ATTRACTION DES
ELLIPSOinES.
c'est-
-dire
dx dj/
dy-
dz dz'
le rapport (i), en tenant compte de ces relations, se réduit à l'unité, ce qui démontre le théorème que nous avions énoncé.
227. Concevons un corps matériel de forme quelconque, mais terminé par une surface fermée^ c'est-à-dire ne s'étendant pas à Tinfini, et doué du pouvoir attractif en raison directe des masses et en raison inverse du carré des distances. Concevons les surfaces de nweau relatives à son attraction; il y aura trois cas à distinguer : les unes seront entièrement extérieures au corps et l'envelopperont de toutes parts; d'autres seront entièrement comprises dans Tintérieur du corps, et d'autres enfin pourront être en partie extérieures au corps et en partie dans son intérieur, à moins toutefois que la surface du corps ne soit elle-même une surface de niveau, auquel cas il n^y aurait que des surfaces intérieures et des surfaces extérieures. Quoi qu'il en soit, nous ne considérerons que les surfaces entièrement extérieures au corps.
Soit A Tune de ces surfaces : concevons sa normale en un point m, et soit dn la portion de cette normale comprise, extérieurement à la surface A, entre le point m et la surface de niveau infiniment voisine de A. Enfin, soit K un coefficient constant qui sera un infiniment petit du • deuxième ordre. Prenons sur la normale, intérieurement
à la surface A, un segment — : son extrémité aura pour
lieu géométrique une certaine surface. Cette surface, et la surface primitive A qui a servi à la construire, compren-
dront cnlre elles une couche intinimeiit mince, donl Tcpaisseur, variable en chaque poinl, aura pour cxpres-
K sion -—• fin
Sur chaque surface de niveau on pourra construire une couche semblable.
Ce sont ces couches que nous allons considérer pour démontrer diverses propriétés relatives à rattraciion qu^ elles exercent sur les points de Tespace, et comparer cette attraction à celle qu'exerce le corps lui-même sur ces mêmes points.
228. Soient d(ù l'élément superficiel de la surface  au point m, d^iL rélémenl de volume de la couche eu ce point, (JL élaul le volume de la comhe eiilièro. On aura
du. ~
dn
Prenons sur une autre surface de niveau quelconque A' le point m' situé sur la ligne trajectoire orthogonale aux surfaces de niveau. Soient d^' Télément superticicl de A en ce point m\ dn' la normale à A' terminée à la surface infiniment voisine, et d\L' l'élément de volume de la
couche construite sur A ; on aura aa= — r~r-'
dn'
J'appellerai points correspondanfs, sur deux surfaces
de niveau, deux points situés sur une ligne trajectoire
orthogonale à toutes ces surfaces : ainsi, m, m' seront
deux points correspondants. J'appellerai de même é/e?-
menls sitperjiciels correspondants, sur deux surfaces de
niveau, les éléments compris dans un canal infiniment.
étroit dont les arêtes sont toutes des lignes trajectoires
orthogonales aux surfaces de niveau*, et enfin éléments
de volume correspondants de deux couches, les éléments
de volume compris dans le même petit canal. Ainsi»
in el /7i' étant deux points correspondanis^ d >> et rfw' serowi àeax éléments superficiels correspondants , et d(i^ dyJ deux éléments de volume correspondants.
Soit U la somme des molécules du corps attirant divisées par leurs distances respectives au point m. L'allraction du corps sur ce point est dirigée suivant la normale dn
à la surface A, cl est égale à -r-^ d\i étant raccroîssement
° dn
de valeur que reçoit U quand on passe de la surface A à la surface de niveau infiniment voisine^ et Tatlraction
du corps sur Télément ^iw est -7- doy.
Pareillement, U' représentant la somme des molécules du corps divisées par leurs distances respectives au point m' de la surface de niveau A'; Tattraction du corps sur l'élément t/w' de cette surface sera dirigée suivant sa
normale et aura pour valeur ---rduy.
' dn
Or, c'est une propriété des éléments correspondants (théorème XI, p. Saa), que les attractions dn corps sur ces éléments sont égales entre elles ^ on a donc
(i) — r/w= TT »^ ■
^ dn dn
11 résulte de là que la somme des attractions du corps sur les éléments d'une même surface de niveau a une valeur constante, quelle que soit cette surface. INous allons prouver que celle valeur est 4^ M, M étant la masse du corps 5 c'est-à-dire que l'on a
l'intégrale étant étendue à tous les éléments de la surface de niveau A.
