THÉORIE

DU

POTEHTIEL.

dont les

cosinus sont

r dr a —

dx* r

dr a

dr

- dr'

dz

les composantes suivant les axes coordonnés de la force qui agit sur O seront

-, X dr -, . dr , . dr

et si Ton pose

F(r) = -j'f{r)dr,

ces trois composantes deviendront

d.mF(r) d.mF(r) d.m¥{r) dx djr dz

Les autres molécules m'^ m^\ . . . , de la masse attirante donneront des expressions semblables. En les ajoutant, on trouve, pour les composantes de l'attraction totale exercée en O,

d.^mY[r) d.^m¥[r) ^'^'^^{r)

dx dy dz

la somme V' devant s'étendre à toutes les molécules m, m'^ m"^ .... Posons maintenant

ces composaqtes prendront la forme très-simple

dx dy dz

U est le potentiel de l'attraction exercée par la niasse que Ton considère. Il n'est fonction que des coordonnées x. y^ z du point attiré, et ses dérivées partielles représentent,

comme nous venons de le voir, les composantes de Tac* tion totale exercée en ce point.

Concevons que le point O, indépendamment des forces qui agissent sur lui, vienne à se déplacer suivant une di* rection quelconque, ou prenne un mouvement virtuel : — mf[r) dr^ — rri'f[r') dr\ — , seront les moments virtuels des attractions exercées par les points m, ///, . ..,

et — 2. "l/(^') ^'S ®^ ^^ somme de tous ces moments, sera

le moment virtuel de la* résultan te. Le potentiel nVstdoDC autre chose que l'intégrale de la diilérentielle qui exprime le moment virtuel de Tattraclion exercée sur le point 0. Soit ds un élément de la courbe décrite dans le mouvement virtuel du point O, et faisant avec les axes coordonnés des angles dont les cosinus sont -7-) -f-> ~» la com- " as ds di

posante suivant la direction ds de l'attraction totale exercée sur le point O sera

dV dx. ^U dy dV dz dV dx ds dy ds dz ds ds

235. Une surface qui contiendra tous les points où le potentiel U a une valeur constante séparera d'abord les parties de l'espace où U est inférieur à cette valeur constante, de celles où il lui est supérieur. Pour une ligne

quelconque s située sur celle surface, -y- > ou la composante de l'attraction suivant la tangente à cette ligne, est nulle. 11 suit de là que la résultante en chaque poioide la surface considérée est normale {i cette surface et qu'elle agit du côté de l'espace contigu aux valeurs plus grandes de U. Kous donnerons à cette surface le nom de surface de nweau. Quand la ligne s ne sera pas tout entière sur une même surface de niveau, on pourra par chacun de

ses points mener une surface de niveau ; et si 5 coupe toutes ces surfaces à angle droit, une tangente menée à cette ligne indiquera en chacun de ses points la direction de

la résultante, dont -7- exprimera l'intensité.

Soient R la résultante et 0 l'angle que sa direction fait avec l'élément ds d'une ligne quelconque, la projection de R sur la tangente à cette ligne sera

L'intégrale

Rcos0= -J-ds

//VU Kcos9 ils = I --M-^Sy

étendue à un segment arbitraire de la ligne Sy est évidemment égale à Ui — U©, U<, et Ut étant les valeurs du potentiel aux extrémités de la ligne. Il en résulte : 1^ que la valeur de l'intégrale est indépendante de la nature de la courbe qui unit les deux points extrêmes, et 2^ que si s est une ligne fermée, l'intégrale étendue à la ligne entière sera nulle.

%i6. Dans ce qui suit, nous considérerons particulièrement le cas de la loi d'attraction universelle qui s'observe dans la nature, ou de l'attraction exercée en raison directe du produit des masses et en raison inverse du carré des distances. Soient M une molécule attirante de masse m, ;x la masse du point matériel attiré O, r leur distance -,

l'attraction réciproque des deux molécules sera — p > et la

force accélératrice qu'elle fait naître au point O sera par

conséquent —5-; la constante k étant nécessairement Tat-

traclion qu'une masse conccntiée en un point exercerait à la distance i sur une autre masse aussi égale à 1 , égale-

