s — OC

cos'"^7 — ... I

Dans les valeurs des coefficients X„, les puissances de cos y peuvent être remplacées par des cosinus des multiples de Tare y. Pour arriver promptement à ce résultat, le plus simple est de substituer à cos/ l'expression

SgO STATIQUE.

équivalente- (e^^""'-|-e""^ / dans le radical

(i — aacosy -h «*) avant d'en eflectaer le développement. On trouve alors

et pour obtenir le développement du radical, on n'a qu'à multiplier l'un par l'autre les développements des puis-

sauces (i — aé^^^j , (i — «e""^^~'j et à convertir ensuite les exponentielles en cosinus. Sans effectuer ce calcul très-simple, on voit déjà que le coefficient de a" présentera la forme

(3) X„ = A»cos«7-+-A,cos(« — 2)7 + AiCOs(/r — 4)7'^"--'t

\es facteurs Aoj A|, At,- • • étant tous des nombres positifs.

Dans le cas de 7 = o, la valeur de X„ devient

Af ~T' Al ~T~ As "T" • • • $

et le développement (i) se réduit à

On aura donc, dans ce cas particulier, Xa=x i , et partant, en général,

At-f- A|-+-A, -+-.. .= ij d'où l'on conclura que pour une valeur quelconque de y,

THÉORIE DU MAGNÉTISME TERRESTBE. Spi

la valeur de X„ sera plus petite que Tunité} ou tout au plus égale à TuDÎté. Donc la série (i) sera convergente pour toute valeur de a comprise entre — i et + 1 .

Multipliant chaque terme de la série (i) par ^ et

intégrant, on trouve le potentiel développé en une série convergente de la forme

l = Kv)-'(7)'-.(?)'--(^)'— •

dans laquelle R étant le rayon de la terre, les coefficients ont les valeurs suivantes :

A cause de Xo = i , le premier de ces coefficients se réduit

à Po = — I diÂ. Or, rintégrale f dix est nulle, puisque

la quantité totale du fluide positif est nécessairement égale à celle du fluide négatif. On aura donc

«) H=p.(t)Vp,(?)Vp.(t)V....

Nous pouvons remarquer dès à présent qu'en vertu de la formule (s) et de la valeur de cosy, X„ et par conséquent P„ sont des fonctions rationnelles et entières du f^ièmu degré des trois quantités

cos B, sin 9 cos 4^, sin 9 sin ^.

Spd STATIQUE.

247. Une des propriétés principales de la fonction U est, nous le savons, de satisfaire à Féquation

rf'U d^l] d^U ^ "^ dy "^ "^ "" °'

pour chaque point situé en dehors des masses agissantes ; et cette équation doit avoir lieu indépendamment du choix qu'on a fait des axes coordonnés rectangulaires. Il s'agit maintenant de transformer cette équation en coordonnées polaires. Supposons que Taxe des z coïncidant avec Taxe du monde, les axes des x et des jr soient situés dans le plan de Téquateur et dirigés le premier vers un point dont la longitude soit zéro, le second vers un point dont la longitude soit 90 degrés; on aura

.r ==rsinOcos>p, y z= rsmB sinip, z = rcosO,

et, en dilTérentjant,

. dx == sin 0 cos^l' dr -h r cos 9 cos ^dQ — r sin 9 sin ^ d^^ djr z= sin 0 sin ^dr -^ rcos B sin^ du -^ r sin 0 cosip d^^ dz =: cos 9 tir — r sin 0 dB,

Résolvant par rapport à <//*, dOj dt^<, il vient

^r=: sin 0 cos>p dx + sin 9 sin>p <// + cos9 ^^ rd9 =z cos 9 cos ^dx-\- cos 9 sin ^ djr — sin 9 dz^ r sin ud'^ = — sin 4> ^ + cos^|/ dy.

On aura donc^ entre les dérivées partielles de x^ /, z prises par rapport à r, 0, ^, et les dérivées partielles de r, 9, t^ prises par rapport à x, y, z, les relations sui-

THÉORIE DU MÀGTfÉTISME TEREESTRE. 5gi

vantes :

dr dr du i dx

d^ l dx ^

dx dr^ dx r^ r/ô'

dx r'sin'Ô d^'

dr dy dB i dy dy dr' dy r' do'

d^ i dy dy r^ sin' 0 d^ '

dr az d9 i dz dz dr' dz r^ dB'

d-^ 1 dz dz r* sin^ B d^

Cela posé, on trouve

rf'U rf'U dx I d^\}

dx I ^^u dx

dx^ dxdr dr ' r^ dxdB dB ' r^sin'B dxd} d^^

d'V d'U dr i d^\]

dy 1 rf'U dy

dy^ dydr dr r^ dy dB dB ' r'sin^n dyd^ d^'

d^V d'V dz I d^V dz^ dz dr dr ' r* dzdi

dz I r/'U dz

) dB r^sin'a dzd*^ d^

et, en ajoutant,

dx^ ' dy^ ' dz'

d'V (dUd'x dV d'y dVd

dr^ \dx dr' dy dr' dz dr' J

7'\jdF ~~ \dx Ib' "*" dy 'd¥ "^ ~dz dB' ) \

1 r^'U /dl] d'x dU d'y d\] d'z"]^! r' sin' uld^ ~ \dx d^ '^ lîy 7^' "^ lïz d^'J }

Or, on a

d'x dx

du' " ^ dr'

d'x dx

d^' " ^ dr'

d'y ^dy

du' ' dr

d'y ^ dy d^' ^ dr '

dr' = ^'

d'z dz du^ ■" '" d/

et par conséquent

dU d^x dU f^x dU dH "dx "dF '^'dy Ir^'^'dz dr^~~^'

dV d^x d\] d^x , dV d^z ^ dV^

dx dB^ dy rfG» dz d^^ dr

d\^ d^x dV d^x ^ l!f __ î^ dVdz

'dx d^'^'dx ^"^ dz d^^~"'^'dr '^'^'dzdr

, - dV sin a\ r — ; — h r cos u ( —7- cos u r- J

dU /d\]

-- — h rcosM ( -7dr \ dr

= — r 8in*9 — ; sm G cos 0 -— -•

dr dQ

Substituant, il vient donc

£=MU I rf»U 1 d^V ^dU cotO dV

et Téquation W = o se réduit à

rd^.rV d^V d\] i rf»U

dr^ dB* dQ sin'O //+»

Cette équation devant avoir lieu quelle que soit la valeur de r, on trouve, en substituant à U sa valeur (4)9 que chacun des coefficients Pi, P|, Pb, . . . doit satisfaire à une équation aux dérivées partielles dont la forme générale est

^ ' dQ^ dQ sin*8 £/>[;»

On peut déduire de cette équation, jointe à la remarque que nous avons déjà faite sur la nature des coefficients Po, Pi, P,,..., la valeur générale de P„. En effet, si Ton représente par P„^^ la fonction suivante de 6

cosO*— — ^ P r-^^ cosG

2 (in — i)

H 7— 7-. -—: 'cosô