5a6 STATIQUE.
La fonction U est une somme de termes de la forme
y dM représentant une molécule, ou un clément de la
masse du corps, et r la distance de cette molécule au
dn
JTT
point m de la surface A \ -7- rfw se compose donc d'une
di
suite de termes de la forme JM« — ^/w. Conséquemment 1 1 -—doi se compose d'une suite de termes tels
que rfM— rf«, dont chacun donne lieu à l'intégrale
•'" ffi
dtù étendue à toute la surface À. On a
donc
ou
Soit I l'angle que le rayon mené de la molécule //M au point 771 fait avec la normale dn^ angle obins, parce que nous supposons le corps renfermé dans l'intérieur de la surface A, et la normale dn extérieure à cette surface; ou aura dr = — dn cos /, et il vient
Or, d'après un théorème bien connu de Gauss, Tinlégrale du second membre est égale à 4^9 parce que,
d'une part, la surface de niveau A est fermée, puisque le corps n'est pas infini, et que, d'autre part, tous les points d'où partent les rayons r sont situés dans l'intérieur de cette surface^ par hypothèse (i). On a donc
(2) rr^rfwzrz rr A/M. 47r=:47rM; ou:
Théobème XII. — La somme des valeurs numériques des attractions quun corps exerce sur les éléments superficiels d\ine de ses surfaces de niveau^ quand cette surface entoure le corps de toutes parts, est égale à la masse du corps multipliée par ^t: (*).
Dans l'expression f | — rfco, r/U est constant, puisque l'intégrale se rapporte à une même couche 5 on peut donc écrire l'équation (2) sous la forme
ou
dV
est le volume de la couche, que nous avons ap-
J J an
pelé v.\ on a donc
3) rfU-i^^H^
(*^ ) Ce théorème s'applique aux attractions d^un corps sur les éléments d'une surface quelconque, autre qu'une surface de niveau, pourvu que cette surface enveloppe le corps de toutes parts. Alors on entendra par attraction du corps sur un clément de la surface la composante de rattraction du corps suivant la normale à l'élément. Le théorème peut s'énoncer aicsi : Quand un corps est enveloppé de toutes parts par une surface Jifr /née, la somme des attractions du corps sur les éléments superficiels de cette surface, estimées suivant les normales à ces éléments, est égale à la masse du corps multipliée par /|7r. La démonstration de ce théorème général est la mémo que pour le cas d'une surface de niveau.
Celte expression très-simple de dV^ en fonction du volume de la couche construite sur la surface de niveau à laquelle se rapporte la valeur de U, nous sera tri-s-ulile plus loin. Reprenons Téquation (1) et écrivons-la sous la forme
ou
dn • dn K'r/U
Pour tous les points des deux surfaces de niveau A, A', respectivement, dU et ^U'sont des quantités constantes, ainsi que K et K'; le premier membre est donc constant. Or il exprime le rapport de deux éléments de volume correspondants, pris dans les couches construites sur les deux surfaces A, A'. Ce rapport constant est évidemment égal à celui des volumes entiers des deux couches; de sorte qu'on a
dfi II dii II
ou
(4) — ==— ri don :
Théorème XIII. — Si Von conçoit un canal quelconque orthogonal à toutes les surfaces de niv>eau^ les volumes quUl interceptera dans deux couches seront entre eux dans le rapport des volumes des deux couches.
229. Considérons les deux couches construites sur les surfaces de niveau A et A', et supposons maintenant que ces surfaces soient infiniment voisines. Soit p la distance du point m de la première à un point S extérieur
aux deux couches, formons l'expression (~!a)»^f'
ATTRACTION DES BLLIPSOÏDES. 5 29
étant l'élément de volume de la couche |/, au point m. La diflérentielle de cette expression, quand on passe du volume d[j. au volume correspondant di^' de la couche infiniment voisine, est
Nous faisons sortir — de dessous le signe ^, parce que
nous venons de prouver (228) que le rapport — est
constant.
Soit / l'angle m!mS que la ligne mS = p fait avec m/n' = dn, on aura
— ^p = dn cosi.
Donc
^ /du \ du dn cosi
\ p Je e"
A la place de dii mettons --r — > il vient
^/du \ K dvtcosi
Étendons celte expression à tous les éléments de la surface, nous aurons
ou
Il y a deux cas à examiner, suivant que le point S est au dehors ou au dedans des deux couches.
53o STATIQUE.
S'il est CD dehors, on aura, comme on sait,
dîù cost
et conséquemment
d'où, en intégrant,
J/(^:,)=con.t..
ou
sr-f
= const.
