VINGTIÈME LEÇON

Application de la théorie du potentiel à rétablÎBScment des lois des phénomènes do magnétisme terrestre. — Calcul du potentiel et des composantes des forces magnétiques du globe. — Théorèmes généraux qui simplifient considérablement la solution du problème. — Expression do ces mêmes composantes en coordonnées polaires. — Développement en série de la valeur du potentiel* — Nouvelle expression en séries du potentiel et des composantes de la force magnétique. — Application au cas des phénomènes célestes où le point attirant est trè»-élotgné. ~ DigHession sur quelques fonctions que Ton rencdfitre dans la théorie de Tattractlon. -— Propriétés des fonctions Xn> — On en déduit celles des fonctions P/t et Vn. — Méthode de Dirichlet pour le développement de certaines fonctions en séries de fonctions Yn. — Application de la théorie des fonctions Xn et Yn au calcul du potentiel relatif à Tattraction des sphéroïdes.

24o« ËcIaircissoDs ce qui précède par un exposé succinct de l'application importante que M. Gauss a faite de la théorie du potentiel aux phénomènes du magnétisme terrestre. Cette application repose sur cette hypothèse fondamentale que l'action magnétique du globe est la résultante de toutes les parties magnéticjues renfermées dans sa masse; qu'un aimant naturel est un corps dans lequel les deux fluides magnétiques sont séparés; que les attractions et les répulsions magnétiques s'exercent en raison inverse du carré de la distance. On arriverait du reste aux mêmes résultats analytiques si l'on substituait à cette hypothèse celle d'Ampère, qui explique le magnétisme par des courants électriques.

Quand il s'agit de mesurer l'intensité du fluide ma* gnétique, nous prenons pour unité positive la quantité de fluide nord qui exerce une attraction égale à l'unité sur l'unité de fluide sud placée à l'unité de distance.

L'action exercée en un point quelconque de Tespace par une portion de fluide magnétique située où l'on voudra, sera toujours pour nous l'action que cette portion de fluide exercerait sur l'unité de fluide nord située au point dont il s'agit. Dès lors une masse dfi de fluide exercera à la distance p une action mesurée par

l'expression —^ ^ cette action sera d'ailleurs répulsive ou

attractive suivant que la masse dii sera positive ou négative. Appelons a, &, c les coordonnées rectangulaires de d[i et or, j-^ z celles du point sur lequel l'action s'exerce, les composantes de cette action seront

[x — a)diL {y — b)d^ (z — c)d[ii , , ,

et ces trois quantités sont évidemment les dérivées partielles de la fonction ^9 r étant la distance des deux

points attiré et attirant donnée par l'équation

rj = (x — aY -4- (r — by -4- {» — c)».

Les autres éléments de fluide magnétique produiront des actions semblables.

Donc, si l'on fait

Tintégrale étant étendue à tous les éléments magnétiques du globe, les composantes de la force magnétique au point X, y, z seront

dx djr dz

son intensité totale sera

THÉORIE DU MÂGMÉTISME TBREE6TRB. 585

et sa projection sur une droite ou sur la tangente à une courbe quelconque dont ds est un élément sera -7- •

La ligne à la surface de la terre sur tous les points de laquelle le potentiel U conserve une même valeur Uo sépare en général les points de cette surface pour lesquels U est plus grand que Uo des points où U est plus petit que Uo* La composanle horizontale de la force magnétique en chaque point de cette ligne lui est évidemment perpendiculaire et dirigée du côté des plus grandes valeurs deU.

