THÉORIE GÉNÉRALE DE L^ÉLASTICITÉ

Ces formules (i 4) et (i 5), en mettant pour r et 5 suc-

cessivement

supposés être les directions des coordonnées nouvelles, rectangulaires comme les anciennes^ donnent les suivantes, qui servent a déterminer les dilatations et glissements, suivant les directions nouvelles :

-h gzx Cssf Cgjf -h gxf Cjtx' Cyjf ,

V == ^xclr -f ^x c/r' -4- <>«< V' -i- gr*^//^s/

•+- gu C,/ C^ -f- gxx^x/ Cjf ,

?^ = D,ci,. 4- t>;-C|V -I- <)i C.V -4- gfi «/s'C,;/

~T~ gss^xz'^xtf "H gxy^xt^^j^y g/g' = 2Î),C^C^,' 4- aD^C^Cjr,' •+■ 2^«C,yCa3'

( l6) . -I- gr^, (c>/c,^ -h 0^,/C,/) -h ^«(C,/C«' -f- C«/Cç^O

-+- gxr (^s/c^if -4- c«'C^/) ,

■4- gr» (cjj'C^ -h c^,/c,./) -f- g'^ (c„' Cx,/ -h c„'C«0

-h g'zr (Cxi'C^x/ -f- C„/C,.«/) , gx'y= 2Î)xC„/C,y -f- 2Î)^C^^/C^/ -I- 2D,C^C,y

-+" gr^f*"/*' V + Vc«') + g«(c„/c^ -f-c,^^c„0

-f-^x^(c,,/C^/-hCx^'Cy,/) (•). ^

(*) Ces formules de transformation fort utiles ne sont pas dans les Exercices. Elles ont été données en i83i par M. Lamé {^Lrqont sur Vélasticiié), mais pour le seul cas de déplacements iris^peiiis, en diflerentiant les ej&pressions nouToUes de ceux-ci, obtenues par la transformation des coordonnées. D'après notre manière de les établ^ir, elles conviennent encore lorsque les déplacements absolus ont des valeurs quelconques, et que même les déplacements relatifs de points à des distances sensibles atteignent, dans un corps, toutes sortes de grandeurs, pourvu que dans chaque portion imperceptible, les chan£remonts des distances moléculaires, et, par conséquent, les dilatations elles glissements, restent très-petits, co qui est en général la condition pour que la contcxture d'un corps élastique ne s^altère pas, et quUl puisse revenir de lui-même à sa forme primitive après avoir été déformé.

646 8T4TIQUB.

On tire de ces formules, entre antres cons^uences, «)*/ -f- D/ -4- «),' = D, -f- <V H- «)*»

ce qu on pouvait préYoir à prion\ car la somme des petites dilatations linéaires dans trois sens rectangulaires quelconques est égale à la dilatation cubique ou proportion de Faugmentation de volume.

Et que si (comme à la fin du n^ S60), on suppose que Taxe des z' se confond avec Taxe des z^ en sorte que

CM/=r I, CT^rO, C^^=0, C^=0, C,^=0,

c«' = c^, 0^^= — c^= sm(jr,x'), on a

Igi^y = (^/ — î>x)sin 2(x, jc' ) -+- ^^^cos a («, x'), ou ^,y = i)^ — ^g si Tangle (x, jr') est demi-droit,

c'est-à-dire que tout gUssement^ suii^ant deux droites rectangulaires j est égal à la différence des dilatations suivant leurs bissectrices.

265. Dilatations principales. Ellipsoïde des dilata^ tions. — Reprenons la formule (14)9

^r == ^xCIj: -h^jClj-h ^t CÎ, -r- g^t Qry Cft "h gzx ^r%Crx + gsr^rxC,y.

Si l'on porte sur toutes les droites dont nous appelons r les directions, tirées en tous sens d'un même point M (x, J^z)', des longueurs

/ t N ( ^st positif )

( dilatation oa contraction'

et si l'on appelle

les coordonnées x^y^ z Jes extrémités de ces longueurs,

THÉORIE GÉnÉRÀLE DE L'ÉLÀSTICfTÉ. 647

l'origine étant transportée en M, on a

cos(/-,jr) = Cr,= — = X V'^^M

^rx = 7 V±^' » Cm = Z v/±: Dr»

d'où 9 substituant y

(21) î),x'4-î),y' + D,z'-f-g>iyz -^^^zx-f-g'^xy =±1.

£e5 extrémités des ces lignes forment donc par leur ensemble (comme au n? S6i ) : i^ un ellipsoïde s^il jr o, en tous sens, ou dilatation ou condensation autour du point M 5 a® deux hjperboloïdes conjugués s* il y a dilatation dans certaines directions et condensation dans d^ autres (et alors il n'y a ni condensation ni dilatation dans les directions des droites qui forment par leur ensemble le cône asymptotique commun , que M. Lamé appelle le cône de glissement) ,

Les diverses dilatations se distribuent symétriquement autour des trois axes de figure de cette surface du second degré simple ou double. Et si on la rapporte à trois nouveaux axes coordonnés des x', y', z! se confondant avec ceux-ci, comme les termes en y'z', z'x', x'y' manqueront dans son équation, on aura

gy^ = 0, ^,v = 0, g'^y— o.

