IL II

rapportent à un même point S situé au dehors des deux couches. Supposons la couche jix' extérieure à jix, le point S pourra être situé sur sa surface externe ; or, dans ce cas, {/^ a la même valeur que pour un point situé dans l'intérieur de la couche (théorème XVII); on peut donc supposer

que u' se rapporte à un point de la surface externe de la couche fx. On a donc ce théorème relatif à deux couches :

Théobème XXI. — La somme des molécules d'une couche y diWsées par leurs distances respectives à un point de la surface externe d'une autre couche, est à la somme des molécules de cette seconde couche , di\^isées par leurs distances respectis^es à un point de la surf ace externe de la première^ comme la masse de cette première couche est à la masse de la seconde,

^^ mm mmf

Considérons encore Téquation - = —, en supposant le

point S sur la surface de la couche /x' ; on aura alors par le théorème XVIII

fx'—M' U se rapportant à ce même point. On a donc

équation qui se traduit par le théorème suivant :

Théorème XXII. — La somme des molécules d^une couche, di\^isées par leurs distances respectii^es à un point extérieur, est à la somme des molécules du corps^ divisées par leurs distances respectives au même point, comme la masse de la coucha est à la masse du corps.

On reconnaît aisément que tous les théorèmes précédents peuvent se déduire d^une seule équation, savoir :

pourvu qu'on attribue à U deux significations différentes, suivant que le point S, auquel se rapporte ix, est situé au dehors ou dans Tintérieur de la couche /ui.

Quand le point S sera situé au dehors de la couche, la fonction U se rapportera à ce point ^

Et quand le point S sera situé dans Vintérieur de la

ATTRACTION DEd ELLIPSOÏDES. 535

couche, la fonction U se rapportera à un point quelconque de la surface externe de la couche.

La discussion de cette équation, dans ces deux hypothèses, conduit aux diflerentes propriétés des couches que nous avons démontrées.

230. Passons maintenant aux propriétés relatives aux attractions exercées par les couches et par le corps hiimême. On les déduit naturellement soit de cette équation (8), soit des théorèmes relatifs aux fonctions U et u. Pour cela il suffit de se rappeler que les coefficients différentiels de ces fonctions, pris par rapport aux coordonnées du point auquel elles se rapportent, expriment les composantes des attractions du corps et de la couche sur ce point.

Le théorème XVII nous apprend que :

Théorème XXIII. — Une couche n'exerce aucune action sur un point quelconque situé dans V intérieur de sa surface interne.

Nous avons vu (théor. XIX) que la surface externe d'une couche est une surface de niveau relative à son attraction. Cela signifie que :

Théobeme XXIV. — L attraction exercée par une couche sur un point de sa surface externe est dirigée suivant la normale à cette surface en ce point.

Du théorème XXII on conclut que :

Théorème XXV. — Les attractions exercées par le corps et par une couche sur un même point extérieur à la couche y lesquelles ont la même direction (théor. XX), sont entre elles, en grandeur, comme la masse du corps est à la masse de la couche.

De là, ou bien du théorème XIV, on conclut que :

Théorème XXVI. — Les^ttractions exercées par deux couches sur un même point extérieur ont la même direc-

tion^ et ont leurs intensités proportionnelles aux niasses des deux couches.

Nous avons trouvé (3), p. S^tj,

d'où

dti dn ft,

T- est Tépaisseur de la couche fx, sur laquelle se trouve

le point S; représentons-la par e, il vient

dV , M

dn u

expression très-simple de l'attraction du corps sur un point extérieur. Cette attraction est proportionnelle à l'épaisseur de la couche qui passe par ce point.

D'après le théorème XXV, Pattraction du corps est à celle de la couche sur le même points comme la masse du corps est à la masse de la couche. Il s'ensuit que l'attraction de la couche est égale à 4^ s. Donc :

Théorème XXVII. — L'attraction exercée par une couche sur un point de sa surface externe est égale à r épaisseur de la couche, en ce point , multipliée par 4fr.

