VINGT-DEUXIÈME LEÇON

Formules donnant les pressions dans les solides élastiques en fonction des dilatations et glissements qu^ont éprouTés leurs parties. — Déplacements très-petits. — Équations différentielles de l'équilibre d'élasticité. — Nombre des coefficients. — Con textures symétriques. — Cas où il y avait des pressions antérieurement aux déplacements. — Travail et potentiel des actions moléculaires.

266. Lemme. — Lorsqu^un corps élastique a subi de très'petites déformations à partir de son état dit naturel, les six composantes (pxx^ Pjj» • • • 'iPxj)* suii^anf trois droites rectangulaires^ des pressions que supportent trois petites faces menées par un de ses points perpendiculai^ rement à ces droites^ sont des fonctions linéaires des trois dilatations et des trois glissements (D^j, î)^, • • -^ S'xy)^ suivant les mêmes directions.

Nous appelons^ en eflet, état naturel d*un corps celui où les espacements moléculaires dont les actions dépendent (n^ 253) sont supposés tels, dans les divers sens, quil ny ait aucune pression à F intérieur^ é'est-à-dire (même 'n*' 253, définition) que d'un côté à l'autre de chaque petite face les attractions et les répulsions aient une résul^ tante nulle ^ ce qui exige, d'après les équations d'équilibre (lo) et (9), qu'aucune pression extérieure n'agisse sur sa surface enveloppe, et qu'on abstraie la pesanteur ou toute autre force émanant de points à des distances sensibles des petites faces considérées.

Si, par une application de forces ou de pressions extérieures, on vient à déformer très-peu le corps, ou a changer légèrement les distances r entre ses molécules, les résultantes ou pressions intérieures ne seront plus

THÉORIE GÉNÉK4LB DE L^ÉLàSTICITÉ. 653

nulles; et comme autour de chaque point (x, y, s) y les augmentations positives ou négatives rd^ (n^2(>4, expr. 14) des distances r dépendent des trois dilatations d,, D^.,d, et des trois glissements g^^., g,^j,^ gj,j au même point, les résultantes d'actions, ou (n°253) les pressions déueloppées par les déformations, sont nécessairement fonctiofis de ces six mêmes petites quantités D,, î)^, . . •^gxj*

Et elles en sont fonctions linéaires ou du premier degré; car, comme les actions réciproques entre molécules sont fonctions continues de leurs distances mutuelles r, celles que développent de très-petites augmeniations r^^ des distances leur sont proportionnelles ; et les changements très-petits des inclinaisons mutuelles de ces actions a composer ensemble pour avoir les pressions sont proportionnelles aussi à des augmentations r^^ de distances. Or ces petites augmentations positives ou négatives (14)

sont sommes de produits des premières puissances des dilatations et glissements d,^ par des quantités rc'^, ..., fCrx^rx m^^ ^^ dépendent que de Tétat antérieur aux déformations; et Ton pouvait même s'en rendre compte sans invoquer la formule (i4)en considérant que plusieurs dilatations et glissements très-petits dans des sens déterminés x^y^z produisent de petits cheminements mole- . culaires proportionnels qui s'additionnent lorsqu'on les projette sur chaque distance r de deux molécules quelconques.

Les composantes pjgjejpj^^...^p,j des pressions sont donc fonctions du premier degré des mêmes six quantités très-petites <^ et g ('*' ), ce qui est le lemme énoncé.

( * ) Au n^ 277, ci^après, ee'raiaonnement se trouvera couTerti eu calcul.

S67. Remarque essentielle sur V établissement du lemme précédent. — Plusieurs auteurs, même éminents, ont cru pouvoir dériver la linéarité de ces six fonctions de la seule considération de Vextréme petitesse de leurs six 'variables 'b,^ ^ ^, . . . , ^,^ ou des déplacements moléculaires relatifs dont ces variables dépendent, en ai^uant de ce qu'on peut, vu cette petitesse, négliger leurs carias et leurs produits y etc.^ dei^ant leurs puissances i dans les développements des fonctions. Par là ils ont cru pouvoir éluder Tinvocation de la grande loi physique des actions à distance et ses conséquences nécessaires en ce qui regarde, comme nous verrons plus loin, le nombre des coefficients des formules.

