Des équations
4gO STATIQUE.
on tire
Substituées dans les équations qui donnent les composantes de Tattraction sur un point extérieur quelconque, ces valeurs de A et de B donnent
Appelons h l'altitude ou la hauteur du point attiré audessus de la surface de la terre, et X, comme précédemment, la latitude géographique du point correspondant à la surface^ on aura
x = a sinX f i s*cos*> )-+-/* sinX,
p =acos> I I -f-«M I cos'X I j-f-AcosX,
R=a-i-A-h ic>cos»>. , (a-f-aAcosU);
OU, si la hauteur h est très^petite par rapport au rayon de la terre,
X = (aH-A)sin).f i l'cos'X U
p z= (a-i- h)cos\ iH-f' I I cos*>l \j
R= («-4-/') ( i4-i«'cosUj,
▲TTRACTlOn VniVERSELLE. 49^
et en substituant,
X= mg^sia'k rr: (« -— 2«*cosU)
xî'-^[r'^r -("-") (-Mil
= '"^•"''4(TTÂ)'"*-(r-r')»H'
La force centrifuge agissant sur ce même point attiré a pour valeur
m t^'^p = m w' ( a + /i ) cos\ =z mtà^a c6s\ = mng^coi X,
parce que la petite quantité m(ù* - est de même ordre
que 6* et peut être négligée. Il faudra diminuer de la force centrifuge la composante de l'attraction perpendiculaire à l'axe, et Von aura
Onen conclut ,-7 = tanff X, et par conséquent
la direction de la pesanteur a la hauteur h au-dessus de la surface de la terre est la même qu'au point situé sur la mènne verticale à la surface de la terre; c'est-à-dire que, même en tenant compte de la force centrifuge, la direction delà pesanteur est celle de la verticale du lieu.
La résultante ou le poids du corps sera donné par
l'équaiion
^ '^^ sinX
Si Ton représente par g la vitesse acquise après une
seconde par un corps qui tomberait librement dans le vide a la latitude X et à Taltitude A, on aura
d'où il résulte que la pesantçur à une hauteur au-dessus de la surface des mers petite relativement au rayon delà terre est inversement proportionnelle au carré de la distance de ce point au centre de la terre.
219. Dans tout ce qui précède nous avons négligé Tatraction produite par les continents élevés au-dessus du niveau des mers. Soit AM'B (Jig. 4^) la surface du continent, DAMBE la surface limite de la mer prolongée andessous du continent. Soient en outre M' le point attiré, M' M la normale k la surface de la mer prolongée, h la hauteur MM', et admettons pour plus de simplicité, ce qui sera vrai avec une certaine approximation, que MM' est aussi normale à la surface du continent. L'intensité de la pesanteur en M', si le continent AM'B n'exerçait aucune attraction, serait, comme nous Tavons
trouvé précédemment, g^ -. rr^» g s étant la pesanteur
au point M; il reste à ajouter à cette quantité Fattraction du continent AM'Bqai s'exerce, comme nous le verrons, suivant MM'. Pour trouver cette attraction , désignons par ^ la densité du continent considéré comme une masse homogène, par y, z les coordonnées d'un point de cette masse perpendicidaires et parallèles i MM' pris pour axe des z^ et par r la distance M'P. Construisons maintenant autour de MM' comme axe deux surfaces cylindriques dont les rayons soient y et y+ Jy, et partageons la couche cylindrique élémentaire comprise entre les deux cylindres en anneaux circulaires par une série de plans horizontaux. La masse <^m de Tanneau élémentaire renfermant le point P sera
la distance de chacun des points de cet anneau à M' sera sensiblement
et la composante parallèle à MM' de l'attraction de l'anneau sur M' sera par conséquent
, z — X , 21^ km ù'yzdydz km rfm i-^ \ — 9
•*' (y»-+-2'Jï
parce que z = o, puisque M' est l'origine des coordonnées. Comme, par hypothèse, tout est symétrique autour de MM', la direction de l'attraction exercée par chaque anneau élémentaire sur M' devra être dirigée suivant MM' et être égale, par conséquent, en intensité comme en direcrection, à la composante ci-dessus. II reste à intégrer cette attraction élémentaire par rapport à y et à z, en étendant l'intégration à toute la masse du continent attirant. Si nous supposons d'abord que le continent est un cylindre de rayon c et de hauteur sensiblement constante
A = MM^, les timîtes de l'înlégrale seront pour y, y =: o, y = Cj pour z, z = o, z = A ; et l'on aura pour l'attraction cherchée
iKÂmp' f jdy f j
Si A est très-petit par rapport à c, comme cela a lieu pour les très-grands continents , on pourra négliger les puissances de - supérieures au carré, et Tattraction cherchée c *
sera
2ir