Nous avons toujours parlé d! attraction dans l'énoncé de nos théorèmes, mais il est évident qu'ils conviennent au cas où l'on considérerait des corps doués du pouvoir répulsif y suivant la même loi du rapport inverse du carré des distances. On peut même considérer ce que nous avons toujours appelé le corps attirant^ comme un assemblage de diverses masses douées les unes du pouvoir attractif, et d'autres du pouvoir répulsif. La démonstration des divers théorèmes reste la même \ la seule condition à observer, c'est que les surfaces de niveau soient fermées et qu'elles enveloppent toutes les masses. Elles seront

ATTRACTION DBS PARAB0L0ÏDB5. 537

fermées si elles n'ont pas de nappes à Tintini. Cela a toujours lieu quand toutes les masses sont de même signe, c'est-à dire toutes attractives ou toutes répulsives; car alors, dans Téquation V=constantey tous les termes sont de même signe* et conséquemment, pour que la surface eût des points à Tinfinî, il faudrait que le second membre fût égal à zéro; ce qui n*a pas lieu quand les masses sont de même signe, mais ce qui peut avoir lieu quand elles sont de signes différents.

230. M. Bourget, dans sa thèse pour le doctorat, publiée et soutenue en i852, réimprimée dans le Journal de M. lAOu^fille, a mis en évidence diverses propriétés relatives à l'attraction des paraboloïdes elliptiques, analogues à celles que nous venons de faire connaître relativement aux ellipsoïdes, et pouvant, pour la plupart, s*en déduire par la méthode des limites, en considérant le paraboloïde comme un ellipsoïde infinimept allongé.-

LfOrsque les axes principaux de deux ellipsoïdes homothétiques et concentriques grandissent indéfiniment, de telle sorte que Tun des ellipsoïdes tende vers un paraboloïde P, en même temps que les sommets des deux ellipsoïdes situés sur Taxe principal restent fixes, le second ellipsoïde dégénère en un second paraboloïde Q identique à P, et qui n'est autre chose que le paraboloïde P transporté parallèlement à son axe. Les paraboloïdes P et Q sont désignés dans le Mémoire de M.. Bourget sous le nom de paraboloïdes isothétiques, et parlant de celte propriété fondamentale, que deux ellipsoïdes homofocaux dégénèrent en paraboloïdes isothétiques lorsque Tun d'eux devient un paraboloïde, on pourra énoncer les théorèmes suivants :

THÊoakME XXVIII. — U attraction d*une couche comprise entre deux paraboloïdes isothétiques sur un point intérieur est nulle.

54o STATIQUE.

bases de pyramides élémentaires, ayant leor sommet en P, et coupant ces petites pyramides par des plans parallèles à leurs bases, très-rapprochés leâ uns des autres. G)qsidérons le tronc qui passe au point x, y, z. Sa hauteur esldh'\ les aires de ses deux bases, que Ton peut supposer égales, sont données par la formule

son volume est

le potentiel sera donc

VJ'^'^R' r

lis on

peut

donc écrire

d^où, en intégrant par rapport à h\

ou bien

qui n'est autre que ]e potentiel de la surface de la base de

notre pyramide. Posons, pour abréger,

^* dtù

Pour évaluer Tmtégi'ale A, prenons dans le plan SOT deux axes coordonnés OX perpendiculaire à ST et OY. Soit PB=:B, désignons par Q Tangle OPB; on aura

cos9

L^ élément c/o) qui passe en B est égal à dxcfy [*) ; et, en appelant t Tangle MOQ, on a

jrz=z'BQ^=: h tang 0 sin t, z =:0C= h tangOcosc.

D'ailleurs,

et si Ton change de variable sous le signe d'intégration, il faudra, en vertu d'une règle donnée par Cauchy, multiplier rélément différentiel par le déterminant du système des anciennes variables considérées comme fonctions des nouvelles, en sorte que Ton trouve, en prenant pour variables e et 0,

Him

dy dr dx\ i , .^ rfô dt dB K '

ou bien

^^ ~ J J cos»0

i*) 'f ft < désignent déjà les coordoonées du point P par rapport à d'antres corps, mais il n'y a pas de confusion possible, parce queTem* ploi des lettres x eij^ est tout à fait transitoire.^

Intégrons, en laissant £ constant, il vient

O désignant T angle OPM . Cela posé, décrivons une sphère ayant son centre en P, et pour rayon Tunité; les plans passant en P découperont cette sphère en triangles sphériques, et si Ton pose

angle O' M' Q' = fi, O'S'M' = p„ O'T'Q' = p.,

on a dans le triangle O'Q'M'

cosf = sinfAC0Si?7| et en prenant la diiférentielle logarithmique, tang idt = — cot fi (/p •+■ tang m dm .

Mais dans le même triangle on a