THÉORIE GÉKÉRALE BF L*ÉLASTICITÉ

K et K + A deux coefficients numëriques dépendant de la nature de la matière.

Comni« pgtgf doil être symëirique en c»^^ et t),/, et dépendre de ces deux dilatations et de celle d,/, de la m^me manière que les deux autres pressions dépendent des deux dilatations qui leur sont perpendiculaires et de celle qui a lieu dans leur sens, on peut poser :

p^^ = (^ -f- K)^:^ -h K^/ -4- Kî)./,

yyy =r Ki)^ + (X -f- K)iV "4- KtV, /?y,/ = o , />,v = o , f/^y =0 (*).

Pour en tirer les expressions des six composantes des pressions non principales s^exerçant sur d^autres plans quelconques rectangulaires pris pour coordonnés, en fonction des dilatations et glissements dans Ic^s directions jc, y^ z de leurs intersections, serrons-nous des formules de transformation (6) et {i6) avec x\j\ z' k la place de Jr, ^, z et réciproquement. En faisant attention

(*) Gauchy avait supposé d^abord, en i8q3 (Société philomatbiqiie, i8a3, Mémoire cité), et encore, par vani^re d'essai comparatif, aux pages 167-176 de la troisième année (i8q8) des Exercices^ chaque pression simplement proportionnelle à la dilatation de même sens; mais à cette hypothèse non justifiable, et qui bientôt ne le satisfît pas, il substi-' tua celle que chaque pression, p^^ par exemple, se compose de deux

parties : l'une ki^x' proportionnelle à la dilatation linéaire de mèmesetis;

l'autre K(<)x'-t-^/'+^«') proportionnelle k la dilatation cuLi^ur,

M. Maxwell y a substitué la supposition que la somme des trois pressions est proportionnelle à la somme des trois dilatations, et que leurs différences deux à deux sont proportionnelles aux différences des dilatations ayant mêmes sens re8i)ectifs {Transactions of Edinhurgh^ t. XX, i853). Mais la rema rque, que nous ayons empruntée à M. Kirchhoff ( Vrher das Cleiehgewieht,.,, ciner Schcibe, Journal deCrelle, t. XL, i85o, p. Sg), de la nécessité de la symétrie de chaque pression en fonction des deux dilatations qui lui àont transversales, nous a paru bien préférable à ces hypothèses arbitraires, une fois admis que les pressions ne peuvent être que fonctions linéaires des dilatations.

que

nous aurons les expressions

t^x -f- Dj. -h (), = D^/ -h Dj/ H- D,/.

D^où, immédiatement, la première et la quatrième des formules suivantes, dont les quatre autres s^obtiennent de même

/?,,= (* H- K);>, -h Kc\ 4- KD,,

p^=: KD, + (it -h K)D^ + K\,

(25) { ;î„ = Kc\-l-KDj.-4-(^ + K)t\,

en sorte que chaque composante tangentielle est proportionnelle au glissement correspondant (^),

(*) Comme Cauchy ne donne pas les formules de transformation (16] pour les dilatations et glissements suivant divers axes, il emploie un moyen moins direct pour déduire oes formules (a5) des formules (34) relatives aux directions principales. U est fondé {Exereiees, troisième année, p. 168 et 177) sur les triples égalités ci-dessus

^^^=1:^=1^^= ;»„„ cl=:), des notes des n»» 261 et 264, p, 633,

... . . • • . • ' nu *^ r ' r »

648, qui, comparées entre elles, en remplaçaut/y^^ par Ad^^-hK (dx~'~<^r~^<^ff ) conformément à ( 34 )> et eu égard à la constance de la somme d,^d-.^ d, qui leprésente, pour tous les axes, la dilatation cubique, donnent trois

TBÉORIE GénÉRÀLE DE L^ÉLÀSTICITÉ. 65g

Nous verrons plus loin (n®' 277, 280, 283) qu'une conséquence nécessaire de la loi, inévitablement invoquée, des actions moléculaires, estrégalité du coefficient de D^ dans Pjcx cm coefficient de gj^^ dans p^^r^ d'où

en sorte qu'il faut réduire à un seul les deux coefficients de ces formules. Mais cette réduction se rattache au point encore controversé (n^ 267), et nous ne la ferons pas encore ici.

