COS C

sîn m = cot u tang gj

d'où

di , dm

d^ -f- tang g

cos 0 ^ -^ cos m

La formule (a) devient alors

, dm

d^i 4- tang g de

cos m

ou bien

n = — A (f*, -f- p, 4- S'O'T— ff)

Si Ton appelle y*la surface du triangle sphérique S'CVT' et si Fon pose

on peut ecnre

(2) a=-/h^gh=h(q-f).

Par conséquent,

De cette valeur de l] on déduit sans peine les composantes de Tat traction cherchée

dx dy dz

232. Supposons actuellement qull s'agisse d'évaluer l'attraction d'un polyèdre sur un point extérieur ou intérieur. Du point attiré on abaissera des perpendiculaires sur les faces du polyèdre, on joindra ce point aux sommets, ainsi que les pieds des perpendiculaires aux sommets des faces correspondantes \ on formera ainsi une série de solides analogues à celui dont nous venons d'étudier l'attraction, et il est clair que le potentiel relatif au polyèdre sera la différence de deux sommes de potentiels relatifs à des pyramides analogues à celles que nous avons considérées^ et pris par rapport à leur sommet.

Nous ferons d'abord, pour chaque face du polyèdre, la somme des valeurs de U relatives aux côtés du polygone; h conservant alors une valeur constante, on aura

^ft*/= A* F, où F désigne la surface du polygone sphé-

rique compris entre les droites qu'on peut mener du point

attiré aux sommets du polygone donné, ou bien la grandeur apparente de ce polygone, vu du point attiré. Par suite, la somme en question deviendra

Il faut ensuite faire la somme par rapport aux faces du polyèdre, ce. qui donne, pour le potentiel du polyèdre entier,

"-'il" {- '*!■')■

On pourrait maintenant chercher les composantes de l'attraction en prenant les différentielles de U suivant des directions données. Mais ces composantes s'obtiennent d'une manière bien plus simple, à l'aide des considérations suivantes.

L'expression générale de la composante X est

X = Ap

j''M^.,^=,,j^f{Ly,,..

La sommation s'étend aux valeurs de •-- qui correspondent aux intersections de l'axe des x avec la surface du corps considéré ] on donne à R le signe + ou le signe — -) suivant que l'axe des x pénètre dans- la masse ou qu'il en sort. Mais on peut aussi prendre R toujours positif, ea remplaçant djdz par cos a dtà^ l'angle a étant celui que Taxe des x forme avec la normale intérieure de rélémenl de surface dtù. Par conséquent, puisque a est constant pour des surfaces planes.

r intégration étant relative auic différentes faces du polyèdre. On voit donc que la recherche de la composante X revient, comme celle du potentiel lui-même, .à la détermination de Tinlégrale £l=h(q — /). Nous avons, évidemment,

X = Xp2/icosaf-F+2^)î

c'est la composante de l'attraction du polyèdre dans une

direction qui fait avec les normales à ses faces les angles

, r\ , dh

a^ a^. , . . Un trouve encore, puisque — = cos a,

dl] dx

X = *py//cosa( — F ~^2^)~

le dernier terme est donc nécessairement égal à zéro.

233. Enfin, un jeune mathématicien, M. Mathey, a résolu de la manière suivante un problème qui lui avait été propose dans son examen de doctorat : Déterminer V attraction exercée par un ellipsoïde homogène sur un point flonné, en supposant Inaction élémentaire en rai^ son inverse de la puissance an delà distance, n étant un nombre entier plus grand que i ; prouver que dans ce cas, conformément au théorème de Dirichlet^ les intégrations s^ effectuent complètement ,

Soit un ellipsoïde dont les axes coïncident avec les axes coordonnés, et soient a, b^ c les longueurs de ses demiaxes. Soient ^, Yiy Ç les coordonnées d'un point intérieur à l'ellipsoïde, et supposons que ce point soit attiré par la masse de Tellipsoïde, en raison inverse de la puissance 2/1 de la distance, n étant un nombre entier plus gr^nd que i .

