — cr. Appelons comme précédemment R, le rayon extérieur de la sphère, R la distance au centre du point attiré, R étant plus petit que R,. La masse du noyau sphérique sur lequel pose le point attiré sera alors égale à
Cette masse concenlréc au centre exercerait une attraction égale à
Cl celle allraclion sera par conséquent celle exeicée par la sphère entière. L'attraction sur un point intérieur dans
47<* STATIQLE.
riiypotbcsc (l'uue densité uniformément décroissante t partir du centre est doue la différence de deux tenues^ dont Tun est simplement proportionnel à la distance au centre du point attiré, dont Tautre est directement proportionnel au carré de cette même distance.
214. Considérons le cas où le corps attirant est un ellipsoïde homogène dont la surface a pour équation
Conservons le^ mêmes notations que précédemment, et calculons d'abord la fonction des forces donnée par 1 équation
, rdm , rrrdxdydz
Tintégrale devant s'étendre à toutes les valeurs de x, y- ^ qui satisfont à la condition
Pour intégrer ou peut, suivant une méthode proposée d* abord par Lejeune-Di ri chlet. commencer par étendre les limites de Tint^rale, en multipliant Fexpressiou à inlf%rer par le facteur
I ^cos-^-h, +-•#/*, qui est égal à T uni té aussi longtemps que le trÎDÔinr
-.H ; H ; est plus petit que i, et qui est nul quand ce
fadeur clc\ieul plus f^ran^i que Tunilé ( innez nos Ltron^
ATTRACTION UHIVEUSELLE. ^^l
de Calcul intégral, p. '26g). On aura ainsi
les intégrales relatives à x, y, z s^étendant actuellement de — 00 à + 00 . Pour simplifier le calcul on peut encore substituer à Tintégrale qui précède la suivante
qui a la même partie réelle, ou qui n'en diffère que par un terme imaginaire. Pour faire passer aussi en exposant la quantité variable r, on peut recourir à Tintégrale défiuie [Calcul intégral, p. 309)
d'où Ton lire
subslituanl pour -sa valeur, on trouve
OU bien, en mettant pour r* sa valeur.
«/ — oo ^\ e dz.
Or on a {Calcul intégral, p. Sio)
^-yCi;
Les deux autres intégrales relatives à y et à z seraient données par des équations toutes semblables, et en substituant on trouvera
U' = -^- 2 km f ^ — 1
ATTRACTION UNIVERSELLE. i^3
Cette intégrale se simplifiera beaucoup si Ton remplace d»
par une nouvelle variable ^ définie par Téquation y = - - En posant, en effet, pour abréger,
on trouvera par la substitution de ;^ à (|/
" \/FëTFïyH)
La partie réelle de cette intégrale donnera
En différentiant par rapport à .r, on aura la composante X de Tattraction suivant Taxe des x,
^ CCS (Ttp sin 9^7
Ou a d'ailleurs {Calcul intégral, p. 269)
rcos (7^ sin (pr/cp n
oc
ces (T(tf sin a>r/<o
-9 si T<li,
COSto sinepr/«p
