VINGT ET UNIÈME LEÇON

Mécanique molécnlaire. — Élasticité des corps solides. — Pressions on tensions intérieures. — Leors relations entre elles et stoc les forces mooélératrices. — Dilatations et glissements dans le^ corps. — Leurs relations pour les divers sens ( * ).

253. u^ étions moléculaires. Pressions, — L'ëlasdcité des corps solides et même des fluides, ou leur retour à leur premier état après des compressions, extensions ou déformations, leurs résistances diverses, leurs vibrations, la transmission en un lieu de l'espace, par leur intermédiaire, des efforts et des ébranlements exercés ou excités dans un autre lieu, et, on peut le dire, toutes leurs propriétés mécaniques, prouvent que les molécules ou les dernières particules qui les composent exercent les unes

' (*) Nous devons la rédaction de cette Leçon et de la suivante à M. de Saint-Venant. 11 en a puisé la matière non-seulement aux deuxième, troisième et quatrième années (1827-1829] des Exercicet de Mathématiques^ mais encore dans les antres œuvres de notre illustre maître, et aussi dans des Mémoires qui ont eu surtout ses travaux pour point de départ, qu'il a approuvés, ou dont les résultats sont une conséquence naturelle des principes posés par lui.

Ces Leçons comprennent la statique de Télasticité dans ce qu^elle a de plus général. Nous ne rapportons pas les applications que Gauchy en a faites ( Exercices, troisième et quatrième années ) à la tliéorîe de la flexion, et surtout à celle de la torsion pour laquelle il a ouvert une voie nouvelle, parce qu'il a adopté (^Comptes rendus des séancet de P Académie des Sciences, 30 février i85'|, t. XXXVIII, p. Sag) une autre manière de les traiter, due à M. de Saint-Venant, et qui donne des résultats sensiblement différents, confirmés par diverses expériences, ainsi que par des recherches analytiques entreprises par M. Kirchhoff, l'éminent professeur de Heidelberg {Ueber die Gleichgewicht und Bewegung eines elastisches Stobes, U LVI, du Journal de Crelle, p. 299).

THÉORIE GÉnÉKALE DE l' ÉLASTICITÉ. ÔlJ

sur les autres des actions qui sont répulsives et indéfiniment croissantes pour les distances moindres (ce qui remplace Vimpénélrabilité des anciens), qui deviennent attractives pour des dislances plus grandes, mais qui liront plus quune intensité relativ^ement insensible dès que ces distances acquièrent une grandeur sensible [*),

Cette Leçon et la suivante ont pour objet les eflets de ces forces, principalement en ce qui regarde Télasticité des solides.

Il n'est pas nécessaire de faire des suppositions sur leurs intensités individuelles. 11 suffit de considérer les résultantes qui peuvent être produites parla composition ensemble d'un très-grand nombre d'entre elles.

Définition. — Nous appellerons donc pression sur un des deux côtés d^ une petite face plane imaginée à Tintérieur d'un corps solide ou fluide, ou k la limite de séparation de ce corps, la résultante de toutes les actions des mo^ lécules situées de ce côté sur les molécules du côté opposé, et dont les directions traversent cette face, toutes ces forces étant supposées transportées parallèlement à ellesmêmes en un même point pour en opérer la composition.

Dans les Mémoires de Cauchy et de tous les autres au-

(*) Si Ton répugne à admettre que ces forces changent ainsi de signe ou de sens pour une grandeur déterminée de la distance moléculaire dont elles sont fonctions continues, et surtout que, lorsqu'elles sont devenues attractives, elles croissent d'abord avec la distance où elles 8*cxercent pour décroître ensuite, passé une certaine autre grandeur de cette distance, on peut très-bien, avec Poisson, M. Poncelet, etc., supposer que l'action moléculaire est une différence de deux actions, Tune attractive, l'autre répulsive, toutes deux décroissantes quand la distance croit. L'une de ces forces (on ne sait laquelle des deux) peut être inhérente à la matière pondérable, et l'autre due à une inOuence étrangère, telle que celle d'un fluide impondérable. Mais nous regarderons l'action résultante comme un fait, sans avoir besoin de prendre en considération tes explications.

6l8 STATIQUE.

leurs (excepté dans le deuxième Mémoire de Poisson, du 12 octobre 1829, au XX^ Cahier du Journal de V École Polytechnique, p. 6, 3o, 69), le signe H- est attribué aux forces attractives, et le signe — aux forces répulsives. La pression est donc regardée comme positive lorsqu'elle se dirige de la face vers le côté où on la prend, ou lorsqu'elle constitue, à proprement parler, une tension ou traction^ et on la prend négativement lorsque, comme dans les fluides, elle est répulsive ou dirigée vers la face.

2oi. Conséquences de cette définition de la pression. — 1** Les pressions exercées sur les deux côtés d'une même face sont exactement égales et opposées.

2^ La résultante des pressions qui s'exercent sur les diverses faces d'un élément solide abcd {fig* 54 )f prises toutes du côté extérieur, ou prises toutes du côté intérieur, est identiquement la même que la résultante des actions exercées sur les molécules m, m du dedans de Télément par les molécules m', ni^\ ... du dehors, ou sur celles-ci par celles-là. En eflet, si en raison de la petitesse de l'élément, ou des arêtes vives de son enveloppe polyédrique, les pressions comprennent, en outre, des actions sensibles de molécules extérieures sur d'autres molécules extérieures, suivant des lignes m' m", m' m" qui traversent deux faces ab^ cd on bc^ cd^ ces actions étrangères, qui entrent à la fois dans les pressions sur l'une et l'autre face, se détruisent deux à deux comme égales er contraires quand on les compose pour obtenir la résultante générale des pressions sur toutes les faces, en sorte qu'il ne reste, comme nous le disions, que les actions des molécules du dehors sur celles de Tintérieur de l'élément, ou réciproquement (*).

