V.=2^ Pp:/sin7rf

yfn^'^nrf./smydy.

Remplaçons, dans V„, F„ par la valeur de X„ tirée, de (7) en y faisant x = cos 7, il vient

o7o J„ V^(cos,-cc

<p— COS7)

::::: COS /I ^ //-y

/ / sin-yros;7y

o J J V2(coS7 — ros^)

à la coudiiion que sous le signe >^ on réduise le terme qui correspond à /2 =. o à sa moitié, ce qui donne, eu effectuant la sommation y,

y^2(coSflp — cos 7)

n/sin

nsini /sin7' V'2(cos7 -

sin »

sin - 9 2 ^

. 2/1 -I- I sm ^

sm - 9 2 ^

d-éd

difdy,

rintégration par rapport à (f devant précéder celle qui est relative à y^ mais on a en général

' dx\ ^(x,x)dx= f dy l y(x,j)rfa:, o Jo Jo Jj

et, en appliquant cette formule à l'évaluation des intégrales qui entrent dans V„, on aura

(rf)

/" . 2/1-1-1 Sin ^— • ?

sm-

THÉOniE GÉnÉHALE DU POTENTIEL. 6og

formule dans laquelle on a posé, pour abréger,

/sin y dy 1 (cosf — COS7)

y /sin 7 dy

^2(C0S 7 — COSf)

xs((f) sera donc fini si ^"(€08 y) est fini, parce que Télément infini dans ces intégrales ne fournit pas d'intégrale singulière finie. Cela posé, si dans la formule (d) on fait 7z = 00 , Tintégrale du second membre pourra se sub* diviser en une infinité d'autres ayant pour limites succes-

27r 2ir Air An 8n

sives o et > et » — et '

et toutes ces intégrales seront sensiblement nulles, la première exceptée. En effet, si M désigne le maximum, m le

minimum de -^ dans Tintervalle correspondant à une

sm-

intégrale partielle, la valeur de cette intégrale partielle

. ^, . , (M — m) Air j -

sera inférieure a "—^ • La somme de toutes

ir 2/î -I- I

ces intégrales est donc infiniment petite, et la formule [d) se réduit à

/* . a/î-4-i sm 9 2 ^ — — — «(?)''?,

e désignant un infiniment petit. Par cela même, on peut remplacer sin - (f par - cp, et écrire