269. a^ Solides ayant une contexture quelconque ou des élasticités inégales et distribuées comme on veut en divers sens autour de chaque point, — La linéarité^ établie au lerome n^266, des expressions des composantes de pression, donne, en désignant par

divers coefficients numériques, dont les deux premières sous-letires sont celles de la composante de la pression à laquelle ils appartiennent, et, les deux dernières, celles de la dilatation ou du glissement quMls aflectent (en doublant, pour la symétrie, celle des dilatations) les formules suivantes, les plus générales de celles du cas où les

équations telles que

OU

Comme ces trois équations du premier degré doÎTcnt se Térifier pour trois systèmes de Taleurt des cosinus c, tous leurs coefficients doivent être nuls, ce qui donne précisément les formules (i5).

66o STATIQUE.

pressions antérieures aux déformations ^^g sont supposées nulles :

H" Bxxsx^sx "T" 9xxxjr§xjr9

^xsytSx*

Pu = SatM^x -4* a„^î^ -I- a„«D, -h ass/si8>s*

Pjx ^^ ajraxrïJjr H~ ^fijj^j "^ 8/«fj^» ~f~ ^Jtyt^jz

P*x — - 3g«x«<?* "H ^xxyjvj -T" agxMt's "♦" ^txytSf* "T" ^txix^u "i~ ^xxxjrSsjn

270. Première réduction du nombre des coefficients. Raisonnement de G. Green prouvant qu il y a entre eux au moins quinze égalités, — Nous verrons aux n*** déjà cités (277, 280, 283) qu'il faut, comme conséquence de la loi des actions fonctions des distances moléculaires, réduire les rrente-ixo: coefficients a à quinze distincts, ou admettre les vingt et une égalités entre ceux qui ont les mêmes quatre indices ou sous^lettreSj par exemple

^xxjj — — ^/yx»-^- ^sytty'

Mais en attendant, vu les dissentiments qui existent encore sur ce point (n°'267, 269), nous allons donner le raisonnement, qui ne rencontrera assurânent aucune opposition, par lequel George Green ('*'), et après lui MM. Thomson, KirchhofT^ etc., réduisent ces coefti-

(*) On the Laws qf Réflexion^ etc.^ et On Propagation ofLigh in et istalliëed Uedia, vol. VII des Transactions oj Cambridge, part 1 et part 11. p. I et lai.

THÉORIE GÉnÉaALB DE L*éL4STICIT£. 66 1

cientsi vingt et un au plus, en prouvant les quinze ëga* lités deux à deux, telles que

^XXfX 8/f XX > ^XXfl — 3/» XX %

de ceux dans lesquels les sous*lettres forment les deux mêmes groupes binaires^ et qui ne diffèrent que par Tordre dans lequel ces deux groupes sont placés.

Soit un petit clément parallélipipède primitivement rectangle, et ayant ses côtés x, y, z parallèles aux x^jr^^] les pressions agissant sur ses six faces produisent, en changeant légèrement sa forme, un travail mécanique qui doit être fonction des changements de grandeur et d'inclinaison mutuelle des côtés, c'est-à-dire (n° 26i) des dilatations et glissements éprouvés. On peut donc poser, en appelant T ce travail par unité du volume xyz de l'élément,

(27) T = F(c\, cV, \j g>,, g^„, g^x).

Si Ton n'accordait pas cela, observe Grée n, ou si -l'on regardait le travail comme dépendant encore d'autre chose (par exemple, de l'ordre dans lequel les six déformations partielles d, g- ont été imprimées), ce serait admettre qu'en ramenant l'élément d'une autre manière (ou dans un ordre non inverse) à sa forme primitive, il en résulterait un travail non égal et contraire, et qu'on pourrait par conséquent, à l'aide d'un corps compressible et extensible, créer de toutes pièces du travail sans consommation de moteur ou de chaleur; ce qui serait la possibilité du mouvement perpétuel ou la négation du principe des forces vives.

Or, si la dilatation ^^ qu'a déjà subie le côté z par exemple, vient à prendre un accroissement infiniment petit dè^j les deux faces opposées xy s'éloignent de zrft),, et les composantes normales de pression />,., exercées par

66a STATIQIJE.

la matière environnante sur Tuaitë de ces faces, produisent un travail

Si, Tune des deux mêmes faces xy restant immobile, le glissement g,^, vient à augmenter de dg^^ la composante tangentielle de pression p^j^ sur Tunité de l'autre face xy piroduit un travail

xy/7„.z£/^„;

car zdg^ €st ce dont s'accroît le cheminement de cette deuxième face devant Tautre dans un sens parallèle aux X ou à la composante p^jc- £t H est facile de voir que ce travail est le même si les deux faces opposées xy sont supposées se mouvoir à la fois.

