VC

2 7rXp bcda^

ATTRACTION DES SPHÉROÏDES. 5lJ

les formules (3) deviennent alors

X zir AnUtpbcda -J^ [(«» H- a) ' b' -f- u) (c' -+- 11)]' ^

Y --r 4trXp bcda ^f^^lifi' -{- u [b' -h u {c'-hu]] \ Z 1= 4wXp^Cc/fl -/-^ [(«' -f- //)(6^ -f- u) (r- -h /« f %

t "I Cv

et, par suite,

VX» -4- Y» -f- Z' = 4îr^p 6<:r/ay; [(«= H- u) [b^ -f- «) (c' -+- «)] '.

Telle est l'expression de l'allraclion d'une couche ellipsoïdale sur un point extérieur : p représente dans celte expression la distance du centre de lellipsoïde au plan tangent à rellîpsoïde homofocal passant en S. Dans les cquatioi^ précédentes, posons

û'H-«--£7Î, b^-\- u — b*j c--hu=rc].

Remplaçons, pour plus de symétrie, dans la suite des calculs, X, Y, Z, X, j-,z, p, parX,, Y,, Zj, x,,y,, z,,pi; supposons que la couche agisse non plus sur un simple point matériel, mais sur Télément do)^ de la surface de niveau passant en S, et mettons en évidence la masse r/ot), de Télément attiré implicitement contenue dans le facteur k : nous trouverons ainsi

Ai =r- 4 A'ïrp bcda • — v ; •

Or, on a

5l8 STATIQUE.

et, par conséquent,

^kTzùbcda X, =r i- dy.dz,.

On trouverait de la même manière pour un autre élément de surface de niveau

^Anbrda

X, — dx^dz^y

a-i Oi c-i

d'où

X, <lx,<h, a,b,c,

Xj djr^dz^ ftiàiCi

Mais si rl(i)i et ^0)2 sont deux éléments correspondants sur les deux surfaces do niveau, on a

fit a, b^ bi r, r.

c'est -à-dîre

dx^

dxi

d)\ dj^ b, b, '

dz^

et enlin

dzj

Cette équation conduit au théorème suivant :

Théorème \IIl. — Les composantes de Vatlraction mutuelle de deux points correspondants sont entre elles en raison îui^erse des axes des surfaces homoJocaUs auxquelles ils appartiennent,

225. Nous terminerons ces considérations géométriques par une remarque intéressante consignée dans le Mémoire de M. Chasies sur Tattraction des ellipsoïdes.

Si Ton reprend la valeur de Tattraction totale exercée

ATTRACTION DES SPHÉROÏDES. Sip

sur un point extérieur,

et si Ton suppose, au lieu d'un simple point attiré, un élément de surface de niveau ^&)|, cette expression de l'attraction prendra la forme

4ir A'p bcdapxdtùx

Si l'on intègre relativement à Paire entière de la surface

de niveau, et si Ton remarque que Spi d(ù est le triple du

volume de l'ellipsoïde dont les axes sont aj, &|, Ci, ou

trouve

i&rek^hcda.

On peut donc dire que :

Théorème K. — La somme des attractions exercées par la couche sur tous les éléments d\ine même surface de nis^eau est constante.

226. La théorie de M.-Chasles résout complètement le problème de l'attraction d'une couche infiniment mince. L^at traction d'une couche d'épaisseur finie ou même d'un ellipsoïde plein est, comme on sait, beaucoup plus dif* ficile à évaluer-, mais, d'une part, si le point attiré est intérieur à l'ellipsoïde, en vertu du théorème de New^ton, l'attraction exercée par la couche comprise entre la surface de l'ellipsoïde et l'ellipsoïde homothétique et concentrique passant par le point attiré est nulle, et le cas du point intérieur se ramène au cas d'un point situé sur la surface. D'autre part, Ivory a fait connaitre un théorème très-remarquable qui permet de ramener le cas du point extérieur au cas du point intérieur, en sorte qu'en dernière analyse on n'a plus à considérer que le cas d'un point situé sur la surface.