(*) C'est ce qui n^a point lieu si Von prend une autre déGnition de la pression, adoptée d^abord par Caucliy ( Exercices de Mathémati^Mies, troi-

THÉOUIE GÉHÉRÂLE DE l'ÉLÀSTICITÉ. 619

3^ Il résulte aussi, de ce qu'à travers les plus petites faces perceptibles il s'exerce un nombre extrêmement considérable d'actions moléculaires, que Ton peut regarder,

sième année, p. 31 5) ainsi que par d'autres auteurs, mais h laquelle il a renoncé pourprérérerdéfinitivementcelleque nous venons de donner(Com^r^f rendus des séances de V Académie des Sciences, 23 juin et 14 juillet i845, t. XX, p. 1765, et t. XXI, p. iq5)- En effet, la première définition, abandonnée par Cauchy, consistait à regarder la pression sur une petite face comme la résultante des actions exercées sur les molécules d'un cylindre indéfini élevé sur cette face comme base, par toutes les molécules situées du côté opposé du plan de cette même face. Or, il est facile de voir (Note au Bulletin de la Société Philomathique, 3o décembre i843, on au n^ 624 du journal de V Institut , et aussi Comptes rendus des séances de l 'Académie des Sciences, 7 juillet i8/|5, t. XXI, p. 24 ) que cette définition introduit dans la résultante générale des pressions un certain nombre d'actions étrangères k celles des molécules du dehors sur les molécules du dedans ou récipro> quement, et qu'acné fait faire double emploi à un certain nombre des actions en jeu, tout en en omettant plusieurs autres; enfin que, par cette même définition, les deux résultantes des pressions sur les côtés opposés des diverses faces ne sont point égales, inconvénients qui se sont plusieurs fois présentes à Poisson {Journal de l* École Poix technique, XX® Cahier, art. 4d à 53, et Hémoires de l'Institut, t. XVIII, p. 56). Par exemple, si l'élément est un parallélipipède rectangle, il est facile de voir que, dans la résultante des pressions sur les côtés extérieurs des faces, les actions des huit angles trièdres trirectangles extérieurs a, h, c, J,... sur l'élément seront comptées trois fois, que celles des onglets dièdres, répondant à chacune des douze arêtes ah, hc,.., seront comptées deux fois, et il y aura de plus les actions des angles sur les onglets qui ne seront pas détruites; enfin que dans la résultante des pressions sur les côtés intérieurs des mêmes faces, il y aura omission complète des actions de l'élément sur les huit angles trièdres et sur les douze angles dièdres. Tous ces inconvénients disparaissent complètement avec la définition que nous adoptons.

Au reste, M. Poisson a montré en 1821 (Journal de l'École Polytechnique, XIX* Cahier, p. 272) que les deux définitions analogues, relatives au flux de chaleur, donnent dans les calculs les mêmes résultats quand on néglige certains ordres de quantités.

Nous ne parlons pas d'une autre définition donnée en premier lieu par Cauchy, consistant h regarder la pression sur une face comme la force que celte face supporterait ji elle devenai* . 'gide ^ force qui revient à celle qu'il faudrait appliquer pour maintenir en équilibre la partie du corps située d^un côté de la face si Ton venait à anéantir la partie de l'autre côté. M. Lamé a très-bien montré (Leçons sur l'Élasticité des solides, § 5) que cette sorte de définition, en apparence plus simple que celle qui

dans un même corps, les pressions comme proportionnelles aux superficies des petites faces où elles s'exercent, quand ces faces, supposées circulaires pour fixer les idées, font partie d'un même plan et sont concentriques; et cette proportionnalité peut être .considérée comme ayant également lieu pour des faces d'une autre forme et même dissemblables, si elles ont leurs centres de gravité au même point, parce que les inégalités de part et d*autre se compensent avec toute l'approximation que comportent ces sortes d'évaluation. Il en résulte également qu'on peut regarder les pressions par unité superficielle comme variant d'une manière continue avec la position de ce centre de gravité, lorsque les faces sont prises sur un même plan ou sur des plans parallèles et très-voisins.

285. Obliquité des pressions sur les faces, Compo^ santés normales. Composantes tangentielles. Leurs relations en un même point, — On sait que dans les fluides en repos (et c'est même en quelque sorte la définition de la fluidité) les pressions sont normales aux faces sur les* quelles elles s'exercent, d'où l'on déduit facilement, comme M. Cauchy (*), leur égalité en tous sens. Celte normalité et cette égalité n'existent déjà plus dans les fluides en mouvement, et la pression a, dans un sens tan-

fait consister la pression en une résultante d'actions moléculaires, ne donne aucune idée exacte, et que sa simplicité n^est même qu'une pure illusion. Elle pouvait ôtre admise au temps où l'on croyait (et on ne Ta jamais cru généralement) à la continuité de la matière et à l'action au contact seulement. Mais l'action sur une surface n'a plus dp signification depuis qu'on sait que les forces s'exercent à distance, et que, par conséquent (continue M. Larré*); les forces répulsives et attractives émanent non-seulement de la première couche infiniment mince, mais aussi des couches plus éloignées, jusqu'à la distance où leur intensité cesse d'avoir une grandeur sensible.

{*) Exerciccf, deuxième année^ p. a3.

THÉORIE GÉNÉRALE DE l'ÉLÀSTICITÉ. 6a I

gentîel ou parallèle aux faces, une petite composante appelée quelquefois \e frottement des fluides.

Dans les solides qui ont été dcformés, même légèrement, les pressions sont généralement obliques aux faces^ et leur;» composantes tangentielles ont des intensités comparables aux composantes normales.

Mais les pressions sur les diverses faces ayant leur centre en un même point ne sont pas indépendantes les unes des autres, et il existe entre elles des relations renfermées dans les deux théorèmes suivants de M. Cauchy :

256. Théorème I (dit des projeclions de plans de pressionsj ou du tétraèdre des pressions). — La pression qui s^exerce sur une petite face plane imaginée dans V intérieur d^un corps solide ou fluide en repos ou en moui*e^ ment est la résultante des pressions supportées par ses trois projections droites ou obliques sur trois plans quel* conques passant par son centre de granité.