554 STATfQIJE.

ment concentrée en un point. En choisissanl pour la masse une unité convenable, on peut faire en sorte que ^Xr = i ;

alors la force agissant en O devient simplement -^•

On aura donc, dans le cas que nous considérons,

/(r):^l, F(r) = -J/(r)rfr=l, et le potentiel deviendra

Lorsque les masses m, au lieu d'être concentrées dans des points isolés*, remplissent sans intervalle une ligne, une

surface ou un espace matériel quelconques, la somme ">*

doit être remplacée par une intégration simple, double ou triple. Ce dernier cas est celui de la nature; mais il est quelquefois utile de substituer ^ux forces réelles des forces fictives concentrées sur des lignes ou des surfaces. Il est évident que le potentiel a une valeur finie et déterminée en tout point situé en dehors des niasses attirantes. Il en est de même de ses dérivées partielles du premier ordre ou d'ordre supérieur, puisque, dans cette supposition, elles deviennent des sommes de parties assignables, ou bien des intégrales dans lesquelles les

quantités sous le signe i ne peuvent jamais devenir infinies. On aura donc

dx "^ 2à 7' ' ~dx^~'2àl 7 r^J'"'

dU __^(b—x)m d'V y r3(>— r)' ' 1 ^ df '~ ^ r> ' rfj' "^-^L '^^ r'J"'

dV ^{c —z)m d'V y r3(c — z)' il

et en ajoutant on trouve

rf»U d'V rf^U , .„

ce qui exprime une propriété importante de la fonction U,

propriété dont la découverte est due à Laplace.

Lorsque le point attiré est situé dans Tintérieur du

corps attirant, il suffit de remplacer les coordonnées rec-

tilignes par des coordonnées polaires pour prouver que

le potentiel U et ses dérivées partielles du premier ordre

dV d\} dV ^ ^ . . T,- . ,

-— » -;— » —r- restent encore tinis et continus. Mais les ax djr dz

, , . . , j ^'U rf^U d^\}

expressions des dérivues secondes -7-7» "tt» "jt ^^n-

tiendront sous le signe V ou J une fonction qui devient

inGnie pour r=o, et leur somme ne sera plus nulle. Nous avons déjà démontré (209) que la vraie valeur de cette somme est dans le cas actuel donnée par Téquation

p étant la densité du corps attirant au point occupé par la molécule attirée fx. On doit à Poisson cette extension du théorème de Laplace.

Le théorème de Laplace et celui de Poisson étant de la plus haute importance dans la théorie du potentiel, nous en donnerons ici une autre démonstration plus rigoureuse, qui est au fond celle de Gauss. Admettons que les molécules attirantes forment un corps continu dont Y soit le volume et S la surface, et soit p la densité variable de ce corps; on aura

Tintégrale devant s'étendre à toutes les parties du corps V. Concevons que x reçoive un accroissement e, c'est-à-dire que du point a:, y, z on passe au point x + c,y, z, La position relative du corps et du point attiré sera la même que si, au lieu de déplacer ce dernier, on avait fait subir à chaque molécule du corps un déplacement égal en sens contraire, ou diminué l'abscisse a de chaque molécule de la môme quantité e. L'accroissement de la composante X sera évidemment le même dans les deux cas; donc, pour

obtenir la dérivée -7— = -r— 5 il suflSt de donner à a une

dx dx

variation constante ia et de chercher la variation correspondante de l'intégrale X; car on aura ensuite

dlL âX

dx Sa

Remarquons d'abord qu'après le déplacement du corps la valeur de p correspondante à un point ci, &, c sera précisément la même que p avait au point a + e, &, c, avant le déplacement. La densité p sera donc devenue une nouvelle fonction des coordonnées a^ b^ c\ elle aura pris une

variation 5p = — 3^^^* Quant à la dislance r, elle restera toujours la même fonction de âr, &, r, et sa variation sera nulle. Enfin, les limites des intégrations seront invariables, excepté celles de la première, relative à a, qui prendront l'une et l'autre la même variation da. Cela posé, on trouve, d'après les règles du calcul des variations,

Je^ Jb^ Ja^ ''

THÉORIE DU POTEMTIEL. SSy

Or,

dadbeic=dY et db fic=z±cosa.dSy

a étant Tan^le que la normale à rélément superficiel r/S élevée en dehors fait avec l'axe des x; le signe H- correspondant au cas où cet angle est aigu, c'est-à-dire à la limite supérieure ^i, le signe — au cas où Tangle a est obtus, c'est-à-dire à la limite inférieure a^. On pourra donc simplement remplacer Texpression diflerentielle

[û(a — x)"!**» „ , p{n — .r)cosa ,„ ^\, J ^*^^ par ^^ ^S,

pourvu qu'on intègre ensuite le long de toute la surface S.