546 STÂTIQrE.

Imaginons l'ellipsoïde décomposé en éléments inBoiment petits, par des sphères concentriques au point donné, et par des anglessolidesiafinimentpetitsayant leur sommet en ce point. Soient p la ligne menée du point ({, Vt Ç) à un point M de l'ellipsoïde, et dfù la mesure d'un angle solide infiniment petit comprenant p; l'élément infiniment petit de l'ellipsoïde sera p'titadp. Donc, si h e» l'attraction de l'unité de masse à l'unité de distance, et si nous prenons pour unité la densité de l'ellipsoïde, l'attraction exercée par cet élément sera représentée par

Décrivons du point (£, >î, f ) comme centre, avec un rayon quelconque r,, une sphère, et désignons par rU longueur du rayon p prolongé jusqu'à la surface extérieure de l'ellipsoïde. L'expression précédente, intégrée par rapport à p, entre les limites r, et r, nous donne l'attraction exercée par la portion de la masse deVellipsoïde comprise dans l'angle solide dm, entre la surface extérieure de l'ellipsoïde et celle de la sphère r,;

, id<^ / I I \

celte attraction est donc ^ { 1> et si a,

2/1-3 Xrl"' I-—7

P, y sont les angles que fait r avec les axes, les composantes de cette attraction seront

L'équation de l'ellipsoïde donne pour le rayon r, qui fait avec tes axes des angles a, p, 7, deux valeurs à* signes contraires, et la valeur négative correspond au prolongement du rayon r considéré ci-dessus. Soit r' celle valeur négative. Les composantes de l'attraction exercée par la portion de l'ellipsoïde comprise dans le prolongement de l'angle solide considéré ci-dessus, entre la sui-

ron'

face extérieure de Tellipsoïde et la sphère /'o, s'obtiendront enremplaçant, dans les expressions qu^on vient de trouver, r par — r ' et a, /3, 7 par leurs suppléments. 11 vient ainsi

Si Ton ajoute ces composantes respectivement avec celles qu'on a trouvées ci-dessus, il vient

hdtù { \ \ \

r — ; H ; : ) CCS a, . . . .

Le rayon r^ disparait \ on peut donc le prendre aussi petit que l'on veut, et par conséquent nul.

Soient X, Y, Z les composantes de Tattraction exercée par l'ellipsoïile sur le point (5, ri, f ), on a

Le signe \^ s'étend à toute la surface de la sphère sur

laquelle est pris dtù, \^^'' Si or, j-, z sont les coordonnées du point de rellipsoïde

^^ correspondant à /', on a

or = Ç -f- rcosa, y = n -h rcosQ, z zzz C, -\- r cos y ^ et Téquation de Tellipsoïde devient -

pr* + 2 çrr H- / 1= o,

j^ en posant

ni^"^? cos'a cos^B ces* 7 Hcosa ïïcosÔ Çcosv

iit'^ a^ b^ c' ^ «* 0^ c*

lie'»* 35.

Cette équalioD peut s^écrire encore ainsi :

d'où

-+;:7=-— et y-p=y

Ces quantités 7 cl ^ sont des fonctions entières et rationnelles des cosinus; donc il en est de même de lii^T -I — 7ir^»-q"î peut toujours s'exprimer en fonction

entière et rationnelle de — | — : et de -.— . Un terme

quelconque de la quantité sous le signe ^ sera de la

forme Acos^a cos"*'6 cos"*"y 5 et parmi ces termes il suffira de conserver ceux dans lesquels les trois cosinus entrent avec des exposants pairs, puisqu'on peut toujours, sans faire varier deux des cosinus, donner à rdeux directions pour lesquelles le troisième cosinus a deux valeurs égales et de signes contraires, de sorte qu'un terme qui contient ce cosinus avec un exposant impair prend, pour ces deux directions, deux valeurs qui se détruisent.

Pour faire Tintëgration, on pourra changer de coordonnées, et prendre Tangle Q que fait r avec Taxe des x, et Tangle q> que fait avec le plan XOY le plan mené par Taxe des x et le rayon r. On a ainsi

cos a = cos G, cos p = sin ô cos ^, cos 7 =: sin 0 sin y,

dtù = sin G d^ df.

On intégrera de zéro à 2 7r par rapport à ç, et de zéro à n par rapport à 0.

/^ Appliquons ce qui précède au cas où n = 2. On a alors

X =r ^^ f 1 ^ j dtù ces a, . . . .

Or,

Substituons dans X \ le seul terme qui doive être conservé est le terme en cos'a. Donc

X = — -- ^ cos*a </»,

ou, eu changeant de coordonnées,

X =: ^ r Teos^ e sin a ^9 rf(p.

Intégrons par rapport à (p, de zéro à a7r, il vient

X = ^ . . I COS'9 SIO 9 //0 =: ;r-

On aurait de même

__ 8wifï^ „ 8irC^

On passe au cas d'un point extérieur au moyen du théorème d'Ivorv.

55o STATIQVE.