Pour le prouver, posons la condition de l'équilibre de translation d'un très-pelit élément ayant la forme d'un tétraèdre, en supposant d'abord que les molécules qu'il comprend sont en repos et n'éprouvent d'actions que de la part des molécules environnantes. L'équilibre de ces actions est le même, nous Pavons vu (254), que celui des pressions s'exerçant sur les côtés extérieurs des quatre faces A, B, C, D du tétraèdre (fg- 55). Il exige que la pression agissant ainsi sur l'une d'elles, A, par exemple, ait la grandeur et la direction de la résultante des pressions sur B, C, D prises en sens opposé ou intérieurement. Or, le côté extérieur de la face A a les côtés intérieurs des faces B, C, D pour projections rectangulaires ou obliques sur leurs plans respectifs*, et, à cause de Textrême petitesse qu'on peut supposer aux dimensions de l'élément, et de la conti-

nui té (254) des variations d^ intensité de la pression en passant d'un centre de pression à d'autres très-proches, on peut, à cela près de quantités d'ordre supérieur et néglig<;able, remplacer les pressions sur A, 6, C, D par les pressions sur quatre faces parallèles et de même superficie ayant un centre de gravité commun et placé au centre de gravité du volume de l'élément. Donc la pression supportée par une petite face est bien la résultante des pressions que supportent ses projections sur trois plans menés arbitrairement par son centre de gravité.

Il n'y a rien à changer à celte conclusion si l'on tient compte des forces non réciproques ou à centre d'action éloigné, telles que la pesanteur, qui peuvent solliciter en même temps les molécules du corps. Ces forces, qui agissent proportionnellement à la masse et par conséquent au volume, sont du même ordre de grandeur, pour un corps de dimensions finies et perceptibles, que les pressions qui agissent proportionnellement à la surface 5 elles sont donc, pour un élément excessivement petit, des quantités du troisième ordre négligeables à c6té des pressions trèspetites du second ordre, et il n'est pas besoin d'en tenir compte dans l'équation d'équilibre de translation du tétraèdre.

On peut dire la même chose de la force d^ inertie, produit de masse et d'accélération, qu'il faut ajouter en posant les équations quand les molécules se meuvent. Le théorème I est donc vrai pour les masses solides ou fluides animées d'un mouvement intérieur, comme pour les masses en repos, ainsi que Cauchy l'a reconnu dès l'abord (*).

(*) OanB un Mémoire présenté le i4 ^rrW i834» et aussi dans une note delà page 545 ($ 16 du 3* Appendice) de la nouTelle édition des Le^omt de Navier, nous avons fait voir que le thorème I de Cauchy pouvait être démontré en ne néf^geant ijue desquantitét trè*ffetitentordre supérieur de

THÉORIE GÉNÉRALE DE l'eLÂSTICITÉ. 6^3

257. Théorème II (dit de récîprocitë des composantes transversales de pression). — Lorsque deux petites faces planes imaginées à Vintérieur (Vun corps ont la même superficie et le même centre ^ la pression sur la première, décomposée ou projetée dans une direction normale à la seconde, est égale à la pression sur la seconde dé-composée ou projetée dans une direction normale à la première.

Pour le démontrer, considérons un élément en forme de prisme droit à base losange. Soient A, A' (J^g* 56) deux des faces latérales répondant à deux côtés opposés de cette base, B, B' les deux autres faces, aussi égales et opposées. Les pressions sur les six petites faces peuvent être regardées comme appliquées à leurs centres de figure respec-

deux uniiés à celui des pressions en jeu. Pour cela, il suffit de considérer simultanément un deuxième tétraèdre dont on détermine les sommets en prolongeant de longueurs égales les Itgnes de jonction des sommets du premier avec son centre de gravité, en sorte que les deux tétraèdres sy> métriques et opposes aient même centre, même volume, et des faces égales et parallèles chacune à chacune. L'équilibre exige qu'on ait zéro pour la résultante des pressions sur chacun d'eux ; on a donc aussi zéro en composant les pressions sur l'un avec les pressions sur l'autre prises dans un sens opposé. Or, dans cette composition, les pressions sur les faces ^ales et parallèles s^ajoutent, tandis que les forces accélératrices et les inerties disparaissent comme ayant, avec des sens contraires, les mêmes intensités totales pour les deux tétraèdres, à cela près de quantités d'ordre de petitesse 4 ^t au-dessus. En divisant par 2, on peut remplacer, avec la même approximation, chaque demi-somme de pression sur deux faces égales appartenant aux deux tétraèdres, par la pression sur une face parallèle et de même surface ayant son centre au centre commun. 11 en i^ulte que le théorème I est établi ainsi avec une exactitude qui ne laissa rien à désirer.

Nous avons donné aussi des démonstrations de ce théorème et du suivant (Mémoire sur la torsion, aux Savants Étrangers, t. XIV, art. 10, et sur la flexion, Journal de Jf. Liouville, i856, p. 89) indépendantes de la considération de l'équilibre d'un élément solide, et fondées seulement sur oeUe des actions moléculaires s^exerçant k travers les faces, et dont les pressions sont des résultante 9.

6a4 STATIQUE.

tifs, et Téquilibre de translation du prisme, sur lequel on suppose d'abord qu'aucune autre force n'agisse, exige que les pressions sur les faces opposées soient deux à deux égales et parallèles. Mais exprimons Féquibre de rotation autour d'un axe passant par les centres O, O des deux bases ; et, pour cela, décomposons les pressions qui s'exercent sur les quatre faces latérales A et A', B et B' : 1^ suivant des parallèles à cet axe OO; a^ suivant les médianes ou lignes de jonction A A', BB' des centres A et A', Bet B' des faces; 3^ suivant les perpendiculaires A a, h'ûl^ B&; ^'V menées à ces mêmes médianes parallèlement aux plans des bases O, O. Les premières composantes ne donnent aucun moment autour de Taxe OO, puisqu'elles lui sont parallèles; les secondes n'en donnent pas non plus puisqu'elles le coupent, et il en est de même des pressions sur les deux bases, s'exerçant à leurs centres O, 0. Restent les quatre composantes A a, A' a', B&, W dont chacune est perpendiculaire à la face adjacente à celle où elle s'exerce. Celles A a, K'a' sont ^ales et tendent à faire tourner Télément dans le même sens, en sorte que leur moment total est double de celui de la première Aa; le moment total des deux centres est double de celui de B£ ; leurs bras de levier OA, OB sont égaux.