Mais un raisonnement purement mathématique ne saurait rien apprendre dans l'ordre des faits physiques; et celui que nous signalons pèche évidemment par sa base; car toute fonction de quantités très-petites ou indéfiniment décroissantes n^est pas nécessairement du premier degré. Il faudrait, pour établir mathématiquement que les fonctions p^,,, . . . , p^j se réduisent à ce degré quand ^^i • • 'ygxj décroissent ainsi indéfiniment, prouver d'abord que dans les développements en ^Jr , . . . , g^^^ la puissance i existe, et qu'elle est la plus basse de toutes celles dont leurs termes sont affectés. Or, c^est ce qui ne peut être démontré qu'en s^appuyant empiriquement sur im nombre suffisant de faits, ou en se basant sur la grande loi en question ; loi qui a été déduite elle-même de tous les faits du monde matériel, et admise par tous les physiciens depuis Newton jusqu'à Laplaçe, et depuis Ampère etFresncl jusqu'à Navier et Cauchy, comme la conception explicative de phénomènes la plus justifiée et la plus universelle, et qui est posée môme maintenant, dès renseignement élémentaire, comme base principale de la Mé-

THÉORIE GéHÉHÀLE DE l'ÉLÀSTICITÉ. 655

canîque envisagée désormais au point de vue concret et physique. La linéarité d'une fonction d^une petite variable est en effet hors de contestation, dès que cette fonction nest qu'une différence de deux valeurs dune autre fonction^ et sa variable la différence correspondante des valeurs de la variable de celles-ci, supposée continue. Or^ c'est précisément dans le cas présent ce qui résulte de la loi que nous invoquons; car elle apprend que les forces développées, génératrices des pressions, sont des difrérencesy*(r,) — /(fo) d'une fonction y (r), et que les rapprochements ou écartements moléculaires, qui engendrent les dilatations et glissements, sont les différences correspondantes Tj — /'o des valeurs de r, d'où la proportionnalité ou la linéarité, lorsque les l'i — ro= ''^r sont très-peliis (*).

C'est ce qu'a dû sous-entendre Poisson en faisant le premier, dans un court passage de son Mémoire de 1829 (**)', le raisonnement dont nous parlons, et qui, chez lui, se trouvait comme justiGé d'avance par tout ce qui précède dans le même Mémoire, où les divers calculs sont fondés sur la loi des actions fonctions des distances moléculaires. Et n'est-ce pas, d'ailleurs, invoquer déjà tacitement cette loi que de regarder les pressions dans les corps élastiques comme dépendant d'une manière quelconque de leurs déformations, c'est-à-dire des déplacements relatifs de leurs points, ou des coefficients difîéren-

liels — , — . . .5 -7- de leurs déplacements absolus u, i^, iv

dx df' dz ^

(voyez ci-aprcs), suivant les x, j^, z?

Nous allons donc d'abord, pour montrer que tout, dans

(*) Ceci se trouve développé k l'Appendice v de la nouvelle édition des Leçons de Navier.

(•«) Journal dt l'École Polytechnique, XX* Cahier, art. 38, p. 82.

la ihcorie de rélasticitë, ne dépend pas des points encore controversés parmi les savants, démontrer les diverses formules de pression basées sur la seule linéarité et généralement admises, nous réservant ullérieurement (n^*277 à 283) d'apporter dans leur forme ou dans le nombre de leurs coefficients les réductions que tous les Géomètres n'acceptent pas encore ) mais qui sont inévitablement entraînées par la loi des actions fonctions des distances.

268. Établissement des formules des pressions en fonction des dilatations et glissements^ en part4int seu" lement du lemme qui précède.

1^ Solides isotropes. — ^ Commençons, comme a fait Cauchy, par les corps isotropes, nom qu'il a affecté (^) à ceux qui sont semblables à eux-mêmes dans quelque seus qu'on les tourne^ ou dont la matière offre partout et dans toutes les directions la même coutexture et une égale résistance aux déplacements relatifs de ses parties.

Évidemment, pour ces corps, les trois pressions principaleSy autour desquelles les autres se distribuent symétriquement, auront les mêmes directions que les trois dilatations ou condensations principales^ autour desquelles les autres dilatations ou condensations se distribuent de même. Les premières seront (lemme u^ 266) fonctions linéaires des secondes, puisqu'il n'y a pas de glissements (n^ 265) non plus que de composantes tan* gcniielles (u^ 261 ) dans leur directions ) en sorte que si Ton appelle

x\j'\ z* ces trois directions rectangulaires,

(*) M. Caucby a proposé ce nom pour la première fois aux Comptes rendus de 1839 et au tomel'i* (1840) des Exercices d' Analyse et de Phtique mathémaiique, page 162. Plus tard, il a appliqué le même nom d^isotn^e, dans un sens purement analytique, aux fonctions de deux ou de trois coordonnées dont la forme est indépendante de la direction des axes.