Il en résulte que si Ton divise par la variation con-

^ , . . d^V dX JX

stante à a et qu on substitue — r— = --— = r— 5

* dx^ dx ûa

-? = — -^, Téquation précédente deviendra

^^ pi''-— ) p(.-x)cosa

dx^ J r^ J '•'

Cette formule est vraie lorsque le point O est situé dans Tintérieur du corps, aussi bien que lorsqu^il est en dehors. Mais elle cesse d'être applicable si le point O est sur la surface même du corps^ parce que quelques éléments de la seconde intégrale prennent des valeurs inBnies.

On aura de même

|3 et y étant les angles que la normale extérieure fait avec les axes des j- et z.

Observons maintenant que

a — xi=:rcosÇ, ^ -^ j^r= rcosn, c — «=i:rcosÇ,

en désignant par ^, y], (^les angles que la droite r, menée du point fixe a:, /, z au point variable a, b^ c, fait avec les axes coordonnés. Si Ton fait varier la longueur de r seule, en laissant sa direction constante, on aura

da ^ a — X db b — y

—- = COSÇ = > --- — ces 1} = >

dr r dr r

de c — z

-- = cos Ç = 9

dr f

d'où il résulte que

d^ a — X dp b — jr dp c — z dp eia r db r de r dr

Remarquons aussi que

cosaH cosp H cos7 = cos4'}

a, p, y étant les angles que la normale à Télément ^S fait avec les axes, et ^ Tangle que cette même normale extérieure élevée sur dS fait avec la droite r prolongée. Enfin posons, pour abréger,

ces deux intégrales étendues, la première à tout le volume y, la seconde à toute la surface S. Nous aurons donc

237. Pour eflectuer la première intégration, concevons que le point O soit le centre d'une surface sphérique d'un rayon égal à Tunité et partagée en éléments dS. hes droites menées du point O à tous les points du contour de dS^ et infiniment prolongées, forment une surface conique. Cette surface conique découpe dans le volume V une tranche (composée de plusieurs volumes élémentaires, suivant les circonstances), dont r^dSdr est un élément indéterminé. La portion de M qui se rapporte à cette tranche sera donc

pourvu que l'intégration s'étende à toutes les parties de la droite r, menée du point O à l'élément dS et suffisamment prolongée, qui se trouvent interceptées par le volume V. Si cette ligne rencontre la surface de V en plusieurs points, soient Oi, Oj, 0$, O4,... ces différents points; Ti, r,, r,, r^,... les' valeurs correspondantes de r\ dSiy dSfj dS^^ dSij... les éléments de la surface de Y^ découpés par le cône élémentaire-, pi, /Ss, ^s) /^4v- l^s valeurs de p, et (pi, 4*1, ^s? '/'♦v '^s valeurs de ^ relatives à ces éléments. Nous distinguerons deux cas :

1° Le point O est en dedans de Y. — Dans ce cas les points sont en nombre impair, et l'intégration doit s*étendre depuis r= o jusqu'à r = rt, depuis r=r^ jusqu'à r=ri^ etc.; d'où l'on voit que si la densité au point O est désignée par po» on aura

dp

-^ rfr = — p» H- p, — pi H- pa — Pi -I- . . .

ut

Comme les angles (pi, ^^tj**- sont alternativement aigus

56o STATIQUE.

et obtus, on aura

dSi cos >pi = — ri dsy rfSj cos ^i = rj ds, dSt cos ij/4 = — r] ds,

et par conséquent

.« /"^P . . PiCOSiI;, , paCOs4/j ,-, l/S 1 -i- rf/- =r — p, r/j -h ^- --^ r/S, -h ^ r-- dS,

p COS\{;

la sommation devant s^étendre à tous les éléments ds qui correspondent à Télément //S. En intégrant pour tous les ds^ on aura

M=-4.p,+rpf^rfs.

