I slb^ — a^ I
= ^ : ( , arc tang —, == I + C,
on en conclura : dans le cas d'un point attiré iiuérîeiir
^ fk'Kkmùb^x f a Jb^^a^
X = —7- — *— —- I ■ arc tanc '
b' — a' \ sjb'^a* o
ATTRACTlOn UHIVBRSELLE. 479
dans le cas d'un point extérieur
4 itkmpab'*je
, 7 arc tang . — l-
Va' -H Xi V ^* — «' V «" H- Z« J
Les deux autres composantes de Tattraction exercée par Tellipsoïde de révolution seront données par la formule
Y Z 2irXviîp
Or, si a>i,
On aura donc, dans ce cas, pour un point intérieur
et pour un point extérieur
48o STATIQUE,
Sî au COU traire a < fc, on aura
== -^-^ — ; arc taiig , |
et, par conséquent, dans le cas du point attiré intérieur,
et dans le cas du point attiré extérieur,
Y Z 2r.Âmpab^ y~' z ô» — rt^
^, arctang -^— — ^ •
Les deux composantes Y et Z, par suite de Tégalîté -=-^
peuvent se composer en une force unique dirigée suivant la perpendiculaire abaissée du point attiré sur Taxe de révolution : si l'on appelle Y' cette résultante et p la longueur de la perpendiculaire en question, on aura
Admettons que Texcentricilé de Tellipse est très-petite-, et en supposant d'abord a^ b^ posons
e étant une quantité très-petite, on trouvera
formules dans lesquelles p^i est nul pour uii point attiré intérieur, et se trouve donné pour un point attiré extérieur par Féquation
-f- TT- = 1.
Si Ton développe suivant les puissances ascendantes de e* et qu'ion néglige les quatrièmes puissances et au delà, on trouvera
OU, en posant x^ + p^ =:R*, R étant la distance du point attiré au centre de Tellipsoïde,
Si, revenant aux valeurs des composantes de Pattraction on les développe suivant les puissances ascendantes de e* en négligeant les termes en e^, e', etc., on trouvera : !<> Pour un point attiré intérieur, cas pour lequel
Q? Pour un point attiré extérieur, -^^ ayant la valeur I. 3i
48a STATIQUE.
précédemment détenninée,
Supposons en second lieu a<^h^ ou que TeUipsoïde de révolution est un ellipsoïde aplati \ et posons
on trouvera
— ^ \ , arc tang . |
y'r= lÇ i{ -arc tang , — ', . ^, — p
formules dans lesquelles ^i est nul pour un point intérieur, et se trouve donné pour un point extérieur par l'équation
fl^-H^, ûa(n.^>)-|-j^,
On tire de cette dernière équation, en négligeant les puissances supérieures de e*,
Alors, en développant les valeurs des composantes X, V et négligeant les puissances supérieures de e', on trouvera :
i^ Dans le cas d'un point intérieur et de ^i = o,
ATTRACTIO» UNITERSELLE. 4^3
a® Dans le cas d'un point extérieur^ ^i aj&nt la valeur qui précède,
217. Appliquons ces principes au calcul de Tattraction de la terre sur un point extérieur, en tenant compte de son uiouvement de rotation autour de son axe. La forme de la terre a été partiellement déterminée par des mesures qui ont prouvé qu elle diffère très-peu d'un ellipsoïde de révolution aplati dont Taxe de révolution a est 6 356 079; dont Taxe équatorial b est 6 877 398, dont
l'excentricité, par conséquent, e=: ^ =0,082.
Quand il est question de la forme de la terre, il est sousentendu qu'il s'agit de la forme de la surface des mers et des continents ramenés par le nivellement à l'horizon des mers. Nous ne savons rien de la structure intérieure de la terre, si ce n'est que sa densité est bien plus grande au centre qu'a la surface ', il a été démontré en effet que la densité moyenne de notre globe est deux fois plus grande que celte des minéraux et des terres qu'on rencontre le plus fréquemment à la surface. L'hypothèse la plus naturelle relativement à la constitution intérieure du globe terrestre est d'admettre qu'il est formé d'ellipsoïdes de révolution concentriques, d'excentricités différentes, mais toujours très-petites.
Pour trouver l'attraction exercée par un semblable ellipsoïde, cherchons d'abord celle qui correspond à une couche ellipsoïdale infiniment petite dont a serait l'axe de révolution, da l'épaisseur, e l'excentricité, eip la densité. On trouvera les composantes de cette attraction en
différentîaut, par rapport à a et regardant p et e comme constants, les valeurs trouvées précédemment -, c^est-à-dire que Ton aura
Intégrant maintenant par rapport à a depuis a = o jusqu'à a = a, a étant Taxe de révolution de la terre, mais en considérant cette fois la densité p et T excentricité e comme des fonctions de a, on trouvera pour les composantes de Tattraction de la terre parallèles et perpen(Uculaires à Taxe de révolution
ou bien, en posant, pour abréger^
B étant une quantité très-petite de même que e*,
Si Ton connaissait la loi suivant laquelle la densité et Teicentricilé varient avec Taxe de révolution de la couche ellipsoïdale, on pourrait calculer les intégrales A, B, et par elles l'attraction totale de la terre. En T absence de ces
ATTRACTIOH UNIVERSELLE. 4^5
données fondamentales, on peut néanmoins obtenir approximativement les valeurs de ces intégrales quand on connaît la valeur de l'attraction terrestre en un lieu déterminé.