{)onc, pour l'équilibre, il faut que la composante A a, perpendiculaire a la face B, de la pression sur la face A, soit égale i la composante B&, perpendiculaire à A, de la pression sur B, ce qui est le théoiénte énoncé»

Ce second théorème de Cauchy est également vrai lorsque la matière de l'élément, soumise aux pressions émanant de la matière environnante, Test aussi à des forces telles que la pesanteur, ou telles que r/nerr/e, ce qui comprend les cas du mouvement; car ces autres forces, dont la somme totale est très-petite du troisième

THÉORIE GÉBÉAALS DE L ÉLASTICITÉ. 6a5

ordre, comme le volume de rélément, et dont les deux parties sensiblement égales tendent a le faire tourner autour de son axe dans deux sens opposés, ne donnent, multipliées par leurs bras de levier moyen sensiblement égaux et du premier ordre, et ajoutées, qu*un moment total du cinquième ordre, négligeable devant celui des pressions qui est du troisième.

Nous allons tirer de ces deux théorèmes divers corollaires.

2S8. Expressions ries composantes, suivant trois axes coordonnés rectangulaires des a*, y, z, de la pression sur une petite face quelconque en fonction des six com^ posantes des pressions supportées au même point par V unité superficielle de trois petites faces peipendiculaires aux mêmes axes.

Soient :

p la pression sur Tunîté de superficie de la face donnée^

n la direction d'une normale qu'on élève à son plan, du côté où la pression se prend,

et '

Pxx^ Pxy^ Pxi\ Pjxy Pyj'i Pjx\ Pix^ P»fj Pu

les composantes supposées connues, parallèlement aux x^ aux/,aux z, des pressions exercées sur Tuni lé superficielle des faces normales, respectivement, à ces coordonnées rectangles, la première sous^letfre désignant toujours la face par sa nonnale, et la seconde le sens de décomposition {*). On a, d'après le théorème II de Cauchv {n° 257), les égalités suivantes deux à deux entre les

(*) Olte notation lucide, qui nous a été conseillée en 1837 pnr Corîolis, a été adoptée finalement par Cauchy (Comptrs rendus des séanas de r Académie des Sciences, 30 février i85/|, t. XXXVIII, p. 3^7). Noiîs

6a6 suTiQuk.

compountes tuigentidles

('} Pj' = Pir P^=P^, Pv—Pj'f

ce qui réduit k six distinclca, savoir : lioîs iKH^iiaia, trois langeotielles, les nenf composantes censées connues et données.

Et t'oD a, d'après le théorème I (n" 256), pour les trois composantes dont on désirait l'expression et qae nous désignerons comme les autres au moyen de deux indices ou sous-lettres,

=ptO%(p,x]

l =p„co^{n,x

, , ) P»t=P^^(P'T) '^) =;,,co.(n..)

/.^cos(d,j } +/.„co8 (n, s),

/.^coi(n. *) -f-/.^co»(B,j-) -t-/»r,co»(n, s),

,{n,.r)+/V,cos{n,j) + /'„cos(n,»);

car chaque unité superCcielle de la petite face donnée a des projections cos(n,x), cos{n,^), co$(n, z) sur des plans

crojoDi devoir en

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iciUt]moiiTui«

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PoruoM (1829).

CLktntmi.

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Coiious.

S«ni de décorai».

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Od reiBirqaer> uni donU li noutioD auiiî lrè»-conimCHl« de H. Kïich-

THÉORIE GÉKÉBÀLE DE l'ÉLÀSTICITÉ . 6^^

perpendiculaires aux x, y^ z menés par son centre, et par conséquent la première des trois équations exprime que la pression p décomposée ou estimée suivant les x est égale à la somme des pressions dont elle est résultante, décomposées toutes trois dans le même sens x que désignent les deuxièmes sous-lettres de p„, py^^ p^. Les deux autres équations sont obtenues de même eti décomposant ces quatre forces parallèlement aux y ^^ parallèlement aux 2 (*)

259. Composante, suivant une direction quelconque 5, de la même pression sur la petite face dont n est la

hoff. Nous croyons celle de Coriolis encore préférable, parce qu'elle s'étend à une composante comme celle que nous appellerons ci-après Pns» *^^^^^^ ^^^ ligne absolument quelconque s, de la pression sur une face dont la normale a une direction aussi absolument quelconque n.

{*) C'est sous la forme des équations (3) que Caueby a énoncé son tbéorème I dans la deuxième année (1837) des Exercices [p. 48, équation (lo)], après l'aToir appliqué dès i8q3 dans un Mémoire lu le 3o sep* tembre à l'Académie, et dont un extrait se trouve imprimé au B.ulletin de la Société Philomathique (janvier i8a3) sous ce titre : Sur l'équilibre et le mouvement des corps solides ou JUàides, élastiques ou non élastiques. C'est donc à tort que quelques auteurs en ont attribué la découverte k Poisson, qui n'en a parlé pour la première fois que dans son Mémoire du \l\ avril 1828, où il ne l'énonce de même que d'une manière analytique (t. YIII des Mémoires de l* Institut, équations du baut de la page 384); seulement il le démontre, ou arrive aux trois équations, d'une manière simple et dir^pte, sans les calculs qui fournissent du même coup à Cauchy le tbéorème II, déjà trouvé et appliqué par lui, aussi dès 182Q, et dont Poisson a reconnu, en 1839 (13 octobre, Mémoire inséré au XX* Cabier du Journal de VÈcole Polytechnique, art, 38, p. 83), la grande généralité d'abord méconnue (t. YIII des Mémoire de l'Institut). L^énoncé que nous avons donné en langage ordinaire de ce tbébrème I, rendu ainsi plus général en ce qu'il s'étend au< projections obliques, ressort facilement des considérations présentées par l'un comme par l'autre de ces deux illustres savants. Et, quant au théorème II, nous avons cru devoir le démontrer et l'énoncer pour le cas de deux faces faisant un angle quelconque, généralisation que Cauchy y a apportée dans la quatrième année (1839^ des Exercices, p. 4i«

normale. — Soit, toujours suivant la notation du n^258.

Pus

la composante suivant une direction arbitraire, désignée par la lettre Sj de la pression p supportée par Funité superficielle de la face dont n désigne, en direction, la normale.

On aura cette composante ou projection de la pression p sur la ligne 5, en y projetant la ligue bri- ^ Pnx-^Pny~^ Pnz formée avcc les trois composantes mises bout à bout, de la même force suivant les x, les } , les z; d'où

(3) /?i,4=/'n«C0S{#, x)-+-/?BjCOS(f,j) -^PnxCOS[s,z).