Or, l'intégrale contenue dans le second membre de cette formule devant être étendue à tout le volume V, n'est autre chose que N; on aura donc

M — N = — 4^Po ou

a** Le point O est extérieur. — Dans ce cas, on n^aura à prendre en considération que ceux des éléments de la surface sphérique pour lesquels la ligne droite menée par O et un point de ds atteint le volume V. Le nombre des points Oi, Og, Os, ... est toujours pair, et les angles ^19 ^s? ^3)-** sont alternativement obtus et aigus.

Donc

r/S| cos^i T=z — r]ds, dSi ces ^pî = — ^l^^y dSi cos 1^3 = — r^ds.

L'inlëgralion / jr-^ff dev a al s'étendre de r= r, à /==/•,, de r = Tj à r = 7-4, . . . , il en résulte que

La somme \^ devant séiendre à loiis les éléments ^S qui se rapportent à ce cas, nous aurons

/pcos

et par conséquent, comme nous le savions déjà,

Nous pouvons donc énoncer le tbéorème suivant :

Théorème I. — Le paramètre différentiel du second ordre du potentiel est nul pour un point extérieur, et égal, pour un point intérieur, à la densité en ce po'nl multipliée par — 47^.

238. Considérons maintenant le cas idéal où des forces attractives (ou répulsives) émanent de tous les jïoinis d'une surface limitée, sur laquelle on su})pose qu'une masse attirante est distribuée. Dans ce cas, nous appellerons densité eu un point quelconque de la surface le quotient de la masse d'un élément di\isée par Taire de cet élément.

En admettant qu'en aucun point la densité ne soit inO- L 36

nie, on prouve aisément, comme pour des masses remplissant un volume tini, que le potentiel aura en chaque point une valeur finie et déterminée, et qu'il variera d'une manière continue le long d'une ligne quelconque, alors même que cette ligne sera située sur la surface ou qu'elle la traversera.

Il n'en est pas de même des dérivées du potentiel; celles-ci au contraire varient brusquement quand on passe d'un côté de la surface à l'autre; de sorte qu'en un point même de la surface elles ont en général deux valeurs distinctes. Pour nous faire une idée de ces variations brusques, prenons pour origine un point O de la surface, pour axe des x la normale élevée en ce point, et décrivons du point O comme centre une sphère d*un très-petit rayon p : cette sphère découpera dans la surface donnée une petite portion sensiblement plane, qu^on peut identifier avec un cercle et sur laquelle la densité m sera sensiblement constante. Pour un point quelconque pris sur l'axe des x, le potentiel de la masse reportée sur le petit cercle sera

où il faut prendre toujours la valeur positive de ^ar*. On aura donc

formule dans laquelle on devra prendre le signe -t- si j: est négatif, et le signe — dans le cas contraire. Pour a: = o les deux valeurs de U deviennent identiques. La dérivée partielle de U par rapport à x

-7- =2ff/W( ±1 1

dx \v^x'-hp» J

acquiert au contraire pour x = o deux valeurs distinctes,

THÉOHIE GÉIVÉRALB DU POTENTIEL. 563

dont la différence est 4^^"$ c'est-à-dire qu'en traversant la surface et passant des x négatives aux x positives,

d. TT

---—subira un cbangement brusque de — ^1:111, Quant dx

aux masses situées en dehors du petit cercle, la dérivée

de leur potentiel est nécessairement une fonction finie

et continue pour tous les points de Taxe des x. Donc la

dérivée -7- du potentiel de toutes les masses, prise rc-

lalivement à une droite normale à la surface, a, au point où la droite traverse la surface, deux valeurs différant entre elles de ^nm^ m étant la densité au point que l'on considère.

239. Pour commencer par un cas très-simple, nous nous proposons d'évaluer le potentiel d'une masse répandue uniformément sur la surface d'une sphère. Soient R le rayon de la sphère, ^S un élément de sa surface, m la densité constante de la masse, a la distance du point attiré O au centre de la sphère C, cf l'angle que le rayon mené à un point de Pélément d% fait avec la droite OC, et ^ l'angle que le plan mené par ce rayon et la droite OC fait avec un plan fixe mené par cette même droite : on

aura

^S = R* sin ç </<p d^

et

otR] ÇÇ siny^/y^/^i

^ J J v/R'— 2Rflcosy-+-a»

Tintégrale devant être prise depuis ^ = 0 jusqu'à ^= 27r, et depuis f =0 jusqu'à f =:7r. En effectuant les deux intégrations, on trouve

Le radical qui doit toujours être pris avec sa valeur positive sera égal àR — aouàa — R, suivant que le point O sera intérieur ou extérieur i la sphère. On aura par conséquent

pour un point situé dans Fintérieur de la sphère, et

pour un point situé en dehors de la sphère. Sur la surface même de la sphère les deuY valeurs de U deviennent identiques.

