THÉORIE GÉNÉRALE DE L* ÉLASTICITÉ
testent, d'une réductibilité plus grande de leur nombre :
p„ = a^, 4- C^r -h e'î), -h hgy,, p^j. = f'D, -h bc\ -h d\\ -\- kg^, , /?„ = e'D, 4- d'^^ -f- cD, -4- l^y,, ^ /y, = h^, -f-k;)^-l-lDs-l-dg>,,
formules qui sont à treize coefficients, mais dont seulement neuf distincts si Ton efface les accents en «doptant le principe de la réductibilité plus grande.
Trois plans de symétrie. — S'il y a au même point M '[Xj j, s) du corps un second plan de symétrie ou plan principal d^ élasticité (^), ce plan étant supposé perpendiculaire aux j^, les équations (32) doivent rester les mêmes en changeant à la fois les signes de /7^,, P^ji ^^a, gjrj» Cela montre qu'il y a alors nécessairement un troisième plan de symétrie ou principal d'élasticité perpendiculaire aux z, et les formules se réduisent à
IA'xx = a D, H- f 'c\ -h e'2>, \ iP/^ = ^g/'>
Pjj = TDx H- bt>^ 4- d'i>, I et | /?,, = e^„, Ptt = c'Dx -h dO^ -f- cD, ) ( /),, = (gjcf
à neuf coefficients, dont six distincts si Ton ne refuse pas d'admettre le principe en vertu duquel les accents peuvent être effacés.
272. j^xe de symétrie ou d'élasticité, — Si lout est égal autour d'une droite menée par M, parallèlement aux X par exemple, ou devra avoir
Non- seulement b ^ c, e = f , e' i= f ', Mais encore b = 2 d -f- d' ;
(*) Caochy, Comptes rendus, io février, t. XXXVIII. p, Sag.
666 STATlQtJE.
car les formules devront, comme Ta encore remarqué Green ('*'), conserver les mêmes coefficients après qa*on aura fait tourner les axes des y et des z d^un angle infiniment petit autour de Taxe des x\ or, soient e ce petit angle, et y^\ ^' 1^^ nouvelles directions de ^ et 2 ; si Ton fait dans les formules de transformation (6) et (16)
Cjrx' = I , Cx^ = O , C,,' = O , C^^z=: O , C^ = I , C^^ = — S , C,,/ = O , Cy = S , C„/ = I ,
on aura 9 en négligeant le carré de e$
p*x = Px* > /y/ = /V7 -^ ^Px»'^ P^'^ = /^« — a /?,., c , P/^^=Pxt -f- (Pm»—P/x)'9 P»'x=Psx—pMr^9 Pxr*=P*r-^Pu* >
et
Pour qu'on ait
avec le même coefficient d que dans />^.= àgy^^ il faut donc que
Pxn -h (/?« — /Vr)« q™^ ®»* = dgr« -»- (b — d') (D, — ^^)f,
soit aussi = d [gy, + a (î), — D^) •]
OU qu'on ait, entre les coefficients, précisément la relation énoncée
b=:2d-hd'.
Et cette relation suffit, comme il est facile de le vériBer au moyen des formules particularisées de transformation
{*) On Reflerton and Re/raetion o/U^t, p. 7.
THÉORIE GÉNÉaALE DE l'ÉLASTICITÉ. 667
qu'on vient de poser, pour que /7yy, p^,^^ p^f^, p,y soient aussi exprimés en <)„ Dy, D,/, g,,„ g^^y de la même manière et avec les mêmes coefficients que/?^^, />»«••• 9 1^ sont en <^x) <^j^r*«) ou pour que M:r, mené de M parallèlement aux x^ soit ce qu^ou appelle un axe d^ élasticité. D'où, pour les formules relatives à cette contexture
/7^ = e'^,-H(2d-f-d')D;.4-d'D, 1 et |/>«— e.g^; ;>„ =:e'^, 4-d'î)^4-(ad4- d')D, ) (/?xr= e.^^
à cinq ou à /roi5 coefficients, selon que Ton conserve ou qu'on efface les accents (numéro précédent).
