i2/i — i){'in

*"*■"* — ... |sin9"y

THÉOEIE DU MÀGUÉTISME TERRESTRE. 5g5

P„ sera donné par Téquation

P« = gn.0^n,é + (gn,l COS>j; -f- ^«,, sio^) P„,,

-+- ign.H cosn^ -+- h„,nS\un^) P„,„,

dans laquelle g„,o, g'n,!,.--» é'»,M ^«,iv> K,n seront des coeiBcîenls numériques.

Décomposons la force magnétique correspondante au point O en trois autres forces rectangulaires X, Y, Z, dont la première et la seconde, situées dans un plan tangent à la surface de la sphère de rayon r, soient dirigées, la première X parallèlement au méridien, la seconde Y parallèlement à Téquateur, la troisième Z vers le centre de la terre, les valeurs de ces trois composantes seront

rd9 rsinQd-^ dr

ou, en mettant pour U sa valeur développée en série de fonctions P„,

v- ^' (dV^^Ji. d9, ^J^} d?, \

"~ /=»sin0 \d^ r d-^ f" d^ "j^

RW „ 3RP, 4R'Ps \

En faisant r = R, on trouve, pour un point situé sur. la surface de la terre,

\ dQ d9 dQ

sinG\rf>|/ '^ d^'^ d^ '^--y Z = — 2P,-+- 3P, -+- 4Pi -4-. . . .

Pour déterminer U, et par conséquent pour résoudre complètement le problème du magnétisme terrestre, il

suffit, comme nous Tavons dit, de connaître la valeur de X pour tous les points de la surface de la terre, ou bien la valeur de Y pour tous ces points avec la valeur de X le long d'une ligne quelconque passant parles deux pôles. La dernière des équations précédentes prouve qu'on pourrait encore fonder la théorie complète du magnétisme terrestre sur la seule connaissance de la composante verticale Z pour tous les points de la surface de la terre, puisqu'elle conduirait aux valeurs générales de Pj, P,, Psv" et par conséquent à la détermination complète de la fonction U. Il nous suffit d'avoir donné ces indications générales sur le travail important de Gauss, et nous ne croyons pas nécessaire de nous occuper ici des calculs numériques par lesquels le grand géomètre allemand a déduit la valeur de la fonction C d'une multitude d'observations faites sur différents points du globe. .

2i8. Supposons que le corps attiré soit très-éloigné du point attirant, et voyons comment cette condition d'un éloignement considérable rend plus facile le calcul de l'attraction. Le problème que nous abordons présente beaucoup d'intérêt, parce que la distance très-grande est précisément le cas des phénomènes célestes.

Soient :

m la masse-, x, y, z les coordonnées d'un point du corps attirant',

/•', 6', ^' les coordonnées polaires de ce point;

Il la masse; x, j^ z les coordonnées du point attire \

/•, 6, ^ les coordonnées polaires de ce point;

h le coefficient de l'attraction; enfin soit A/i = 1.

Le potentiel U sera donné par la formule

THÉORIE GÉnÉRÀLB DU POTENTIEL. 697

Si Ton a toujours

x<*. J<X> z<«> U pourra se développer en série, ainsi qu'il suit :

H- lyz^m^z -f- izx^ m zx -h 2x^^/7? xy -4-....

Si l'on place Torigine au centre de gravité, si l'on prend pour axes les axes principaux d^inertie du corps attirant, si enfin on désigne par A, B, C les moments principaux d'inertie relatifs aux axes choisis, la formule précédente se réduit à

r ir*

Souvent les termes que nous venons d'écrire sufGsent, mais, si l'on veut, on peut pousser le calcul plus loin. On trouve alors une série ordonnée par rapport aux

puissances de -9 dans laquelle on désigne le coefficient

de -^ par Y„. L'étude des fonctions Y„ est précisément l'objet de cette digression. Mais nous avons besoin, pour établir leurs propriétés, déconsidérer d'abord une espèce de fonctions plus simples auxquelles Legendre a donné le nom de X„.

La fonction X„ est le coefficient de a" dans le dévelop-

5gS STATIQUE.

pement de l'eicpression

(i — lax -h a}) *, OÙ Ton suppose que x satisfait à cette condition

et que Ion conçoit ordonnée par rapport aux puissances croissantes de a. Ce développement peut être effectué d'un grand nombre de manières; mais voici le moyen le plus simple d'arriver à mettre en évidence la loi de formation d,es coefGcIents.

L'intégrale de (i — 2ax + a') ' <ir, prise par rapport à x, est

— ( I — 9.aJ? + a^y

const.