240. Avant de considérer des surfaces en général, nous devons établir le théorème suivant :

Théorème II. — Soient U le potentiel d 'un système de masses Mi, Mf , Ms,. . . concentrées dans les points P|, Pf , Ps,. . • ; u le potentiel d^un système de masses m,, mj , ms , . . • 9 concentrées dans les points pi, p^^ ps ,... ; Ui, Ut , Us , . . . les valeurs de U en ces derniers points ,• U|, Uj , »s ) • • • '^^ valeurs de u aux points P, , P,, Pj, . . . 5 on aura V équation

ou bien

Eu ciTct, Tuue et l'autre des deux sommes représentent

la somme totale de quantités telles que — 9 dans lesquelles les masses M et -m sont combinées de toutes les manières, r étant la distance des masses que Ton considère.

Quand les masses remplissent sans intervalle un espace

THÉQRIE GÉNÉRALE Y)U POTBMTIEL. 565

OU une surface continue, Téquation précédente subsiste, à la condition de remplacer chaque somme par Tintégralc qui en est la limite, c'est-à-dire qu'on aura

Vdm.

Supposons, par exemple, que la masse m soit distribuée d'une manière uniforme sur la surface d'une sphère S de rayon R, et que la masse M se trouve eu partie dans l'intérieur, en partie à l'extérieur de la sphère, le potentiel u sera égal a 4^]^^ pour tout point intérieur,

et k ^— ^ — pour des points extérieurs à la sphère, p étant

la densité de la masse fra, et r la distance du point attiré au centre de la sphère. On aura donc

udM. = ^1^^ RM. -f- 4wp R*U.;

en désignant par Mo toute la masse située dans l'intérieur de la sphère, par Uo le potentiel de la masse extérieure relative au centre de la sphère, et en regardant à volonté comme intérieure ou extérieure la masse distribuée sur la surface même de la sphère. On a en outre

IVdm = p /Uz/S, d'où il résulte

U^S = 47r(RMo+R>Uo),

l'intégration devant être étendue à la surface sphérique entière. C'est là un théorème important dont nous ferons usage dans la suite.

Cette proposition nous conduit très-simplement au théorème suivant :

566 STlTIQUE.

Théorème III. — Le potentiel U de niasses situées en dehors d^un espace limité ne peut av^oir une valeur constante dans une partie de cet espace et une valeur différente dans une autre partie.

En effet, supposons que dans chaque point de Tcspace A le potentiel ait une valeur constante a, et que dans un espace B, contigu à A, il puisse avoir une valeur plus grande cpie a. Construisons une sphère dont une partie soit en B, et Fautrc partie avec le centre en A, ce qui est toujours possible. Si R désigne le rayon de cette sphère et ds un élément quelconque de sa surface, on aura, d'après ce qui précède,

et par conséquent

') dsz=z o.

Or, c'est impossible, puisque, pour la partie de la surface située en A, U — a = o, tandis que pour l'autre partie U — a ^ o. Donc U ne peut pas être plus grand que a dans un espace contigu à A. On verrait de même qu'il ne peut pas y être plus petit que a. c. q. f. d.

Corollaire I. — Si l'espace qui contient les masses renferme un espace vide, et que le potentiel, dans une partie de cet espace, ait une valeur constante, cette valeur conviendra à tout l'espace vide.

Corollaire II. — Si le potentiel de masses contenues dans un espace fini a une valeur constante dans une partie quelconque de l'espace extérieur, celle valeur conviendra à tout l'espace extérieur.

On voit du reste que cette valeur constante du poten-

tîel ne peut être que zéro; car il est évident que pour un point très-éloigné des masses agissantes, le potentiel doit devenir moindre que toute quantité donnée.