En y substituant (a), et appelant généralement, pour abréger, comme nous ferons toujours dans la suite,

Île GOsiDus de Tangle de deax droites quelconques dont i et / désignent les directions,

on obtient l'expression générale

IPns =^Ps*CnxCu "f P/T^nx^»r -r/'«CnsC„

Par exemple, si l'on veut avoir la composante de pression normalement à la face, on n'a qu'à mettre n au Hou de 5, ce qui réduit cette expression à la forme

Pnn = Pss^lx -h Pjj^lx -^ Pliait -^ a/'jiCo^C,.. -H 2/?„Cn,Cn, -^^p,jC^.t^nf

260. Formules des changements de plans de pression . — En mettant successivement à la place de n et de s les directions

de trois droites ou nouveaux axes coordounés, rectan-

THÉORIE GÉNéaàLB DE l'élastigité. 6:tg

gulaires ou obliques^ on obtient les formules suivantes des pressions sur F unité superficielle de trois plans peV" pendiculaires à ces droites ^ décomposées ou projetées successivement suivant les mêmes droites, en fonction les six composantes de pression sur les plans coordonnés primitifs et suivant les directions Jr>,y, z rectangulaires,

P^^—PxxCIj:> -f- p^C^r* -^ P**<^lx' H" V/fCrx'C.x' -+- 2/'«C,^C,x/ -+- iptjCzJCyJj

Pfj' ~- Pf'^iy "*" Pyr^yy^ -^Pucly» -h t^Pj^c^yc,/

-f- 2/7.jrC,yC;j^-+- 2/?,^C^C^/,

PtfMf =PxxCi.' -h PfyC^z' -^ Pu^ls' ■+" 2/7y,Cy,'C„' •+- lipxxCstfCsi' -+- ^Pxx^xt'Cjgfj

Pf.i =: ptx ^x/ Cx,' -+- Pyj C^y Cj.,' -h ptM CsjJ C. j/

(6) ^ -^pMCy/Ct^ -+■ Cj^fC^y) -+-i»«(c,/C«' -h Cm'Cx^')

H- PTx(Cs/Cjst -+- Cxj'Cj/),

/'»'*' =/>«Cxj'Cxx' -H Pjfyx'^ji* -f PsiCtx^Cix^ /Vy = Pxx^xJ^xj* -h Pn^'f^Jj' "^* /'"C-x/C,/

Si les trois droites x\ y' ^ z\ perpendiculaires aux nouveaux plans, ne sont point perpendiculaires entre elles, on a toujours, et conformément au théorème II de

Cauchy,

P/^ = Pty, Pi'x* = p^i'i Px'j» = Py'j ;

mais ces composantes transversales ou non normales ne sont pas alors tangentielles aux trois faces, obliques elles-mêmes les unes aux autres.

Des équations (6) on déduit, entre autres conséquences, (juand les axes nouveaux sont rectangulaires comme les

anciens,

p^^ -h Pfj» -H P¥¥^=^Pxz -^Pxx-^ P**t

ou que la somme des composantes normales de pression sur trois plans rectangulaires est constante en nn même point.

Et que si Taxe nouveau des z' se confond avec Taxe ancien des r, ou si (fig. 57)

C,yi=I, Cxi'=:0, Cj^z=zOy Ctji:=^Oy 0^ = 0,

Cxx' = Cyy% Cjt» = — Cgfz=z sin ( j:, x' ) , on a

p^^ = Jjl. tlL. sîn 2 (jr, j:') -f- />^ cos2 ( or, a/),

d'où

/>^y rrz -^ si Taogle (x, ar') est demi-droit;

c'est-à-dire que la composante tangentielle de pression sur un plan bissecteur de l'angle droit de deux autres est égale, quand on la prend dans un sens perpendiculaire à l'intersection commune, à la demi-différence des composantes normales de pression sur ceux-ci.

261. Pressions principales et ellipsoïdes des pres^ sions, — Si sur la normale Mn, de direction appelée n, à la petite face quelconque sur laquelle la pression p s'exerce (n^* 258 et 259), on porte, à partir de son pied M, qui est le centre de la face ou le point ayant x, r, z pour coordonnées, une longueur

Mot = r=: i / dl — selon que p^^ est positif ou négatif» V Pnn

et si l'on appelle

les coordonnées de l'extrémité m de r rapportée à des axes Mx, My, Mz parallèles aux x, j, z et menés par le

THÉOaiB GÉHÉRALB DE l' ÉLASTICITÉ. 63 1

même point M, on a pour les cosinus des angles de la normale avec les coordonnées les valeurs

Cn, = -; = Z V^±/^.

En les substituant dans Téquation (5) qui donne celle de la composante normale p^^^ de la pression p^ et en divisant par ih /?„B , on la change en

Celle-ci représente une ou deux surfaces du second degré dont le centre est au point M (x, y^ z)^ pour lequel x = Oy y = O9 z == o. On n'a qu'une surface si, pour tous les systèmes de valeurs des coordonnées x, y, z de Textrémité du rayon r, le premier membre reste ou constamment positif ou constamment négatif, et c'est alors nécessairement un ellipsoïde puisque les rayons vecteurs r en tous sens doivent être réels. On a deux surfaces si pour certains systèmes ce premier membre devient -{- 1 et pour d'autres — i ; elles ne peuvent être deux ellipsoïdes puisque dans chaque direction le rayon vecteur a une valeur unique; ce sont donc deux hyperboloïdes, nécessairement conjugués l'un à l'autre ou ayant le même côiie asymptotique, car en faisant z = o par exemple, on obtient

pour équation des deux hyperboles suivant lesquelles ces surfaces sont coupées par le plan xy; et, en faisant x infini, ce qui annule le second membre, on a pour ces

hyperboles les mêmes valeurs de - ou les mêmes asymptotes.

63 a STATIQUE.

Donc : On a un ellipsoïde pour la surface formée parles extrémités des normales à toutes les petites faces d'égale superficie se croisant en un même point d'un corps^ en leur donnant à partir de ce point des Ion gueurs égales ou proportionnelles aux racines carrées des valeurs numériques des composantes p^^^ suivant ces normales Uy des pressions ou tensions p s^ exerçant sur tes diverses faces y lorsque ces composantes p^^ sont ou toutes positives ou toutes négatives : Vellipsoïde se change en deux hyperboloïdes conjugués lorsque la pression normale p„ est positive pour certaines faces et négative pour d* autres. Elle est nulle pour les faces qui sont perpendiculaires aux génératrices du cône asymptotique commun, et Ton n'a sur ces faces que des pressions tangenticlles.