Admettons d'abord que le point attiré est situé à la surface de la terre; appelons X la latitude géographique, c'est-i-dire l'angle que la normale en ce point fait
avec Téquateur, et £ = l'excentricité à la surface de la terre ; on aura
a sin ). a ( I H- c* ) cos X
^ I -i- «' COS'' X V I H- «=• COS^ A
V 1 -+- «^ cos' X
ou bien, en développant suivant e* et négligeant ses puissances supérieures,
0? = a sin X ( i c' cos* X J ?
/9 = 0ecosX| i-f-fM I-, — cos'X j L R = a( i-h -^c»co$î'X|«
Substituant ces valeurs, et négligeant avec e* les petites grandeurs e* B qui leur sont comparables^ on trouvera
X=^"y"^((A-B) + cosn(gB-..'A)],
Y'= 4^!:^^ [(A +..A - .B) + cos' J| B - a.» a) ].
Le mouvement diurne de rotation de la terre autour de son axe fera nattre une force centrifuge normale à cet axe et égale en intensité, comme on le prouve en dyna-
IWP^
mique, à — 9 1^ étant la vitesse du point attiré. Si Ton
486 STATIQDE.
prend pour unité de temps, la seconde de temps moyen, comme dans un jour stellaire, îl y a 861649O9 secondes, on aura
Hic
en appelant od pour abréger la vitesse de rotation ^-w — Cela posé, la force centrifuge sera
"*^ • . r / ï Al
= mfo^p = mu'acosX 1 i-htM 1 — ^oos* A j l-
La composante Y' de l'attraction normale à Taxe est diminuée de la force centrifuge, et devient, par conséquent, V — mtù^p. La résultante de celte nouvelle force et de la composante X sera précisément le poids du point attiré, et l'angle 0 que sa direction fera avec Téquateur sera donné par Téquation
tang G = — •
Mais la direction de la pesanteur doit, comme nous le prouverons dans Thydrostatique, être normale â la surface des mers, on devra donc avoir 0 = X et, par conséquent,
X Y' — mw> X
tang>=- —, — : —^ = -7—.
Y' — mvi^p cosX smA
Substituant dans cette équation les valetirs deX, de Y' et de mtù^p^ on arrive à Téquation de condition
49rX'i7i
Ha — B)-Hcosn [-A— 2«^b|
— ///ft)^ a I I -H sM I cos' ^ ) h
OU, en réduisant,
[,4-.'(.-lca»n)] = ^(.'A-B).
Comme cette équation doit subsister pour toutes les valeurs de X, il faut nécessairement que co'a soit une quantité de même ordre que e* ou comparable à e*, et cette remarque permet de réduire Féquation qui précède à
wa
La grandeur de la résultante des composantes de l'attraction diminuée de la force centrifuge, ou le poids P du point attiré est en outre donné par l'équation
sinX
on bien, en substituant pour X sa valeur, P=^[(A-B)+cosn(fB-...A)] = 421^(a + ^B- ...a) + ll^(3..A- ^B)«nU
= i^(A + -B-«'A]+a j[-(.'A-B)-.'Aj«n»X,
et, en remplaçant s'A — B par sa valeur tirée de Téquationa)«« = ^(e«A — B),
„ L-Kkm /, 3 ^
(5 , I iir^A\ . ,,
Mais, comme nous le yerrons, la masse m est égale au poids P divisé par la pesanteur g^ mesurée par la vitesse
qu^un corps acquiert dans une seconde en tombant dans le vide-, on aura donc, en substituant pour m sa valeur,
Si l'on faitX 3= o, on aura pour la pesanteur g^ à Téquateur
d'où Ton tire
kk 4*f^/3« ,A
substituant cette valeur dans l'expression de g^ et n^li-
géant avec e^ les grandeurs qui lui sont comparables e' 6, e^ A, on aura
Comme &>' a est aussi une quantité comparable à e', on peut à la place de &>* et prendre une grandeur qui n^en diffère que par une quantité de quatrième ordre comparable à £^, à savoir la force centrifuge à Téquateur co'6, déterminée par Téquation
et en posant n = ou désignant par n le rapporienlre
la force centrifuge et la pesanteur à Féquateur, on aura définitivement
▲TTBACTIOlf UMIVEBSELLE. 489
Cette formule, qui eiprime la pesanteur à la surface de la terre, a d'abord été donnée parLaplace, qui y est arrivé par une voie incomparablement plus longue et plus détournée.
Les obseryations du pendule faites sur un grand nombre de points de la surface de la terre ont permis de calculer avec assez d'approximation les valeurs de go et de
- /î s* ; on a trouvé ainsi
on aura donc
grj^ = 9",78o3(i -ho,oo5i757sm'X) = 9",8o56(i — o,oo258i cosaX).
Puisque Taxe équatorial de la terre a été trouvé égal à 6377398 mètres, on aura
/!= = ,Qi, af ^ — = 0,00347, -/! = 0,00867.
gr« (86164,09)*^, ' ^' 2 '
Et puisque par les observations du pendule on a trouvé
-/i s*= o,oo5i8.
on devra avoir
valeur qui diffère en réalité très-peu de la valeur o, 082 qui résultait des mesures prises et dont nous étions parti.