241. Soient dS Télément d'une surface S enveloppe d'un espace fini, P l'action exercée suivant une direclion normale à l'élément ^2$ par des masses distribuées d'une manière quelconque, la force P étant regardée comme positive ou négative suivant qu'elle est dirigée en dedans ou en dehors, et proposons-nous d'évaluer l'intégrale

T?dS étendue à la surface entière.

Considérons un élément de masse dM séparé de l'élément superficiel ^S par la distance r, et désignons par i l'angle qu'une normale intérieure menée sur l'élément dSy fait avec la distance r comptée dans la direction dM.\ la partie de l'intégrale j T?dS provenant de la masse ^M sera

Pour effectuer cette dernière intégration, concevons la masse dM placée au centre d'une surface sphérique dont le rayon soit égal à l'unité, et qui soit partagée en éléments ds par de petits cônes ayant leur sommet au centre de cette surface sphérique. Si l'on prolonge suffisamment un de ces cônes élémentaires, il peut arriver qu'il rencontre plusieurs fois la surface S, dans laquelle il découpe

chaque fois un élément dS = riz , ds i on prend le

signe •+- ou le signe — suivant que l'angle i est aigu ou obtus, c'est-à-dire suivant que le cône sort de l'espace enfermé par la surface S ou y pénètre. Il faut distinguer trois cas :

1° La masse d!M est extérieure, — En aireciant d'un indice i, i^ 3,... les quantités r, i, dS relatives au point où le cône élémentaire partant de dM. et suffisamment prolongé rencontre la surface S la première, la seconde, la troisième fois, etc., on a

ds'=^ r- rtb, = H 5— aSi = =— rfSj. ....

et comme le cône rencontre la surface S un nombre pair

de fois, il s^ensuit que la somme des éléments dS

correspondant à Tëlément sphérique ds est nulle. 11 en

est de même pour ce qui concerne tout autre élément ^S.

On a donc

" cos I

pour tout point extérieur.

a^ La masse dM est intérieure, — En adoptant les notations du cas précédent, on a

cos/, cos/, . cos /a .^ dsz=2 -\ — f/S| = r~ rt Sa = H r- rfS, = . . . ,

et comme le cône rencontre la surface S un nombre im-

pair de fois, il s'ensuit que la somme des éléments — — dS

correspondant à Télé meut sphérique ds est égale à ce dernier élément. La même chose ayant lieu pour tout autre élément dSy on aura

l'intégration devant s'étendre à toute la surface sphérique. Il en résulte qu'on a pour un point intérieur

cosi ,

THÉORIE GÉNÉRALB DU POTEBTIEL. i6g

3** La masse dM, est placée sur la surface S. — Concevons un plan tangent à la surface S mené par dM.. Pour les parties de S situées à l'extérieur du plan tangent, on trouve, comme dans le premier cas,

aS = o.

Pour les parties de S situées à Tintérieur du plan tangent, on trouve, comme dans le second cas,

mais cette dernière int^rale ne doit évidemment s'étendre, dans le cas actuel, qu'à la moitié de la surface sphé* rique. On aura donc

"cosi

dS = 2ir,

pour un point situé sur la surface S elle-même. Cette dernière conclusion cependant n*est rigoureuse qu'autant que la surface a une courbure continue au point que l'on considère. Si cette continuité n'a pas lieu, si le point est situé sur une arête ou dans un angle, il faut remplacer 2 TT par l'aire d'une portion de surface sphérique ayant pour rayon l'unité, pour centre le point en question, portion découpée par le côm; formé de toutes les tangentes à la surface en ce point. Mais ces exceptions, qui n'ont jamais lieu dans une portion finie de surface, restent sans influence sur la proposition que nous allons établir.

En résumé, l'intégrale /prfS. étendue à la surface

entière, sera égaleà47rIVI + ^7rMi, M désignant la somme des masses placées dans l'intérieur de la surface, et M| la somme de celles qui sont distribuées sur la surface même.

Dans le cas où il n^y a que des masses extérieures,

Tîntégrale j VdS est nulle. Or, si l'on appelle .n une

portion indéterminée de la normale intérieure élevée sur l'élément dS^ on a

an

pour /z = o ; on a donc aussi

pour des masses exlérieures.