Considérons un premier ellipsoïde dont les demi-axes

SaO STATIQUE.

sont ûr, i, c] rattraction exercée par lui a pour composantes

X = X/w / — ;: — r/in.

Y — Am I - — r^dm.

=: km I

tim,

X, y, z désignant les coordonnées de Télément attiranttiin, X, y^ z les coordonnées du point attiré, r la distance de Télément dxn au point attiré : A' représente toujours le coefficient de Tattraction, et m la masse du point attire. Considérons, en particulier, la composante parallèle à Taxe des x : on peut la mettre sous la forme

X=:Amp III --r—^ — dxdjdZf

/9 désignant la densité constante de Pellipsoïde. L'intégration par rapport à x peut s'eflecluer et donne

'z dy di

T] et Ti désignant les valeurs de r correspondant à deux points situés sur la surface de Tellipsoïde et sur un prisme parallèle à Taxe des x.

Faisons actuellement passer par le point a:, j*, z uu ellipsoïde homofocal avec Tellipsoïde attirant: Taction de cet ellipsoïde idéal supposé plein sur le point correspondant de X, y^ z aura pour composante suivant Taxe des x

x', y', z' désignant les coordonnées d'un point du nouvel ellipsoïde, et r',, r\ les distances du point correspondant du point attiré à deux points situés sur une parallèle à

ATTRACTION DES SPHÉROÏDES. 6c2I

l'axe des x et sur la surface du second ellipsoïde. Rien n'empêche de choisir pour ces points les points correspondants jr, y^ z^ X, y, z des points qui se présentent dans la formation de la composante X \ on aura alors /•j = /'^ et r, = r,, en vertu du théorème V, p. Soj.

Si nous désignons alors par ^q\ ib' ^ ic' les axes de Fellipsoïde passant par le point x, y, z, et homofocal avec Tellipsoïde proposé, on aura

fi^a' dy b' di! c' rl\ a dy b dz c '

et, eu vertu de ces équations, la formule qui donne X' pourra s'écrire

On aurait de même

b'c' bc ^

C'est dans ces trois égalités que consiste le théorème d'ivoiy.

Théobème X. — Les attractions que deux ellipsoïdes homofocaux exercent parallèlement à chaque axe sur deux points coiTespondants places sur leurs surfaces respeciii^eSj sont entre elles comme les produits des deux axes perpendiculaires à chaque composante.

Poisson a remarqué le premier que ce théorème est indépendant de la loi d'attraction.

Ajoutons que si nous convenous d'appeler éléments correspondants deux éléments de surfaces de niveau tcLs,

que chaque poiut de Tun ait son correspondant dans Fautre, nous pourrons énoncer ]e théorème suivant :

, Théorème XL — Les attractions exercées par une couche comprise entre deux ellipsoïdes honiothétiques et concentriques, sur deux éléments correspondants^ sont égales.

Soient, en effet, a, b, c les demi -axes de la surface externe de la couche, p la densité de cette couche-, ai, &i, Cl les demiraxes de Tune des surfaces de niveau^ d(ù. un élément de cette surface, p la distance du centre de la couche au plan de cet élément, l'attractioti exercée sur cet élément sera

a^bxCx

Soit r/w' l'élément correspondant de dtù sur une surface de niveau dont les demi-axes soient a,, b\^ c\\ soit aussi p' la distance du centre de la couche au plan de Télément rfw' : l'attraction exercée sur cet élément sera

Le rapport de ces deux attractions est

II) /^^^ « I ^\ g I ,

p' dti! fli^iC,

Mais pd(ù est égal kdjdz-^^ p'rfw' est égal à dy'dz'-y'

X, ;'", 2, x\ y'^ z' désignant les coordonnées des éléments rfw, Jw'j de plus, comme ces éléments sont correspondants, on a

ou bien

dx dx'

dz dz'