partie pleine, l'intégrale i (W — A)[idS deviendrait

évidemment négative, puisqu'on aurait pour la partie pleine W — A= o, pour la partie vide où W était plus petit que A, W — A<[o5 en même temps que pt]>o, et pour la partie vide où W était plus grand que A, a =: o. Donc il existe un mode de distribution d'une masse M I. 37

sur la surface S, pour laquelle Tintégrale

a= nu — 2a)rfS

a la plus petite valeur possible \ et lorsque ce mode de distribution a lieu, la différence U — u = W a une valeur constante dans toutes les parties de la surface occupées par la matière, et une valeur plus grande que cette constante, ou au moins égale dans toutes les parties de la surface qui ne contiennent pas de matière.

En appliquant ces résultats au cas particulier où u = o, on voit que dans la distribution homogène correspondante

au minimum de lUm^S, U a une valeur constante A

sur la partie pleine de la surface et une valeur plus grande que A ou égale à A sur la partie vide. Mais (n^ 240) il faut au contraire que U soit plus petit que A pour la partie vide; car on peut regarder les parties pleines comme appartenant à une surface non fermée, et la partie vide comme appartenant à l'espace extérieur. Pour faire disparaître cette contradiction évidente, on est forcé d'admettre des deux cboses Tune : ou qu^il n'existe aacune partie vide, ou bien que la valeur constante A du potentiel sur la partie pleine est nulle. La seconde hypothèse n*est pas admissible; car si U était nul sur la partie pleine de la surface il serait nécessairement nul dans tout Tespace, et il n'y aurait plus ni attraction ni répulsion, ce qui est impossible, la masse M étant distribuée d'une manière homogène sur la surface S. La première hypothèse est donc seule vraie, et nous pouvons énoncer le théorème suivant :

Tbéobèmb y. — Une masse M étant distribuée sur une surf ace fermée S d'aune manière homogène et telle.

que r intégrale I UmdS soit un minimum, aucune partie

de la surface ne peut rester vide et le potentiel a sur la surface entière une valeur constante.

244. Ce qui précède suffit pour démontrer qu^il existe toujours un mode de distribution homogène ou hétérogène d'une masse donnée M sur une surface fermée S, pour lequel U — u a. une valeur constante dans tous les points de la surface, U étant le potentiel et u une fonction quelconque finie et continue.

Considérons d'abord trois distributions diflérentes, et désignons la densité m et le potentiel U dans chacune d'elles de la manière suivante :

3*» OT = fA, U = «.

La première est une distribution homogène de la

masse M, et correspond au minimum de IVmdS

La deuxième est également homogène et se rapporte k la même masse M; mais elle correspond au minimum de rintégrale

s étant un coefficient constant arbitraire.

La troisième est liée aux deux premières par la relation

c^est donc une distribution hétérogène de la masse totale M.

D'après ce qui a été déjà démontré, Uo est constant dans

58o STATIQUE.

toute retendue de la surface; Ui — €u est constant dans la partie où a Heu la seconde distribution, et dans cette même partie U — ii est nécessairement constant, puisque

Suivant la valeur de e, la seconde distribution couvrira la surface entière, ou en laissera une partie vide. Mais celte seconde distribution devenant identique à la première quand e = o, il en résulte que pour e infiniment petit aucune portion ^m'e de la surface ne peut rester vide. Donc, si nous prenons, dans le troisième mode de distribution, /x rgal à la limite vers laquelle converge le

rapport — ' -^ quand e décroit indéfiniment, U — u

aura en tous les points de la surface une valeur constante.

Imaginons maintenant un quatrième mode de distribution dans lequel on ait m = mo + fi, la masse distribuée sera M, le potentiel U = U^-|-u, et la différence U — u aura sur toute la surface une valeur constante.

Ajoutons qu'il n'existe pour la masse M qu'un seul mode de distribution pour lequel U — u soit une quantité conslante sur toute l'étendue de la surface. En effet, si deux distributions donnaient ce résultat, m et U étant désignés dans la première par rrii et Ui, dans la seconde par nif ci Us, le potentiel d^uue troisième distribution, dans laquelle on aurait m = rrii — Wt, serait Ui — Uj. u aurait donc ^ussi une valeur constante sur toute sa surface, et comme la masse entière est nulle, cette valeur constante serait aussi nulle (240). Ainsi, le potentiel Ui — U| de la troisième distribution, nul sur toute la surface S, serait aussi nul non-seulement dans tout l'espace extérieur (240), mais encore dans tout Tespaec intérieur; d'où il résulte que sa dérivée par rapport à une droite quelconque serait aussi constamment

nulle. Or, nous avons vu (238) que pour une masse distribuée sur une surface, la dérivée du potentiel relativement à une normale prend, au point où la normale traverse la surface, deux valeurs différant entre elles de 4iri7t, m étant la densité au point dont il s'agit; et pour que ces valeurs puissent être nulles Fune et Tautre, il faut évidemment que la densité soit nulle-, on aurait donc, dans le cas actuel, nti — m, = o,c'csi-à-dire que les deuY premières distributions seraient identiques.

Soient maintenant U le potentiel d'une masse M située dans Tintérieur de Tcspacc V^ et u le potentiel d'une masse égale à M distribuée sur la surface S de V, de manière que U — u soit constant. U — u étant le potentiel de la masse totale M ^ M = o, il résulte du n° 241 que la valeur constante de U — u est o, et qu'on aura par suite U=:u non-seulement sur toute la surface de U, mais encore dans tout Tespace extérieur. Nous pouvons donc dès à présent énoncer ce théorème; extrêmement important :

Théorème VI. — Des niasses attractives ou répulsîi^es étant distribuées d'aune manière quelconque dans l'intérieur d\ine surf ace fermée S, il existe toujours une distribution de la même masse totale sur la surface S, capable de produire en un point quelconque de la surface ou de r espace extérieur le même effet que la distribution donnée.

Si les masses se trouvaient en dehors de Tespace V enfermé par la surface S, l'effet de leurs attractions ou répulsions sur un point intérieur pourrait de même être produit par une masse distribuée sur la surface. En effet, soient u le potentiel des masses extérieures données, et U celui d'une masse quelconque M' répandue sur la surface S; il existe toujours un mode de distribution de

582 STATIQVB.

la masse M' pour lequel U — u est constaDt sur toute la surface) et par conséquent aussi dans tout Tespace intérieur. Dans ce mode de distribution les dérivées de u et de U, et par conséquent les effets produits par la masse extérieure et par la masse distribuée sur la surface seront les mêmes.

Le calcul de la distribution superficielle 2, équivalente aune distribution intérieure donnéeD, rencontre le plus souvent des obstacles insurmontables. Cependant il existe un cas qui ne présente aucune difficulté : c'est celui où u est constant, et où par conséquent la surface S est une surface d'équilibre pour la distribution D.

Considérons, en effet, un point O de la surface S, élevons en ce point une normale n que nous regarderons comme positive vers rinlérieur et comme négative vers Textérieur-, soient m la densité et C la valeur de la dérivée -7— au point O. La dérivée -7- a deux valeurs diffédn * dn

rentes en O : celle qui se rapporte à Tespace extérieur est égale à C par la raison que V = u dans tout 1 espace extérieur^ celle qui se rapporte à l'espace intérieur est nulle par la raison que U est constant à la surface et dans tout l'espace intérieur. Mais la première valeur de* vant surpasser de 4^''< lat seconde, on aura

4?r/W = C ou /ïf = 7 — •

Il est évident que C n'est autre chose que la résultante des masses de la distribution D.