Si ds représente une ligne infiniment petite, prise dans cette direction normale, et si Uo -h ^Uo est la valeur de U

correspondante à Tcxtrémité de cette petite ligne, —r^

sera l'intensité de la force magnétique horizontale en ce lieu. De plus, Tensemble des points pour lesquels U est constamment égal à Uo + ^Uo forme une seconde ligne infiniment rapprochée de la première; et dans toute la tranche comprise entre les deux lignes, l'intensité horizontale est en raison inverse de son épaisseur. En don* nant successivement à U des accroissements infiniment petits mais égaux, depuis la plus petite valeur de U jusqu'à la plus grande, on partagera la surface entière de la terre en un nombre infiniment grand de zones trèsminces. Sur les lignes de séparation de ces zones la force magnétique horizontale sera partout normale, et son intensité variera en raison inverse de la largeur des zones. Ce système de lignes constitue les parallèles magnétiqueSj et leurs trajectoires orthogonales sont les méridiens magnétiques. Aux valeurs extrêmes maximum et minimum de la fonction U correspondent deux points circonscrits par les zones, et pour lesquels la composante horizontale de la force magnétique est nulle; de sorte

qu'en ces points la force magnétique est nécessairement verticale. Ces points sont précisément les p6les magnétiques de la terre.

Sur la surface de la terre U se réduit à une fonction de deux variables, pour lesquelles nous choisirons la colatitude 6 et la longitude ^ mesurée à Test d'un premier mé* ridien quelconque. Pour simplifier, nous regarderons la terre comme une sphère, et nous désignerons par R son rayon. Cela posé, Télément du méridien sera R dO^ et l'élément du cercle parallèle Rsind^^p. Si Ton décom* pose la force horizontale en deux autres, dont l'une X soit dirigée suivant le méridien, et l'autre Y lui soit perpendiculaire, et si l'on regarde comme positive la composante X lorsqu'elle est dirigée vers le nord> la composante Y lorsqu'elle est dirigée vers l'ouest, on aura

RdB KsinBd^

Si Ton connaissait la valeur de X en fonction de 6 et ^^ on en déduirait immédiatement, et à pn'ori\ la valeur de Y. En effet, intégrons l'expression X dO en regardant ^ comme constant, et posons

.e XrfÔ=T,

d'où

cette valeur, substituée dans Téquation X = — ^t-tt» donne

U + RT sera donc une quantité indépendante de 9, qui

TBÉO&IB DU MÀGSÉTISME TEEHBSTRE. $87

conservera par conséquent la même valeur sur toute retendue d'un même méridien , ou qui même sera tout à fait constante, puisque tous les méridiens ont deux points communs.

En appelant U„ la valeur de U au pôle nord, on aura donc

ou

et par conséquent

* =-: — r-rr»

résultat qu'on pent encore exprimer par la formule

«n Ô Jo

et qui se résume dans ce théorème remarquable :

Théokème I. — Quand on connaît pour toute la surface de la terre la composante nord de la force magnétique, on peut en conclure immédiatement la composante ouest de la même force.

Le théorème inverse est vrai, mais avec une modification. Supposons, en effet, que Ton connaisse la valeur générale de Y exprimée en fonction de 6 et de (|/, et désignons par II l'intégrale I sinôY^^, dans laquelle on regarde 0 comme constant, on trouvera

588 STATIQLE.

La fonction U + RU9 et par suite aussi la quantité

f/(U-4-Rtt) jtt ^ KdB "" dO

seront donc indépendantes de ({/^c^est-à-dire qu*on aura

du

f (9) étant une fonction inconnue de la seconde Tariable 0. Mais cette fonction sera déterminée dès que Ton connaîtra, en outre de la valeur générale de T, la valeur de X le long d'un méridien, ou plus généralement le long d'une ligne quelconque joignant les deux pôles de la terre. Ces considérations nous conduisent à un second théorème non moins important que le premier :

Théorème II. — Si Von connaît la composante ouest de la force magnéligue sur toute la sur/ace de la terre^ et la composante nord de cette même force le long d^une ligne quelconque allant du pôle nord au pôle sud, on poun'a déterminer immédiatement cette dernière corn- . posante pour toute la surface de la terre.

246. Si Ton voulait étendre la recherclie à la force magnétique totale, et tenir compte de la composante verticale, il faudrait considérer U comme fonction de trois coordonnées, qui peuvent être : 1^ la distance r du point que Ton considère au centre de la terre; 2^ Tangle 6 compris entre le rayon r et la moitié nord de Taxe du monde*, 3^ Tangle ({/que fait avec un méridien fixe le plan passant par les pôles et par le rayon r : les trois coordonnées r, 6, ^ déterminent la position du point O,