SI «T > I

474 STATIQVE.

Il se présente donc deux cas , suivant que le point attiré est intérieur ou extérieur à Tellipsoïde. Enefiel : i" Pour un point attiré intérieur, on a

a^ ir c'

et, par conséquent, aussi

J[ ces ory sin ^dff T o f ~ ^' ir.kmpx /** rfx

2^ Pour un point attiré extérieur, on a

:n + îï + ?>'.

et, par suite, a> i pour ^ = o, et tant que y^ n'aura pas atteint la valeur correspondante à Téquation

à partir de cette valeur de -/^ jusqu^à Tinfini , on aura au contraire (t <; i , Si nous représentons par ;f, la racine positive unique de Téquation (7 = 1, Tintégrale qiii donne X pourra n'être prise par rapport à jf que depuis X ^ Z* jusqu'à X = 00 ; on aura donc dans ce cas

\/{''iï('^l)H)

ATTRACTION VHIVEILSELLE. 4?^

mais cette réduction est moins une question de mécanique qu'une question de calcul intégral et nous ne nous y arrêterons pas.

On trouvera de même pour les deux autres composantes de I ^attraction

rfz

les intégrations devant s'étendre pour un point intérieur de o à GO , pour un point extérieur de ^i jusqu^à oo . Ces intégrales se ramènent par les méthodes ordinaires aux intégrales elliptiques de premier et de troisième ordre.

215. L'attraction d'un ellipsoïde s^ur un point intérieur ne change pas ou reste la même lorsque ses axes croissent ou décroissent ensemble dans le même rapport, ou tant que l'ellipsoïde reste semblable à lui-même. En efTet, si l'on calcule au moyen des formules établies dans les paragraphes précédents l'attraction d'un ellipsoïde dont les demi-axes seraient (i-|-5)û, (i-f-5)i, (i-f-5)c sur un point intérieur, on trouvera pour la composante suivant l'axe des x

<ir.

mais si Ton pose - — ^^^ = /' cl «juu Ton remarque que

pour X ^^ ^ ^" aura x'= o, pour ^ = Qo , )^' = 00 , on

aura

c'est-à-dire qu'on retombe exactement sur la valeur de X, ou sur la composante de T attraction, exercée par Tellipsoïde dont les demi-axes étaient a, 6, c. Il en résulte évidemment qu une couche ellipsoïdale hom(^ène terminée par deux ellipsoïdes concentriques et semblables ou à axes proportionnels n'exerce aucune action sur un poÎDt situé dans son intérieur.

S'il s'agit au contraire de ratlractiou exercée sur un point extérieur par l'ellipsoïde dont les demi-axes seraient (1 4-5)rt, (I-I-5) A, (i-f- S) c, on trouvera pour la composante suivant l'axe des x.

Xi étant la racine réelle unique de Téquation

Mais si l'on pose - — ^^^^ = x'> on aura, pourx = *'

X' = QO ^ et pour X = Xi' X' = X •' X • *^^^"^ '^ vaLcine réelle do Téquation

ATIRACTIOW UNIVERSELLE, ii'itic l?inii(*1lo 1"—— . 1 . . - i ■

aura donc

en appelant X rattraciîou exercée par un ellipsoïde dont les trois demi-axes seraient a, &, c^ sur le point extérieur a/, y y z\ On trouvera de même

et Ton en conclut que si les axes de Tellipsoïde ainsi que la distance à son centre du point attiré croissent dans un certain rapport, en même temps que la droite qui va du centre au point attiré conserve toujours la même direction par rapport aux axes coordonnés, les composantes de Tattraclion et par conséquent ratlraclioii elle-même croissent dans le même rapport.

216. Si Tellipsoïde proposé devient un ellipsoïde de révolution, les intégrales elliptiques qui donnent Tattraclion peuvent se réduire à des fonctions circulaires ou logarithmiques. Prenons pour axe des x Taxe de révolution, ce qui exige que Ton ait 6 = c, il viendra

a7rXv//px /* dy

l/inlégralionsc fera différemment suivant que a sera plus

grand ou plus petit que b. Supposons d'abord a > ft; ou aura alors

Pour un point attiré intérieur, les limites sont o et oo , on aura donc

^itkm^b^x

Pour un point attiré extérieur les limites de l'intégrale sont -^^y 00 , et il vient

/^itkntpb^jr

p(i étant donné par Téquation du second degré

Si a est plus petit que i, on aura

àx