Si Ton prend la constante égale à -9 cette intégrale devient

1 — (i — lax -+- a')*

et Ton reconnaît immédiatement que cette quantité est racine de Téquation du second degré

az* — 22 — (« — ix) ■=. o

que Ton pourra résoudre, si a très-petit, par la série de Lagrange. Mise en effet sous la forme

cette équation donne

THÉOEIE GÉKÉKÀLE DU POTENTIEL. 5gg

Nous mettons le signe — devant le radical (i — 2 a a: 4- a* )^ parce que la formule de Lagrange donne toujours la racine qui pour û; =: o se réduit à x. Ajoutons que le développement trouvé aura lieu pour toutes les valeurs de a dont le module est moindre que i, puisque pour ces modules de a la racine que Ton a développée est synectique. En difTérentiant la formule que nous venons de trouver, nous obtenons la suivante :

On a donc, en appelant Xo, Xi, Xs,... X» les coefficients des puissances de a dans ce développement,

(i) X. = i, X, =iD(*'-i),..., X.= -!- '

Les fonctions X„ jouissent de propriétés analytiques trèsremarquables. Par exemple, l'équation X„ = o a toutes ses racines réelles et séparées par les racines de TéquatioD Xa.i = o, comme on le prouve par une application facile du théorème de Roi le, ou par la méthode de Sturm, en remarquant que trois fonctions consécutives ont entre elles la relation

(2) (« — i)X,H-i — (2/H-i)X„x-+-/iX»i = 0.

La fonction X,, satisfait en outre à Téquation différentielle

Nous verrons un peu plus loin comment on a été conduit directement aux équations (i) et (2).

Proposons-nous actuellement d'évaluer Tintégrale

X„Pdxy

P désignant un polynôme quelconque : Tintégration par parties donne

+ l>.-.(..,)-...±J(x.-,).<fxJ, Si l'on prend pour limites — i et -h i, on a {a) Ç^\.T^dx = ±\ \ r^'(a:»,)i.l2^^;

J— , 2" 1.2.3... «J, ^ WX" '

et si le degré de P est inférieur à ;?,

(4) / X„P^Jr=ro, /i>degrédeP.

On aura donc, en remplaçant P parX„,

Xfl, Xh </j: =: o, pour m^n.

Si le degré de P est /i, la formule (a) donne I X»P</r — rb — / (x'— i>.A.i.2.../i.^x.

A étant le coefficient de x" dans P, ou

THÉORIE GÉnÉRALE DU POTEKTIEL. 6oi

or on a

= ~- / (x« — i)-r/x— r (x>— i)— «^î d'où l'ou lire

/ {x'-~l)'*dx= il- f {x>— l)— «C/JT.

En faisant /i= i, 2, 3,..., «, et multipliant membre à membre les formules ainsi obtenues on a, toutes réductions faites,

le signe + correspondant au cas où n est pair. La formule (b) donne alors, en observant que le signe -h y correspond aussi au cas où n est pair,

(6) p'x,Prf.^-A. j'^-e.-^/»

et, en faisant P = X„ ,

. 249. Si dans l'expression

\J\ — 2ax -h a*

6o2 STATIQUE.

on change a en e^^ * , elle prend la forme CCS- — \j — I sin -

^7. (cOSf — x)

sint + ^nr^.?

» si cos y > X,

I ces —

5 si COS f < *•

V^2 (x — COSç)

D'un autre côté, on a, pour des valeurs de a moindres

que I,

= = X« -h Xi a (cos ff -I- y/ — I sin ç) -4- . .

-l-X«a"(cos«f H- v^ — I sin ntf) -4-....

En multipliant les deux membres de cette égalité par cos n(f et en intégrant de o à tt, on trouve

Cette égalité ayant lieu quel que soit a, pourvu qu'il soit plus petit que i, aura encore lieu pour âe = i, et par conséquent, d'après ce que nous venons de voir,

d^ cos — cos ntf / <ff sin — cos n^ (8) ^ / ^ ^ +- / -. — ^ = X.,

V2(C0SÇ — x) *f^ V2{x — COSy)

y désignant, pour abréger, l'arc dont le cosinus est x. On trouve d'une manière analogue

/sin-sin/i9€/9 /

V^2(C0S^— x) «f Jy

cos^sin/ff^f ^ — X

y 2 (x — cos f)

THÉORIE GÉKIÉHALE DU POTENTIEL. 6o3

Ces conclusions supposent que le premier membre de la formule (c) est fonction continue de a. Cette condition sera satisfaite si Tëlément qui devient infini pour a = i fournit des intégrales singulières nulles; or, c'est ce qui a lieu effectivement. On a, en effet,

«•ces- ces /l« ^., . ,

^ 1 r^ — sin <p a(p

y-,V^2(cos(j> — x) Jy jV^a(coS(p — x)

0 désignant une moyenne entre les valeurs que prend

cos - cos n o sin 7

pour ç = y et cp = 7 — 1\ et, en intégrant,

a^cos — cos/îy

^y-eV2(cOSy — X) y

Les formules (8) et (9) peuvent donc être considérées comme rigoureusement établies.

