TT

et par suite, si l'on multiplie par m^S, m étant la masse, et qu^on intègre sur toute la surface S,

/(U - 2tt)/iirfS > (~ 2 ii,W;

d'où Ton conclura qu'il existe un mode de distribution homogène de la masse M pour laquelle Tintégrale

a une valeur minimum.

Pour déterminer ce minimum, concevons que dans Télément dS la masse mdS soit remplacée par (m-i-fij dS^ en sorte que fidS représente un petit accroissement positif ou négatif du produit mdSy assujetti à la condition

que /fJt<iS = o, et que m -h ft > o, puisque sans cela la

distribution de la masse ne serait plus homogène. On aura

THébRIE GÉPiÉRALE DU POTENTIEL. SjJ

Or du n^ëtant autre chose que le potentiel de toutes les masses [idS^ on a

et par conséquent

On aura donc

to= 2 /(U — a)fArfS.

Pour satisfaire à la condition du minimum, qui exige que la variation SD, ne puisse pas devenir négative, il faut d'abord que U — u = W soit une quantité constante A dans toute la partie pleine de la surface. Car, si dans cette partie W était variable, tantôt plus grand, tantôt plus petit que A, il suffirait de faire fx négative dans la partie où W^A, positive dans la partie où W <[ A, nulle dans les autres parties, pour rendre négative l'intégrale 1 (W — A)(xrfS= / WfxrfS, et par conséquent aussi la variation iSl, Pour Texistence du minimum, il faut en second lieu que W ne soit plus petit que A dans aucune partie vide de la surface. En effet, si W ^tait plus petit que A dans une partie vide, et qu'on couvrit cette partie de masses positives [idS enlevées à la