Admettons que les masses attirantes soient toutes en dehors de l'espace V enfermé par la surface S, et cherchons la valeur de l'intégrale I k* ^V, étendue à tout

Fespace. Y, k étant la force totale agissant eu un point de dY, On a d'abord

7, /^u\» /dvy fduy

et

rf'U d'V d^V

0 = 'rrT -f-

djc^ rf/' dz

L'identité

\ dx) /dV

dx \dx J dx^

donne, en intégrant le long d'une droite parallèle à Taxe des X et comprise dans l'intérieur de V,

\ dx ) X \ dx/t \ dxjt

THÉORIE GÉNÉRALE DU POTENTIEL. Sjl

lu — • ) > (u -T— ) 9 ( U -j- ) > • • • > désîgnanl les valeurs

de U -^— aux points où la droite menée dans la direction des X positives et suflBsamment prolongée perce la surface S la première, la seconde, la troisième fois, etc. Désignons par aj, a^, «s,... les angles que les normales intérieures élevées en ces points de la surface S font avec Taxe des x, et par ^Si, JS|, dSt^.,. les éléments superficiels correspondants, on aura

djrdzz= cosa, rfS, = — cosoLidSt = cosa, rfSj, . . . ,

et par conséquent

rintégrale triple s'étendant à tout Tespace Y, et Tinté-

djp grale double à toute la surface de V. Or, cosa = -r> '*

an

étant la normale intérieure élevée sur dS. Nous trouvons

donc la première des trois équations suivantes, et, par

analogie, les deux autres :

En ajoutant et en observant que

dV dx dV dr dV dz dX5

dx dn dy dn dz dn dn

Sj2 STATIQUE^

on trouve finalement cette formule importante

|x.rfv = -/u^,/s.

Si U conserve une valeur constante A sur toute la surface de Y, on aura donc (n^ 240)

Jx.<.v = -u/^rfs = ,

d'où résulte k = o pour tous les points de l'espace V, et

dV dV dV

Le potentiel U sera donc constant dans tout l'espace V, et comme il varie d'une manière continue, il aura en chaque point de cet espace la même valeur qu'à la surface. Par suite, nous pouvons énoncer le théorème suivant :

Théorème IV. — Si le potentiel U d'un système de masses^ toutes extérieures à un espace V, a une valeur constante en tout point Je la surface S de W, cette valeur reste la même pour tous les points de ^espace V lui-même,

U y aura ainsi dans tout l'espace une destruction totale des forces.

Ce théorème subsiste encore lorsque les masses sont toutes ou en partie distribuées sur la surface même de Y. Admettons, en effet, que le potentiel U conserve sur toute la surface de Y la valeur constante U = A, mais qu'il prenne en un certain point intérieur O une valeur différente B, et soit G une quantité comprise entre A et B. Puisque U est une fonction continue, il ne peut passer de la valeur B à la valeur A sans passer par la valeur intermédiaire C. Donc, si l'on mène du point O des lignes droites dans toutes les directions, il y aura sur chacune

THÉORIE GÉHéRALE DU POTEHTIEL. SjS

de ces droites, entre le point 0 et la surface, un point O' pour lequel la valeur du potentiel sera C, L'ensemble de tous les points O' formera une surface fermée sur laquelle le potentiel U a la valeur constante Cpl faudrait donc, d'après le tbéorème déjà établi, qu'il eût en tous les points de l'espace intérieur la même valeur C. Mais nous avons admis, au contraire, pour le point O une valeur B différente de C; Thypotbèse que le potentiel puisse avoir en O une valeur différente de la valeur constante A, qu'il a sur la surface de V, conduit donc à une contradiction manifeste et doit être rejetée.

242. Considérons des masses situées dans l'intérieur d'un espace fermé et distribuées sur la surface S de V, et admettons que le potentiel U de ces masses conserve une valeur constante A sur les points de la surface S : je dis qu'en cbaque point O de l'espace iniini extérieur la valeur du potentiel sera comprise entre les limites zéro et A, sauf à coïncider avec l'une de ces deux limites.