Si Ton prend de nouveaux axes coordonnés des x\ -y' y z', se confondant avec les trois axes orthogonaux de figure de cette surface du second degré simple ou double, Téqualion (7) manquera, comme on sait, des termes en y'z', z'x\ x'y', en sorte qu'on devra avoir

P/Mf = O, Pm^m» = O, prfy = O,

ou les composantes tangentielles nulles pour les faces perpendiculaires à x', à y\ à z\ Les pressions sur ces faces se réduiront ainsi à leurs composantes p^^f^fy Pyr*j p^,^i. Donc :

Théorème. — En tout point d\in corps, il, y a trois faces perpendiculaires Vune à Vautre sur lesquelles les pressions n agissent que normalement. — Deux d'entre elles sont la plus grande et la plus petite pression autour de ce point, et la troisième offre un maximum parmi celles dont les directions forment un certain plan, et un minimum parmi celles qui composent un plan perpendiculaire à celui-ci.

THÉORIE GÉNËRALB DE L^ÉI^ ASTI CITÉ. 633

Ces trois pressions on tensions sont celles que M. Cauchy, dès i8q2, a appe]ées principales {*).

(") M. Canchy obtient élégamment les éqnations susceptibles de fournir les grandeurs et les directions des trois pressions principales, en remarquant :

!<* Que si dans Véquation (7) on met, à la place dei coordonnées X, y, z du point quelconque m de la surface qu'elle représente, celles x-^dXf y + <fy, i -i- di d'un point m' infiniment voisin, situé sur la môme surface, et si Ton en retranche (7), ce qui revient à différcntier cette équation, et si Ton remplace ensuite x, y, z par les trois cosinus qui leur sont proportionnels, on a

ce qui prouve que la petite ligne allant directement de m à m'y où l'on arrive également par le chemin polygonal dx -h dy -t- <f z, a une projection nulle sur la droite dont les angles avecx, y, g ont des cosinus proportionnels aux trois trinômes entre parenthèses; que cette dernière droite est par conséquent normale à la surface au point m.

•j<* Que le rayon vecteur Mm, dont les angles avec x, jr^ z ont pour cosi- ""* ^njr-» *^nr' *^n-' ^^'^^ P*' conséquent normal à la surface, ou aura pour direction celle de l'un de ses trois axes de Jigure, lorsqu'on aura l'égalité suivante entre les trois fractions qui y sont posées,

c= '-^ = — A'na»

on les égale toutes trois à p parce que l'on compose une quatricino

fraction de même valeur en prenant pour numérateur la somme de leurs trois numérateurs, et pour dénominateur la somme de leurs trois dénominateurs, après les avoir multipliées haut et bas, la première par ^nx» '* seconde par' c^ , la troisième par c^^,, ce qui donne i pour dénominateur, et pour numérateur précisément l'expression (5} de p^^. 3^ Qu'il en résulte les trois équations

(>nB - Pjcx) % a. = Pxy *^n y "+• Pzar S . ' ( Pnrt - Pyy ) <^ny = Pyz % z "*" /'.r> ""n •*" ' ( Pnn -Pzz)''uz= Pz.v % .v -*" Pyz «"n j ' dont on élimine les trois cosinus en les multipliant ensemble et eu rem •

Toates les autres pressions ou tensions sont distribuées symétriquement autour d'elles.

Scolie. — La même conclusion peut être tirée de la considération d'une deuxième surface, qui est toujours wi ellipsoïde i et qui se construit en portant sur les normales n aux petites faces, non plus les longueurs i/ =ti — 9 mais des longueurs

égales (ou proportionnelles) aux inverses des intensités des pressions effectives ou non décomposées p (qui ont des directions généralement autres que celles de ces normales) : en effet en ajoutant, après les avoir élevées au carré, les trois équations (2) qui donnent les valeurs des composantes pcos(;99 ^)î pcos(p, y), pcos{py z), on a p* dans le premier membre; et si Ton représente encore par X, y, z les ^coordonnées de l'extrémité de la longueur

plaçant ensnito, dans les termes da second membre tels que

OÙ une composante tangentielle p entre au carré, la parenthèse qui n*e&t autre chose que l'un des seconds membres facteurs, par le premier membre correspondant, ce qui donne, en divisant par c % c^. cette

équation du troisième degré en /y^,

i^'nn-PjTJc) {Pnn " Pyy) (^an ^Ps,) ^ Pyz (^n ^ ^xx)

-PIjc {Pnn -Pyy) ^ P^y (^nn -''«) - ''PyzPzxPs-y = <>.

qui fournira les grandeurs des trois pressions principales à substituer à p dans les trois équations précédentes pour en tirer les cosinus donnant jeurs directions.

M. Gauchy a démontré, dans un beau Mémoire sur les surfaces du second degré, qu'on trouve à la page i de la troisième année des Exercices, que les équations de cette forme ont toujours leurs trois racines réelles.

THÉORIE GÉMÉIIÀLB DS l'ÉLÂSTICITÉ. 635

ainsi portée en sorte qu'on ait

cos(n, jr) = -:=:y»x, cos n, ^)=/?y, co^{n^z)=:pZf

P on obtient Téqnation

Les axes du deuxième ellipsoïde qu'elle représente ont nécessairement les mêmes directions que ceux du premier (^), car le plus grand et le plus petit répondent,

(*) M. Lamé obtient (£itfçoM iur l'élastieité, i85i, $ 3i) un troisième ellipsoïde en portant les pressions p elles-mêmes, non sur les normales n aux faces où elles s'exercent, mais sur leurs propres directions. Comme la face = i sur laquelle p agit a pour projections c^^, c^ , c^^ sur les

trois plans perpendiculaires aux x, aux^, aux s. Bip , p , p^ sont les pressions sur l'unité de ces trois derniers plans, ^ est résultante, diaprés le théorème I(n<> 256), des trois forces ^^^ ^nx* ^y^ay* f'z^z* ^^^ *°'** généralement obliques l'une à l'autre; d'où il suit que si Ton appelle x^, y,, z, les trois coordonnées obliques, par rapport à des axes menés de M parallèlement aux directions des trois forces p^, p^, p^t du point m, extrémité

du rayon vecteur Mm=sp porté sur la direction de p, on a

Donc, comme c^j. H- cJ-»-c*.= I, l'équation de la surface rapportée aux mêmes coordonnées obliques est

fè)'-fèy-fêy=

C'est un ellipsoïde ayant pour demi-diamètres conjugues ces pressions P^9 Py* Pz ^0°^!^ grandeurs et les directions sont faciles à obtenir, car elles sont résultantes elles-mêmes, la première de p^j.^ p^, j p ..% la deuxième de /j^^., p^.^^ p^.l la troisième de p.j.^ p y ^^., dirigées suivant X, jr^ 5.

comme ceux-ci, à la pression minimum et la pression maximum (*).