Faisons i f — = n, u étant la somme des molécules de la
couche divisées par leurs distances respectives au point S, et appelons u^ la somme semblable, relative à une autre .couche quelconque \ on aura, d'après Téquation à laquelle nous venons d'arriver,
ti u!
c'est-à-dire que :
Théorème XIV. — La somme des molécules d'une couche j dwisées par leurs distances respectées à un point extérieur, est au volume de la couche dans un rapport constant , quelle que soit la couche.
Nous pouvons conclure tout de suite de là que :
Théorème XV, — Les couches ont toutes les mêmes surfaces de ni\^eau extérieures.
Dans le cas où le point S est dans Tintérieur des deux
couches, on a
d(acosi
ir
P et l'équation (5) devient
im-
OU; d'après Téquation (3),
La caractéristique ^dans ^U a la même signification que la caractéristique d, puisque dV indique le passage d'une couche à la couche infiniment voisine. On peut donc intégrer comme s'il y avait dU. Il vient
du U
La constante est nulle; car si l'on suppose la couche
infiniment étendue, chaque terme— ^ est nul, puisque le
point S, d'où part le rayon p, est dans l'intérieur de la couche; le premiermembreest donc égal à zéro. On a aussi U = o, puisque chaque point de la couche est infiniment éloigné de chaque molécule du corps attirant. La constante est donc nulle. Ainsi Ton a
fm--'M
ou
La valeur de U se rapporte à un point de la surface de la couche et est constante dans toute l'étendue de cette surface. L'équation exprime ce théorème :
Théorème XVI. — La somme des molécules d^une couche y divisées par leurs distances respectées à un point pris dans son intérieur, est à la masse de la coU" che comme la somme des molécules du corps^ divisées par leurs distances respectii^es à un point de la surface externe de la couche, est à la masse du corps.
Il résulte de là une piopriéié importante et caraciéristique de nos couches, savoir, que :
Théoiieme. XV II. — Le somme des molécules d*une couche, di\^isées par leurs distances respectives à un point pris dans son intérieur, a une "valeur constante, quel que soit ce point.
Desdeux théorèmes XIV et XV s'en déduisent plusieurs autres relatifs, soit à une couche seule, soit à Tensemble de deux couches, soit à une couche et au corps lui-même, considérés ensemble.
Supposons, dans le théorème XIV, exprimé par Téqua-
tion - = — 1 que la couche ja' enveloppe la couche ju. Le
point S auquel se rapportent les fonctions li, u' est extérieur aux deux couches, mais il peut être aussi près de la couche [l' qu^on le voudra; la surface externe de cette couche est donc une limite de laquelle le point S peut s'approcher indéfiniment; et comme, dans le déplacement de ce point, la fonction u' varie d^une manière continue, on en conclut que le théorème a encore lieu quand le point S est situé sur la surface externe de la couche |u'. Pareillement, dans le théorème XVI, exprimé par
Téquation - = --) le point S auquel se rapporte la fonction u est situé dans l'intérieur de la surface externe de la couche fA) mais il peut s'approcher indéfiniment de cette surface, et Ton voit aisément que si Ton considère deux
points S, Si, dont le premier soit très-près de la surface et le second sur la surface même, )a diflerence entre les valeurs de la fonction u relatives à ces deux points sera d'autant plus petite que le point S sera plus près de la surface. Et puisque la valeur de // reste toujours la même dans toutes les positions du point S, on en conclut que la valeur de cette fonction est aussi celle relative au point S] situé sur la surface de la couche. Nous pouvons donc énoncer ce nouveau théorème :
Théouème XVIII. — La somme des molécules d^une couche, dwisées par leurs distances respect iv^es à un point quelconque de la surface externe de la couche, est constante et égale à la somme de ces molécules dii^isecs par leurs distances respecti\^es à un point pris dans l * intérieur de la couche,
La première partie de ce théorème montre que :
Théoi^ème XIX. — La surface externe d'une couche est une sur/ace de nis^eau relative à Val trac lion de cette couche.
Or, diaprés le théorème XV, cette surface est aussi une surface de niveau relative à Tattraction de toute autre couche comprise dans la première, et, par hypothèse, elle est une surface de niveau relative à Tatlraction du corps; on en conclut donc cette autre propriété des couches :
Théorème XX. — Une couche quelconque a pour surfaces de niveau extérieures les sw faces de niveau du corps.
Reprenons l'équation - = -7» dans laquelle u ei u' se