250. Revenons maintenant aux fonctions Y„. D'après leur définition même, nous avons

(10) u = — -f-^-f--4-...-hp^-f-...

et aussi

(11) U =21 ^ {r^ — ^rr'cos'^ H- r")"%

dans laquelle /• et r' sont les distances à l'origine de la molécule attirée et de la molécule attirante, et y désigne l'angle des droites /• et r\ En sorte que l'on a

cosy = cos 0 cos 9' H- sin Ô sin Ô'cos [^ — 4*' )>

6o4 STATIQUE.

OU simplement

cos 7 = fAf*' -f- \/[i — f*') (i -— fA'^)cos{t|< — y)» en posant, pour abréger,

^ z=z cos 0, p' = cos ô' .

Mais Téquation

à laquelle satisfait le potentiel, devient, en prenant des coordonnées polaires,

Si l'on remplace U par sa valeur tirée de (lo), on obtiendra une équation qui devra subsister quel que soit r, et dans laquelle, par conséquent, les coefficients des diverses

puissances de - seront identiquement nuls, ce qui fournit la relation

La fonction Y„ se déduit de la fonction X„ en changeant d'abord dans celle-ci x en

On obtient alors une fonction que Ton peut désigner par P„ et qui rentre dans la classe des fonctions Y„; car toule fonction Y„ est une somme de fonctions P„. LVquation (i3) a souvent été prise pour définition de la fonction Y„, avec cette condition que Y„ soit une fonction

entière de V^i — /x' cos (^ — «j/') et de fi.

THÉORIE GÉNÉRALE DU POTENTIEL. 6o5

L'équation (i3) renferme Féqualion (2), car X„ esl un cas particulier de Y„ obtenu en supposant le corps attirant réduit à un point et la quantité

\/(i - f*')(i ~ /=) CCS (>|; ~ f ) H-pfA'

réduite k ^1 = x.

251. Voici comment on peut étendre aux fonctions Y„ un grand nombre des propriétés des fonctions X„. Partons de la formule

Changeons x en cos y , on a

/ ï*',„^„sin7rf7 -:o,

F,,, et P^„ désignant ce que deviennent X,„ et X„ par le changement de x en cos y. On peut encore écrire celte formule comme il suit ;

et sous cette forme on reconnaît immédiatement que le premier membre, somme des éléments d'une surface sphérique multipliés par F^^P^^j est nécessairement nul. Ce même premier membre, par une transformation facile des coordonnées, devient

(i5) Pr ''p„P„sin9'rf9'.ff = 0,

Jo Jo

en désignant par P,^ cl P„ ce que deviennent V^ et F„ ou, si l'on veut, X;„ et X„ , quand on a posé

x=:cos7 = cos9cosô' -+- sin Ô sin 0' cos {\|* — ^').

6o6 STATIQUE.

Mais, d'après la manière dont nous avons défini la fonction Y„, on devra avoir aussi

(i6) f" r'"" Y«Y„sinô'r/0'rff = o,

sans que les fonctions Y^, Y„ aient besoin de provenir d'un même développement. La formule (16) subsiste donc encore si Ton remplace Y„ par P„, pourvu toutefois que m ne soit pas égale à n. Traitée de la même manière que (4) T équation (6) donne

(^7) — / / P«P„sinô'</ô'e/f=:

Si Ton pose

J y«P } Aj JLf "T" A I A-i "T~ ... "T" An An "T" • • • y

on pourra déterminer les coefficienls A^, Ai, ... , A„ en multipliant par X„ et en intégrant de — i à -f-i. Les relations (4) et (6) donnent ainsi

d'où

Donc, toutes les fois qu'une fonction y* (x) sera développable en série de fonctions X„, on aura entre les limites — I et + 1 de X

Dans le cas particulier oii/(i:) = {iT-2aj: -+-a*)"% la comparaison des développements (i) et (3), qui doivent être identiques, conduit à Téquation

2/ïH- I T"*"'

La formule (i4) donne en outre, pour a: = i,

"2 — J X„/(ar)f/xH- ...,

OU, si l'on remplace x par cosy, et qu'on désigne par F„ ce que devient X„,

-+- ^''^ J P^ /(ces 7) sin 7 ^7 4- ....

252. On peut établir celte dernière formule d'une manière à la fois plus directe et plus rigoureuse. En effet, posons

g^2^f__ij P'„/(cos7)sin7^7,