Donc :

Théorème. — En tout point iCun corps qui a subi des déformations, on peut toujours tirer trois divites rectangulaires dans les directions desquelles il ny a pas de glissements lorsquon les considère deux à deux, ou dont les trois angles étaient droits et sont restés droits lors du changement de forme du corps.

On appelle dilatations (ou condensations) principales celles qui ont lieu, suivant leurs directions. Ce sont les deux dilatations offrant un maximum et un minimum absolu, et la dilatation qui offre un maximum parmi celles dont les directions forment ensemble un certain plan et un minimum parmi celles dont les directions forment un autre plan perpendiculaire au premier [*),

(*) On les obtient toutes trois comme on a obtenu les pressions principales; car on désignant par r la direction d*une dilatation principale ou d'un des trois rayons Tecteurs normaux à la surface (ai), en sorte que sa grandeur sera appelée D,.t ®t, en opérant comme on a fait à la note du

vfi 261, on trouve la triple égalité

rx rj

d*où les trois équations

•i(c»r — \) «rx = «xr V "^ ^^^'' * 2 ( Dr — D;. ) Crr = ^/«®« -+-ftrr ®«'

donnant, par leur multiplication ensemble ou par Télimination des cosinus, réquation du troisième degré suivante en Dr pour fournir les trois dilatations principales :

4(J>,-î.){3r-îi,)(5,-3.)-«r'.(?r-?,)-«ri(i,-i\)

La recherche de la grandeur et de la direction de la plus grande dilatation peut être utile pour établir les conditions de la résistance d'une pièce solide à la rupture prochaine ou éloignée, quand la conteiture de sa matière est la même en tous sens. On peut voir à notre Mémoire sur ta torsion des prismes {Savants étrangers, t. XIV, art. ^4 et I3i) et à nos Notes sur Navier, Appendices, § 83, par quoi il faut la remplacer quand la conteiture et par suite la résistance varie dans les diverses directions.

THÉORIE GÉHÉRÀLE DE l'ÉLÀSTICITÉ. 649

Une autre surface du second degré non moins intéressante a considérer, et qui sera toujours un ellip" solde ^ est celle dans laquelle les déformations du corps changent un élément sphcrigue ayant son centre au point Mlxyj^y z).

Soit 1 la longueur primitive des rayons de cet élément^ et soient, après sa déformation, x, y, z les projections, sur les axes coordonués des Jc^jr^ z, de celui de ces rayons dont la direction est appelée r, et dont i+d^ désigne ainsi la longueur actuelle. Le rayon primitif = i était la diagonale du parallélipipède obliquangle dont les côtés, devenus rectangulaires et égaux a x, y, z dans le sens des coordonnées, avaient auparavant des longueurs

et dont les trois angles adjacents, qui sont devenus droits en se rétrécissant de g^., g^^ gj^^^ avaient pour cosinus

On a donc, d'après la formule générale de projection (il) particularisée pourR=R' = i, cos(R,R')=i,

X = x' = r- > y = y ^ . . . (ou bien, d'après l'expression connue du carré de la diagonale d'un parallélipipède),

(H-c\)» (i-^^jY (14-^),)= ^"^ ^ ~(H-î)/)('t4-î),)^*""(i + c\)(i4-c\)^*

(H-c\)(l-hc\)

La sphère se change donc en un ellipsoïde (^), dont les axes de figure auront nécessairement les mêmes directions que les axes de la surface du second degré ( 21 ) , car ces trois directions seront encore celles des maxima et minima absolus et relatifs des dilatations, et, si on les prend pour celles des coordonnées, comme les trois derniers termes manqueront dans le premier membre de (a i), ce seront encore les directions pour lesquelles il n'y a pas de glissements, ou dont les trois angles droits restent droits pendant que le corps se déforme. '

Au reste, l'équation (2a) de la deuxième surface du second degré, qu'on peut encore écrire ainsi en négligeant les quantités du second ordre

— igj^j^ — ag'^zx — 2gy,xy z=

aurait pu être déduite, comme on a fait pour celle (21) de la première surface, de Téquation (14)

relative à la dilatation dans le sens r\ car cette équation

(*) M. Cauchy, à la page 63 de la deuxième aanée des Exercices^ et à la page sSg de la troiftième année, obtient pour cet ellipsoïde une équation qui rentre dans celle que venons de poser. Il y arrive par la considération des déplacements absolus u, v^ w de grandeur quelconque changeant en Xf jr, z les coordonnées primitives x — u, j — f, z — w des points. Mais, telle qu^il la présente, elle ne se simplifie que lorsque les déplacements obtenus deviennent très-petits, tandis que Téquation ^3!i) convient pour des déplacements quelconques pouvant comprendre des translations et des rotations de toute grandeur et variables d'une partie à Vautre du corps, pourvu qu'elles ne produisent dans chaque partie imperceptible que des changements de grandeurs et d'inclinaiflons mutuelles dont les proportions "^ eXg soient très-petites.

THÉORIE OéaÉlÂLB DE l' ÉLASTICITÉ. 65 1

est la même chose que

c!x-^c^ 4- r*. — 2?,c;x — aD^c;^ — 2D5 cU

~" 25>aCr^Cr, — 2f,xC,aCr, — ^gt^Crz^rj = I ^^ry

el, en y faisant c^, = --^ , c^^ = -^ , c^. = — ^

et chassant les dénominateurs, on a bien, dans le second membre, (i — aî)^) (i 4- aD^) = i .

65 2 STàTIQXTB.