En évaluant de même le travail des autres composantes, puis ajoutant et divisant par le volume xyz de l'élément, on obtient, pour Taccroissement infiniment petit total du travail T, dû aux accroissements des trois dilatations et des trois glissements, Texpression

' Pzsdg^-^p^^dg^Ç").

Les six composantes de pression sont donc les dérivées partielles d'une -même fonction (27) F par rapport aux trois dilatations et aux trois glissements, et on a

dF dF dF

^"="d\' ^^^d^/ ^^'-Sy.'

d? dF dF

dgjz dg,^ ^ dg^

Or il en résulte, en différentiant de nouveau, les éga-

(*) On ironvera au u<» 281 une autre deminstration de celte exprèsftion (a8).

THÀOHIB GÉNÉRALB DB L* ÉLASTICITÉ. 663

lités

Le nombre de ces égalités est ^ui'n^e, commecelur des combinaisons deux à deux des six composantes p; on4i donc, eu égard aux expressions (a6) p,, = a,;^ jp«<^x-+- • «* de ces composantes de pression :

OU quinze égalités, qui sont toutes celles des trento-six coeflicients des formules (a6), dont les indices sont composés des deux mêmes groupes binaires de sous-lettres dans deux ordres diiTérents, ce qui en réduit le nombr^â vingt et un distincts ('*').

Si Ton y réunit les six autres égalités suivantes, combattues encore par plusieurs auteurs, et que nous démon- , trerons plus loin, par d^autres considérations, devoir être admises aussi

* ^xx/g ^^^ a^j xjr y ^/jr xx "^^ ^xjr /i » a« x/ — -- ^/i «r >

on a vingl et une égalités, ou la réduction des coefficients à quinze distincts. Mais comme Tadmîssion de ces. six dernières égalités, nécessaire dans les applications, n'est point indispensable pour simplifier des résultats purement analytiques, et pour arriver à diverses conséquences générales, nous nous abtiendrons d'abord de les employer (fin dun°267).

271. Plans do symétrie de contexture, — Le nombre des coefficients se réduit davantage dans des cas* parti-

(*) Cette réduction' est nécesaire pour arrivar à diverses conséquences tirées par Gr«en, M. Stokes, M. KiréfahofT, de la théorie de Télasticité, et aussi pour diver résultats de Gauchy relatifs à la théorie de la lumière.

culiers relaiifs à la contexture du corps, par exemple lorsque celle-ci est symétrique par rapport à un certain plan.

Alors, comme Pont remarqué Green eu 1839 (^)) ^^ Cauchy en i854 [**) par une considération plus directe qu'il n'avait fait en 1828 ( voyez n^ 282 ci-après), M ce plan, mené par le point M (j:^, x> ^)) ®^^ perpendiculaire à la coordonnée x, les formules telles que (2^6), donnant les forces en fonction des petits changements de forme estimés suivant les trois coordonnées, doivent conserver les mêmes coedicients lorsque, les axes des y et d«s z restant immobiles, on change celui des x en sou prolongement de l'autre côté du plan j'z.

Or, alors,

Pstj P/fj pxxy Pfiy ^r» t^r > «^f » ë/t

conservent la même graudeur et le même signe, tandis que

Pixy Pxyt guy Sxf

changent de signe en conservant leur grandeur. Il faut, en conséquence, que les coefficients de ^.^ et gj^y soient nuls dans p^xi Pjj'tpx*^Pr*t ^^ V^^ '^^ coefficients de «),, D^,d, et g^t soient nuls dans p^x> Pxr\ ^^ 4^® '^^ ^^^'' mules ('à6) se réduisent à la forme suivante (32;, où nous avons donné les mêmes désignations aux coefficients qui viennent d'être démontrés égaux; nous avons même représenté par les mêmes lettres avec ou sans accents, ceux qui doivent être faits égaux diaprés le principe [égalités complémentaires (3i)] démontré plus loin (n®* 277, 280, 283), mais que plusieurs Géomètres con-

(*) On Rtr;L'xion and Re/raction of Ught, p. 6 et 7. '( '* ) Sur la torsion des prismes (^Comptes rendus, t. \X.X.VHI, p. Sag) •