cette expression est indépendante de c à la conditiou que c sera très-grand par rapport à A, et on peut la regarder comme représentant l'attraction du continent tout entier; si on la divise par la masse m du point attiré et qu'on
l'ajoute à g^ j-^ on aura la pesanteur g^^ au point
Lorsqu'on donne la masse de la terre, ou du moins sa densité moyenne, on peut trouver de la manière suivante la valeur du coefficient Ai. La masse d'un ellipsoïde de révolution dont la densité est p, dont les deux axes sont
sfF^
a et & , dont l'excentricité e = est
ÀTtRÀCTIOH UNIVERSELLE. 49^
Si on diffîrentie cette expression par raj^prl i a, en regardant |9 et 6 comme constants, puis qu'on intègre entre les limites a =: o, a = a, en regardant cette fois p et e comme des fonctions de a, on trouve pour la masse de la terre
= 4ir 1 I
pfl* (i H- tf') da = 4wA,
et, en substituant pour l'intégrale A sa valeur déjà trouvée, d'où Ton tire
Si l'on désigne par fP la densité moyenne de la terre, on si l'on fait fx =^ rp'a* (i -h «*), on aura
Substituant enfin cette valeur de k dans celle de ^,^ et
n^ligeant avec e* les quantités du même ordre e* -9 /i -« on trouve
La densité moyenne de la terre est 5,44* <^clle de l'eau étant I \ elle est donc sensiblement double de celle des minéraux que l'on rencontre le plus souvent à la surface
de la terre, et si l'on fait ^/= -> on aura
d^où Ton conclut que l'attraction exercée par les lai^ portions de continents qui dominent le niveau des mers a pour effet de ramener la pesanteur à ce qu'elle serait si le rayon de la terre était plus grand qu'il ne Test dans
le rapport de ? à i .
290. Jusqu'ici nous n'avons considéré que le cas où Tun des corps attirants pouvait être ramené k un point matériel sans dimensions sensibles ; et nous avons actuellement à calculer Tattraction exercée Tune sur l'autre par deux masses étendues ou par deux corps de dimensions finies. Désignons par j:,^', z les coordonnées de Fan quelconque des points du premier corps, par x\y\ z' les coordonnées d'un point aussi quelconque du second corps, par r la distance des deux points, par dm^ dni les masses élémentaires ou de deux sphères infiniment petites renfermant ces deux points \ les composantes de l'attraction mutuelle de ces deux points seront
k ' dm* dnty A- — dm' dm , à dm' dm.
Ces trois forces attractives élémentaires, étendues k tons les points des deux corps et composées entre elles, donneront naissance à une force principale dont les compo-
ATTRACTION IJUIVERSELLE. 497
sautes X, Y, Z, et à un couple principal dont les moments linéaires principaux L, M, N seront donnés par les équations
X = ^ I I ' — - — dm' dm ^
Y -^ / r f---/- dm' dm , Zrrr /- Ç Ç-JI^dm'dm,
h= A- f l'Lllll^^dm'dm,
N = ^ r Cl^Z^Zl^ dm' dm .
Si le trinôme LX -h MY -hNZ = o est nul , Tattraction mutuelle se ramènera à une résultante unique, et les deux corps graviteront Tun vers l'autre en ligne droite*, dans le cas contraire ils tendront en outre à tourner Fuu autour de Tautre. L'intégration de ces équations, même dans les cas les plus simples, ne se fait pas sans de grandes difïicultés. Nous nous bornerons donc à considérer le cas très-élémentaire où les deux corps qui s'attirent mutuellement sont spliériques et homogènes, ou du moins composés de couches sphériques concentriques cl homogènes.
Soient fi la masse de l'une des sphères, C son centre, fx' la masse de la seconde sphère, et C son centre. L'attraction de la sphère fxsur un point quelconque O' de la sphère fx' sera la même que si la masse [jl était réunie tout entière dans son centre de gravité C, En outre, l'attraction de la masse jui réunie en C sur tous les éléments O' de la sphère a' est égale et opposée à l'attraction de J. 3i
la sphère fi' sur C; elle sera donc la même que si toute la masse C^ était réunie au centre /x^ Donc rattraction mutuelle des deux sphères sera exactement la même que si leurs deux masses étaient respectivement réunies à leurs ceutres , c'est-à-dire que celle attraction muluelle
sera simplement égale à -~^ t R étant la dislance des
deux centres.
Au moyen de la balance de torsion ou a mesuré la ({uantité d'attraction de deux sphères dont on connaissait la masse et la distance; on a pu ainsi déterminer la \a-
leur de /i , et on Ta trouvée écale & -^> le mètre cl le
kilogramme étant pris pour unités.
ATTRACTION DES SPHÉROÏDBS. 499