273. Isotropie. — Si, outre Taxe d'élasticité Mx parallèle aux X, il j a au même point M (x, y y z) un axe d'élasticité My parallèle aux j^, il faut qu'on ait encore, et par les mêmes raisons,
d = e, d'=e', a =b = 2d 4- d' =r ae H-e';
d'où il résulte qu'on a aussi, au même point, un axe d'élasticité Mz parallèle à la troisième coordonnée z.
De plus, comme en changeant les axes M^, Mjz en deux autres Mj\ Mz' sans changer x, les formules des composantes ont les mêmes coefficients^ on voit que Mj<^' est aussi axe d^ élasticité. Il en est, par suite, de même de toutes les droites tracées dans le plan passant par Mx et par My^'j c'est-i-dire que toutes les droites tirées par M sont des axes d'élasticité, ou que le corps est ce que nous avons appelé isotrope (n^ 268).
Alors, en effet, leç formules deviennent, pour tous les systèmes possibles d'axes rectangulaires :
p„={2e -he')'ds+ e'D^4- e'D, J / p^^ = egj,y
(35) \ y7^ = e'^x4- (acH- e')ôjr + e'^, V et }p„z=eguy
/?« = e'D*4-e'D,4-(2e-He')D, ) {/}^=zeg^f
OÙ e' devrait, comme nous avons dit [voyez aussi plus loin n^*S77 a 280), être fait égal à e, et qui sont, du reste, lorsqu^on pose
identiques avec celles (aS) qui ont été obtenues en mettant en oeuvre d'une autre manière (n? 268) le lemme (n° 266), en vertu duquel les composantes de pressioa Pxx9 • • • 1 Pxj^ sont fonctions linéaires des dilatations et glissements D^, , . . , g^^.
274. Corps simplement homogène^ ou partout de même contexture^ égale ou inégale dans les dii^rs sens autour de chaque point, — Il faut entendre par homogène, dans une acception mécanique, un corps dont la matière oppose en tous ses points les mêmes résistances au déplacement relatif de ses parties dans des directions homologues^ tout en n'étant pas nécessaire* ment isotrope^ ou pouvant offrir des résistances d'intensité très-différente dans les diverses directions autour de chaque point.
Si les directions prises comme homologues d'un point à l'autre sont des directions parallèles, on a l'homogénéité parallèles OM la plus ordinaire, comme celle des cristaux, des corps fibreux et allongés, etc. (*).
Pour les corps qui en sont doués, les coefficients âxxxxî» • -9 3jrx/ (ti° 269), ou ceux qui les remplacent dans les cas particuliers ci-dessus, sont les mêmes en tous les points.
(*) Dans ua Mémoire sur les différents genres d'homogénéité (^Comptes rcnduSf 21 mai 1860, t. L, p. gBo, ou Journal de H. Liouville, i8G5), et à la page 56o de la nouvelle édition de Navier, on a considéré aussi : s9 l'iiomogénéité semi-polaire ou cylindrique ^ comme celle d'une tige courbée en cercle ou d'une plaque ployée en tuyau, 3^ rhomogénéité polaire ou sphérique; et on a montré qu'il y en a une infinité d'autres.
THÉOBIB GÉHÉBÀLE DE l'ÉLÀSTICITÉ. 669
275. Expressions des dilatations et glissements au mojen des déplacements des points. Cas de déplace^ ments très^petits, — : Soient
a, Pf ip
les projections sur les x, les j^, les z du déplacement qu'a éprouvé dans l'espace un point quelconque M du corps considéré, en sorte que ses coordonnées rectangles
Xy X, ^ sont devenue» x-hu^ y-hVy »H-w.
Si les coordonnées d'un point très- voisin M^ étaient
x + Ax,^, «, elles sont devenues
fttt dp dw
X -h 1/ -h Ax -f- -7-û jc, r 4- «» H — T^^^^ z-^- w -\- -—^x.
dx dx dx
En sorte que, comme leur distance MM'= Ax est devenue Ax (i -f- «^a )? on voit qu'une longueur
d'une petite ligne primitivement parallèle aux x, menée du point M, a pour projections
du dp dw