En effet, admettons que le potentiel puisse avoir en O une valeur B, non comprise entre les limites zéro et A, et désignons par C une quantité arbitraire comprise à la fois entre B et zéro^ et entre B et A. Menons par le point O des lignes droites dans toutes les directions : il y aura sur chacune de ces droites un point CXpour lequel la valeur du potentiel sera C. En effet, si cette droite rencontre la surface S, pour laquelle U = A, en un point Q, il faut qu'en un certain point de la droite OQ compris entre O et Q le potentiel prenne la valeur C. Si, au contraire, la droite ne rencontre pas la surface S, il faut qu'en prenant sur cette droite des points très-éloign^s de CV, le potentiel tende vers zéro, et qu'il existe par conséquent quelque point sur la surface pour lequel U = C : l'ensemble de tous les points O' formera une surface fermée tout exté-

rieure à l'espace V, et sur laquelle par conséquent le potentiel est constamment égal à Cpl faudrait donc quil eût la même valeur au point O, ce qui est contraire à l'hypothèse.

Il en résulte en particulier que si la valeur du potentiel est constamment nulle sur la surface S, elle sera nulle dans tout l'espace extérieur.

Mais si la valeur constante A du potentiel sur la surface S est différente de zéro, sa valeur dans l'espace extérieur ne sera égnle ni à A ni à zéro, à aucune distance finie des masses agissantes. En effet, soit 6 la valeur de U en un point extérieur O, et décrivons du point O comme centre, avec un rayon R plus petit que la plus courte distance de O à S, une surface sphérîque, l'intégrale

UriS, étendue à toute celte surface, sera 4^B.*B, et

Fon aura par suite

En supposant 6 = 0, on aurait donc

UrfS=ro;

et comme U ne peut pas changer de signe^ puisque nous savons déjà qu'il est compris entre zéro et A, il en résulterait U = o sur toute la surface sphérique. D*autrepart, en supposant 6 = A, on verrait par la même raison que D ne peut excéder les limites zéro et A^ on serait forcé d'admettre U = A sur toute la surface sphérique; et Ton en conclurait d'abord que U serait aussi égal à zéro ou à A dans tout Tintérieur de la sphère, et ensuite qu'il en serait de même dans tout l'espace extérieur à Y. Or, dans des points très-éloignés, le potentiel ne peut pas avoir la valeur A, puisqu'il tend vers zéro, et que A est diffé-

THÉORIE GÉHÉEALE DU POTEUTIEL* $75

rent de zéro. Dans le voisinage de la surface S, le potentiel ne peut pas non plus être nul, puisqu^il a sur la sur* face elle-même la valeur A, et qu'il varie d'une manière continue.

Donc, si A est différent de zéro, la valeur du potentiel «era dans tout espace extérieur comprise entre zéro et A sans coïncider avec aucune de ces limites.

Si la somme de toutes les masses est nulle, la valeur constante A du potentiel est nécessairement nulle.

Concevons en effet une surface spliérique renfermant la surface S et par conséquent aussi toutes les masses, et soit ds un élément de cette surface spliérique; Pintégralc

U^ étendue à toute la surface de la sphère sera

nulle (n^240); or le potentiel U, étant compris entre zéro et A, ne peut pas changer de signe. On aura donc U = o sur toute la surface sphérique. Mais U ne pourrait atteindre la valeur nulle qu'à une distance inâiiie des masses, si la constante A était différente de zéro ; on aura donc nécessairement A := o. c. q. f. d.

Toutes ces conclusions subsistent encore quand S est une surface non fermée et qu'il n'existe de masses que sur cette surface. Dans ce cas, il n'y a plus d'espace Y, et tout point qui n'appartient pas à la surface appartient à l'espace infini extérieur. Si le potentiel a en tout point delà surface une valeur constante A différente de zéro, il aura en dehors une valeur plus petite et de même signe.

Ces conclusions restent encore les mêmes quand une partie des masses est attractive, une autre répulsive, à la condition de donner à ces masses dans le calcul des signes contraires. Cela posé, la distribution d'une masse dans un espace ou sur une surface est dite homogène, lorsque tous les éléments de la masse ont le même signe; hétérogène^ lorsqu'une partie des masses est positive,

l'autre négative : il fant absolament tenir compte de cette distinction dans les théorèmes que nous allons établir.

243. Une masse M, que nous pouvons regarder comme positive, étant distribuée d'une manière homogène sur une surface S, il est évident que la valeur de son potentiel U en chaque point de la surface est plus grande que

--9 R étant la plus grande distance de deux points de la

surface. Soit u une fonction ayant en chaque point de la surface une valeur déterminée, finie et continue, plus petite que la constante Uo, on aura constamment