262. Relations entre les pressions et les forces accélératrices non réciproques ou émanant du dehors et agissant sur tous les points [telles que la pesanteur^ etc.) . — Pour obtenir ces relations, posons les équations de Téquilibre de translation d'un très-petit élément du volume du corps, de forme parallélipipède rectangle. Soient : X, Y, Z les composantes, parallèlement aux axes des .r,y, «, de ces forces extérieures ou non réciproques, dont la matière du corps éprouve Taction, par unité de sa masse^ au poî nt M dont les coordonnées sont x, y, 2, et qui peuvent varier avex; ces cdbrdonnées; p la densité du corps au même point M (Jig- 58) ; X, y, z les petites dimensions, parallèles aux mêmes coordonnées, de Télément solide parallélipipède, dont le point M occupe le centre^

Pxx, Pj',, Pz., p,^=p,y, P^T=Pxt^ Pxr = Prx, COmmC

ci-dessus, les six composantes de pression, parallèlement aux coordonnées, sur Tunité superficielle de trois faces planes qui leur sont perpendiculaires, et dont le centre de gravité ou de superficie est au même point M.

Les deux faces xy de cet élément, perpendiculaires aux 5, éprouvent des pressions contraires qui sont l'une

( *) Si Ton demande quelles sont la plus grande et la plus petite eompo-

P — P siilue tangetuiellc, la réponse est fournie par l'expression /i^. j= =--

de la fln du n^ 260; car elle prouve qu'elles ont Heu dans des directions et sur des faces bissectrices de Tangle droit de la pression principale maximum et de la pression principale minimum. La plus petite de ces composantes tangcnlielles est égale et désigne contraire à la plus grande, vi est dirigée dans le prolongement de celle-ci. Sur toute face, il y a une direction suivant laquelle la pression tangentielle est nulle.

THÉORIE GÉNÉRALE DE l'ÉLASTICÏTÉ. 687

un peu au-dessus, l^autre un peu au-dessous, de celle qui serait supportée par une face parallèle passant en M, pression dont les composantes suivant jr, y, z sont p^j,^ p%r'i P%% pat* uni lé de superGcie. La différence, pour ce qui regarde la composante suivant^o:, sera le coefficient

différentiel -^ multiplié par la distance z de ces faces,

et aussi par leur superficie xy. La résultante de ces deux premières composantes de pression, qui sont prises suivant X, est

dp

z.xv.

dz

Les deux faces aussi opposées Tune à l'autre yz, et les deux faces également opposées zx fourniraient de même, et aussi suivant les x, les deux différences ou résultantes

partielles -^x.yz et -^y.zx. On adonc, pourPéqui-

libre de translation de l'élément dont on s^occupe, en ajoutant la force accélératrice X multipliée par la masse pxyz de cet élément, une équation dont on peut diviser tous les termes par son volume xyz, et qui est la première des trois équations suivantes, dues à Caucliy; les deux autres s'obtiennent de même en exprimant les conditions de réquilîbre de translation dans le sens y et dans le sens z :

dp„ , dpr, , -ip'^^^^^^^

dx dy dz

^^ ^ dx dy dz ^

dx dy dz '

Ces équations sont une géncralisaiion de celles Je riiydrostatique. On n'a pas besoin de faire remarquer

qu'en les établissant on ne pouvait pas négliger les forces telles que pXxyz comme très-petites du troisième ordre, ainsi qu'on a fait au n^256en démontrant, par l'équilibre d'un élément tétraèdre, le théorème desprojections deplans de pression; car ici les pressions, qui sont toujours du second ordre comme les superficies des faces de l'élément, n'entrent que pour les différences de grandeur qu'elles ont sur deux faces parallèles, égales et très-proches l'une de l'autre, en sorte que tout était du troisième ordre dans les équations avant leur division par le volume xyz de l'élément dont elles expriment l'équilibre [*)•

( * ) M. Gauchy place le point M (x, r, «) à Tun des angles de l'élément xy z {Exercices, deuxième année, p. log) ; et, pour tenir compte de la variation de l'intensité des composantes p aux divers points des petites faces, il appelle, en prenant M pour origine, x et y les coordonnées de ces points sur les faces opposées xy par exemple, et il exprime ainsi les sommes totales des composantes p^^^ de pression qui s*y exercent dans le sens X :

Sur la première face

et, sur la deuxième face, ce que devient cette expression en remplaçant Pzjt par — ( Pzjr-\- —f^ z -+-... ). D'où, sur les deux faces ensemble,

une résultante —7^ xyz en ne négligeant que des quantités très-petites

dz

du quatrième ordre.

Mais on trouve facilement que cette résultante est exacte, à «sela près

de quantités du cinquième ordre, en plaçant le point M au centre du pa-

rallélipipède, ou à des distances , -4- --,. . . des diverses faces. Aussi,

en faisant un pareil choix de la situation du point où les pressions sont

^acx* ^ry*' ' '9 ^^^^ avons pu tout à l'heure (comme aux Mémoires cités sur la torsion et sur la flexion, et au 3* Appendice des Notes sur Navier) nous dispenser de donner ce calcul d'intégrales.

THÉORIE GÉKAmALE DE l'ÉLÂSTICITA. 6!ig

En tenant compte des inerties, ou en remplaçant dans ces équations

pX.pY,pZ par p(x-^), p(Y-|f). f>(z-^).

