V.= -ct(o
6lO STATIQUE.
Rien n'empèclie actuellement de supposer e = tt, car on ne fait qu'ajouter des éléments qui se détruisent mutuellement. On aura donc, en changeant de variable, et en
posant Ç = w»
I r sin «
- ts (o) I aw,
d'où Ton conclut
lim V« r= - ©(o)
et enfin
limV„=- 1 /(cosyjcot-Yéfy.
On transformera W„ comme V„ en faisant usage de la formule (8) et de Tidentité
sin?-+-2sin2(p4-...-+-/isin/i<p=— D (--hcosf -f-...H-cos/if J
sm 9
^ . I 2 sm - • 2 ^
On trouvera ainsi
sin - siD'
/(cosy) sin 7. ^ =^ D ^^ dffdy
Va(cosç — cos7) ** ^j^i
• . 2/I-hI
cosi sm •
2 2 / (cos 7) sin 7 • D d^ rfy
V/2(C057 — COSf) ^ ^i^
THÉOBIE GÉNÉRALE DU POTENTIEL. 6l I
c'est-à-dire
/^ . 2/î -4- I sm sin-
en posant
y(cos7)sin7rf7
n(t) = ànî r
— CCS - /
Vo
j, ^2(C0S.p— COS7J
tf r^ /(cos^)s\nydy
^2(0057 — cosy) En intégrant par parties on trouve
sin y
sin -
limW«=: — iDj,=on(7),
et la question est ramenée à prendre la dérivée de II ((f ). Cette fois les règles de la diflerentiation sous le signe
I ne sont plus applicables, parce que les intégrales dont
la somme est II (ip) ont leurs éléments extrêmes infinis.
y(cos7) sin 7 ^7 I r *y{cos7) sin7</7
D, = o r/(eoS7)sin7^7^,Hmi. C
J V^2(cOStp — COS7) ^'X
yji{i — C0S7)
^/ M- ^2(1 — cosA) , .
on trouverait de même
r«» /(co8ç)sin7rf7
^a(co57 — cosf )
6ia sTATigrE.
Ces dérivées une fois calculées, il est facile d*en déduire
limW,= -i J /(cos7)corI 7^/7-/(1) L
et, par suite,
lim S. = lim V, -4- a lim W. ==/(i).
La formule (i4) peut donc être considérée comme démontrée. En y remplaçant y* (cos 7) pary(y), elle devient
/(o) = J,^^fJ/(y)K^y<iy.
Posons maintenant
/(o)=^j^'"F(o.+')rff,
nous aarons
an
*»Jo
F{o,f)rff
Si F (0, ^) désigne une fonction ayant une valeur bien déterminée en chaque point de la surface de la sphère dont le rayon est i, 7, ^ désignant la latitude et la longitude d'un point quelconque, le premier membre de notre équation sera la valeur de F (0, ^) correspondante au pôle nord de la sphère *, Tintégrale double du second membre représente la somme obtenue en ajoutant tous les éléments superficiels de la sphère multipliés par la valeur deF(7, ^)-^ 9 y désignant toujours la colatilude. Si Ton transforme les coordonnées, la formule précédente devra encore subsister. Or, dans cette transformation, le premier membre devient F (6, ^p), et l'expression générale
THÉORIE GÉNÉRALE DU POTENTIEL. 6l3
de rélëment diflerentlel du second membre peut s^ écrire
P,, désignant ce que devient X» quand
x=:cos9cos9' -f- sindsin9' cos(^ — ^').
Si donc F(0, ^) est une fonction ayant en chaque point de la sphère de rayon i une valeur bien déterminée, on aura
(20) F(ô,+) = 2^^/''/"'p-/(®^+0"ne'rfô'jf.
Cette formule, due k Laplace et à Poisson, joue un rôle très-important 'en mécanique et en physique mathématique, comme nous aurons l'occasion de le faire voir. La démonstration rigoureuse que nous avons présentée est due à Dirichlet.
On appelle sphéroïde un corps irrégulier formé d*un noyau sphérique recouvert d'une croûte d'épaisseur variable, positive ou négative, mais petite par rapport au rayon du noyau.
Soient a le rayon du noyau sphérique, p la masse spécifique du sphéroïde, a^' Tépaisseur de la croûte au point dont la colatitude et la longitude sont 0' et ^^; a désignera un coefficient très-petit mais constant.
Soient r, 0, ^ les coordonnées polaires d'un point attiré par le sphéroïde*, le potentiel U|, relatif à la croûte, est donné par la formule
A désignant la distance de Télément attirant au point attiré, et le produit de la masse du point attiré par le coefficient de Tattraclion étant pris pour Tunité.
6l4 STATIQUE.
Si l'on pose
ces 7 = CCS 0 cos 9' -f- sin ô sin 0' cos (4» — Y),
on a
(/) ùi=za(i — 2^cos7 + ^j
ou
(/') A = rfi — 2%0S7-+-pj .
La formule (/) servira dans le cas d'un point eictérieur à la croûte quand r'^a-^ la formule (/*') dans le cas d'un point intérieur, quand r <^ a.
Dans le premier cas, la formule (e) devient
U,= î^ ne ''pç' /p.4.p,f -HP,~...]sinÔ£/ô'<if.
Mais, en vertu de la formule (i8), Ç' étant une fonction de 0' et tj/' déterminée en chaque point de la sphère, peut se développer en une série dont les termes sont une somme de fonctions Y„ ; on aura donc
U|=^ j C ''p(Y,-hY,...) ^p.-hPi^ -+- ...] smÔ'rfôV+',
ou, en vertu de l'équation (i6) et de la remarque faite à son sujet,
(g) U.=:^ rV'''p(YoP. + T.P,^H-...ysinÔ'rfe'iif^
Or, si l'on applique à la fonction Y„ la formule (so), on trouve
o;, -4-, pif /»^W
TBéOEIB GÉNÉRALE DX7 POTENTIEL. 6l5
La formule {g) donne alors, en supposant p constant»
Dans le cas d'un point intérieur, on trouverait
(22) U,==47raflp fT,-4-^Y, 4-^Ya-h...j.
Si Ton désigne ensuite par Us le potentiel relatif au noyau du sphéroïde, le potentiel total du sphéroïde sera
Les fonctions X„ et Y„ trouveront aussi leur application dans la dynamique analytique.
6l6 STATIQ1IB<
