THÉORIE GÉMÉRÀLE DE L^ ÉLASTICITÉ

formule dont celle plus connue du carré de la diagonale d'un parallélipipède se déduit comme cas particulier en faisant

R = R', cos(R, R') = i, x=x', y = y', z = z'.

Appliquons ce théorème général à nos deux diagonales qui sont des résultantes ayant les trois côtés de leurs parallélipipèdes pour composantes, nous avons, en considérant que ^^., g^j,^ g^y sont les cosinus des trois angles formés par celles-ci, divisant tout par /5,et appelant Ti, 5, les directions nouvelles prises par r, 5 :

(1 H-Dr)(l-hî)4)C0S(r,,f. )

= (l -*- t^«)'C^.C„ -f- (l-f- ^^Yf^rjCsy 4- (iH- ^»Y Cr,C„

(12) { ■4-(c^c„-+-c„Cy)(H-Dy)(i -+-D,)gy,

-f-(c.,C,x4- CrxC„)(l -*-^â)(ï 4-2»,)gr*r H- (Cr,C,^ -h C^C„) ( I -h 2)x) ( I -+- ^x)gxr'

Or les quantités ^ et ^ étant supposées très-petites, on peut, en développant, effacer leurs carrés et leurs produitSy ou écrire

(i H-t)r4-^i)cos(r,, j.) — cos(r,5)

= 2D,Cr,C^, H- ^^yC„Ç,y H- 2D,CmC,-

Si Ton fait successivement deux particularisations :

de x', y', z',. . .; d'où R' co8(R, R' ) = x' co8(R, \')-^y' cos(R, y') -h. . . . MaU, de mèmei la projection de R Kur z' par exemple est égale h la somme des projections de x, y, z, . . . sur x', d'où

Rco8(R, x') = xcos(x, x')-Hy cos(y, x')-+-

Substituant dans la première équation mulipliée par R, et faisant des subâtitutioos semblables pour Rcos^R, y'), Rco3(R, z'j,..., on a bien la formule posée (11).

1^ r et 5 de même direction, ce qui change le premier membre en 2^^;

2^' r et 5 perpendiculaires Tune i Tautre, ce qui le change en (i H- ^r -f- ^,) gn = gr* très-petit;

On a, eu égard à ce que

o =: Crx c,, -4- Cr^ Cjy -f- r„ r„ , les deux formules générales suivantes :

( "T~ §^tJt CfiCff -\- gxjr ^rx Crj y

Igr, = 2^«Cr,C,, + 2^^CryC,^ -|- 2<)f C^C,, -f g>« (Cr^ï*/. -f- r„c,,) -4- g'„(c„c„ 4- c^,c„)

dont la première donne la proportion de la dilatation (positive ou négative) éprouvée par une petite ligne de direction quelconque r, ei, la seconde, le petit rétrécissement éprouvé par Tangle primitivement droit de deux lignes du reste quelconques r, 5, ou le glissement l'une déviant Vautre^ dans leur plan^ de deux droites parais lèles^ soit à la première^ soit à la seconde^ en le rapportant à r unité de leur petite distance (*).

(*) Elles auraient pu être démontrées éffalement en considérant (ce qui se rapproche un peu plus de la ir arche suifie par Gauchy dans Tai^ ticle Df la condensation ei de la dilatation des eorps^ de la deuxième année des Exercices) deux parallélipipèdes primitivement obliquangles dont les côtés, faisant entre eux des angles dont les cosinus sont — f , — g,^, -^g ^

deviennent recUngulaires et égaux à rc^^, rr , rc^^, et à se^^, *c , *r^^;

car si r,, «« sont les directions primitives des diagonales, le théorème exprimé par {il) donne une formule telle que

ços(r^.) __^A£ . . ^r*^«-^^»V

qui a les mêmes conséquences que (i3}.