OÙ t représente le temps, et u, i^, tv (comme ci-après) les projections sur les Xj lesj^, les r, du déplacement éprouvé par le point M, on rend ces équations d'équilibre applicables aux cas où les molécules se meuvent.

263. Équations d^équilibre et de mouvement, indefinies et définies, — Les premières sont les trois équations (9) que nous venons de poser, en appelant, comme à l'ordinaire, indéfinies celles qui sont applicables indistinctement à tous les points d^un corps ou d'un système. Quant aux équations dites définies à satisfaire aux limites du corps ou de la portion finie de corps que Ton considère, c'est-à-dire sur sa surface-enveloppe, soient :

X3 les pressions, censées données, en des points [x^ /, z) de cette surface, par unité de sa superficie \

n les directions de la normale i cette même surface, menées aux mêmes points du côté extérieur;

ces équations ne seront autre chose que les équations (a) qui exprimeront, en y mettant vs pour p^ l'équilibre des pressions extérieures zs avec les pressions inté^ rieures agissant sur la face opposée et parallèle d'une couche extrêmement mince enveloppant le corps de toutes parts :

{/?„C0s(n, x)-f-/3y,C0S(n, j)-f-/?„C0S(n, «)rrrciC0S(6y,ar),

(10) </?irrCOs(n, x)H-/i^cos(n, j)H-/?,^cos(n, 2)=cjco8(o,^), (/?«cos(n, «)H-fy»cos(D, j) -+■/?« cos(n, s) =© cos (o, z) .

264. Déformations. Leur réduction à des dilatations et à des glissements. Leurs relations pour divers sens. —

Éludions maintenanlles petites déformations qu un corps solide éprouve sous Taction des diverses forces qui le sollicitent.

Soient, avant toute déformation, ou avant les déplacements relatifs des particules de ce corps, trois petites lignes rectanjgul aires

Mj^y oAj^f fnZy

menées dans son intérieur par un même point M parallèlement aux coordonnées x, y^ z, cl soient

les trois petites lignes très-peu obliques Tune sur l'autre dans lesquelles elles se sont changées. Appelons

les dilatations que ces lignes ont éprouvées respectivement, ou les proportions supposées très-pelites de leui:s allongements positifs ou négatifs, et faisons

{*) Nous faisons ici usage de cette notation, employée dans des Mémoires ou ouvrages que Cauchy a approuvés ( Leçons Itthographiée^ faites en 1837-1 838 à l'École des Ponts et Chaussées; Mémoire lu le 3o octobre i8/|3; Mémoire sur la torsion, etc.), et qu'il a finalement adoptée lui-même à très-peu près {Comptes rendus, 20 février i854, t. XXXVIil, p. 339).

En 1839, l'illustre physicien anglais G. Green [On thf. lawt of réflexion and refraction of light {Camhridge's Transactions, vol. V, part. I, p. 5]] a cru devoir aussi appliquer des dénominations particulières, à cause du rôle important qu'elles jouent, à ces six petites quantités ou proportions dont changent les trois côtés et les trois angles d'un élément p;.rallélipipèdc; et M. KirchhofT les appelle

Elles figurent dans les Mémoires de Navier, Poisson, Cauchy, Lamé et Clapcyron sous les désignations (36) ci-après, mais qui ne sont applicables que lorsque les déplacements absolus </, i', u- des points sont tii'spetits, ce qui n*est pas encore supposé ici.

THÉOBIB CÉHÉBALB DE l'ÉLASTICITÉ. 64 1

OU appelons gf^s, g»x^gxj^^^ ^rois glissements, c'est-à-dire les quantités, aussi très-petites, dont ont cheminé ou glissé les unes devant les autres, pour Tunité de leur distance mutuelle, des parallèles soit aux y, soit aux z dans le plan yMz devenantj^|M|Zi, et des lignes placées de même dans les deux autres plans ; glissements que mesurent aussi les petites inclinaisons prises les unes sur les autres par les trois lignes Mx, My, Mz primitivement rectangulaires, ou les rétrécissements, évalués en arcs d'un rayon r= i , qui ont été éprouvés par leurs trois angles droits supposés devenus légèrement aigus quand on prend positivement les quantités g.

Ces trois dilatations <) et ces trois glissements g^ sensiblement les mêmes dans toute une petite portion du corps autour du point M, donnent complètement sa déformation. Déterminons, en les supposant connus, la dilatation

éprouvée, dans cette partie du corps, par toute petite ligne, de direction donnée quelconque

et l'inclinaison qu'elle a prise sur une autre petite ligne de direction aussi quelconque

Ces lignes r, s avaient primitivement pour projections sur les X, lesy, les z (en désignant les cosinus comme au u« 259),

rCi^x» S^T* ^^f* ®* ^^*xy ^^iff ^^ttf

OU, en les supposant tirées du même point M, elles étaient diagonales de deux parallélipipèdes rectangles ayant respectivement ces produits pour côtés portés sur M jr, M^^ L 4i

Mz. En appelant

leurs dilatations, les déplacements les ont changées en

qui sont maintenant diagonales des deux parallélipipèdes légèrement obliquangles ayant respectivement pour côtés

et

JC,x(l-f-^,), 5C,j.(l-h^^), JC«(H-Î),).

Or, lorsqu^on a en général deux lignes dont chacune est fY?5u&â/i2e géométrique de plusieurs autres lignes (ou deux chemins directs dont chacun unit ensemble les deux mêmes points que deux chemins polygonaux donnés), on sait que le produit d*une de ces deux résultantes par la projection de la seconde sur sa direction est égale à la somme de tous les produits des composantes de Tune par les projections, sur leurs directions, des diverses composanlesde l'autre \ théorème sou vent appliqué en Mécanique et qui ne diflere point de celui de l'égalité du travail d'une force résultante, pour un espace parcouru résultant de plusieurs autres, à la somme des travaux des forces composantes pour les divers espaces parcourus composants.

En sorte que si R est résultante de x, y, z, • . . , et R'de x', y', z',..., on a

(RR'cos(R,R'J=xx'cos(x,x') -h yy' cos (y, y' )

I H-xy'cos(x,y')-+-yx'cos(y,x') +...(*),

(^) Cela est facile à démontrer géométriquement; car puisque R' est un chemin direct unissant les deux mêmes points que le chemin polygonal x' -I- y ' 4- e' + . • . y la projection de R' sur R est égale à la somme de celles