I -1 > -7- » -7— iur les X, les r, les z
dx dx dx
De même une longueur
d'une petite ligue primitivement parallèle aux j^, menée par M, a maintenant pour projections
du dp dw
-7- j 1-+----, --— sur les X. les^, lesz.
dy dy dy
On a donc pour le carré de la longueur de la première, par exemple, de ces deux lignes, et pour le cosinus de leur angle primitivement droit
(36) { du du dQ dp' dtv dw
' dx dy dx dy' dx dy
N rf«'
du»
dp
dz
^^' dz
Quand m, y, tv, et par conséquent î>jp, î^^, gj^j sont trèspetits, on peut en développant négliger leurs carrés et produits. Il en résulte, en écrivant des résultats analogues pour les autres dilatations et glissements :
div
' dvp du du dp ,.,
276. Équations différentielles indéfinies et définies p ouvrant fournir les déplacements des points, — Celles qu'on appelle indéfinies, qui conviennent à tous les points du corps, s'obtiennent en substituant dans les équa-
(**) Les dilatations et glisscmeuts peuvent être très-petits, comme nous avons dit (n^ 264, dernière note), bien que les déplacements u^¥, w aient des grandeurs considérables. Alors les expressions (3(>) de h-f-^,)* et de f qu'on vient de trouver fournissent les suivantes
du dv f (lu du dv dv dwdw \
^T^dr'^di'^ \dxd}'^dxdjr'^dxt^)*
données pour la première fois mi numéro du 10 avril i844 du journal t Institut, puis aux Comptes rendus, 33 février i847i t. XXIV, p. 361.
THÉORIE GÉnÉRÀLE DE L* ÉLASTICITÉ. 67 1
J'équilibre d'un élëment parallélipipède, les formules (a6) , ou (3a) i (35) à la place de p^x? p^rv? Px^» puis les six formules (37) qui expriment D,» • • • ? gx^ en u, i^, w dansle cas où ces déplacements sont très-petits ; cas auquel on peut ordinairement ramener les autres, où des déplacements de toute grandeur sont supposés ne changer que dans une faible proportion les petites distances moléculaires, parce qu'on peut alors, dans chaque petite partie du corps, décomposer les déplacements réels en déplacements tris-petits, et en translations et rotations qui ne changent point les distances et n'engendrent point de pressions.
On obtient ainsi, en se bornant au cas de trois plans de symétrie ou principaux d'élasticité, où les formules de pressions (33) sont applicables,
f h b hd
£/ar» ^ dx' dz^
fPw .d^(v d^tv dx^ djr^ dz^
et, dans le cas d'isotropie, pour lequel d = e = f , d'=e'n=f', a = b = c == ae + c', auquel.se rapportent les formules (35), en y remplaçant e par -h et e'
par K pour les rendre conformes à celles ( a5 ) que Cauchy a obtenues primitivement par d'autres considé-
rations :
k (dhi 2 \dx^
d^tt dp
/ 4-2K d /du dv 2 dx\dx djr
dw\ dz )
+x-Kpx=o,
dp
dz*) d 1 du dv dy \dx dy
dp'^di X 4-2K J fdu dv 2 dz \dx djr
X x-+-:7:: + :7rH-pz =
lïz)
Outre ces équations aux diflférences partielles indéfinies du second ordre en u, f^, ^v, il faut poser et employer les équations défîmes. On les obtient de même en mettant dans les équations (10) pjrjrCOs(n, x) -+- ... = i3cos(u,x), Pxy^os[n^x) + • • -9 les formules ci-dessus des pressions en <)jr) • • • 7 gxy'i et, par suite en w, i^, w, à la place de
277. Établissement des formules des pressions en cat^ calant directement les résultantes des actions moléculaires^ on sans inv^oquerle lemmè du w° 266 (linéariié)^ et en embrassant le cas général où il y avait déjà des pressions antérieurement aux petites déformations ou aux déplacements considérés. TJiéorème fondamental, — Au lieu de partir de la linéarité^ admise par tout le monde et démontrée comme lemmeau n^ 266, des composantes de pression en fonction des six déformations élémentaires d et g lorsqu'elles sont très-petites, lemme basé essentiellement comme on a vu sur la loi des actions entre les points matériels à des dislances très-petites, exprimons
THÉORIB GÉirÉllALB DB l'ÉLÀSTICITÉ. 673
directetnent, comme a fait Cauchy ('*'), les rësal tantes de ces actions, et calculons avec lui ce qu'elles deviennent en intensité et en direction après les petits changements des distances moléculaires. Cette méthode nous permettra de ne point supposer que Fétat primitif soit ce que nous avons appelé un état naturel (n^ 266); de tenir compte, ainsi I de ce que les attractions et répulsions moléculaires antérieures aux déformations considérées pouvaient avoir des résultantes non nulles, ou produire déjt^ des pressions^ et de ce que ces actions influent alors sur les pressions ultérieures autrement que par une simple addition des pressions primitives qu'elles engendraient. Pour apprécier facilement la part plus ou moins grande d'influence des actions qui s'exercent à diverses distances et sous diverses inclinaisons sur le plan de la face ab qu'elles traversent (fg- Sp), nous démontrerons d'abord le théorème suivant :
Théorêmb. — La pression sur une petite face ah, ou (n^ 253) la résultante de toutes les actions moléculaires sensibles qui s'exercent à trai^ers sa superficie », peut être remplacée par la résultante des actions qui seraient exercée^ sur chaque molécule m d'un des côtés de son plan, par une masse concentrée à son centre M [Jig' Sg), égale ^ pour chaque molécule m, à celle d^un cylindre de la matière du côté opposé, ayant tù pourbase^ et unei hauteur égale à la distance de m au plan de co.
En sorte que si p représente la densité du corps (ou celle de la matière de gauche si elle diffère de celle de droite) ]
{*) Daos deux beaux Mémoires, insérés aux Exercices de MathémaiU quet, troisième année (i8a8), p. 188, Sur l'/^uiUhre et le mouPetnent d'un système de poiuts (présenté à l'Académie le i*'' octobre 1837, le même jour où Poisson en présentait un sur le mcme sujet), cl, p. 31 3, De la pression ou tension duns un ^slhne de points matériels.
&j4 STATIQUE.
7* les distances Mm du centre M aux mDlécules m du côté droit de la face;
D la direction de la normale Mn à la face du même c6té;
Et par conséquent jo.câ./cos (r, n) la masse du cylindre de matière du côte gauche répondant, de la manière dite, à la molécule m du côté droit ;
Kuùnfr réprésente l'intensité de laction de deux molécules d*un côté à l'autre de la face pour l'unité de leurs masses, et à la distance r, et aussi dans la direction r (car l'analyse ci-après s'applique tout aussi bien quand )a contextiure varie, de sorte que la fonction f change avec la direction) ;
La pression équivaut à une résultante d'actions
4^ . pô» r cos ( r, D ) •/>•
s'exerçant à toutes les distances r du centre M, et s' étendant à toutes les molécules vn du côié droit.
En effet si, parmi toutes les actidns des molécules /n^ m'j. . . de gauche sur les molécules m'\ m', .... ou m de droite dont les directions. traversent ci>, nous considérons d'abord seulement celles qui ont lieu à des distances égales et parallèles à une certaine ligne rou Mm tirée arbitrairement du côté droit par le centre M, toutes les molécules de gauche qui les exercent sont évidemment contenues dans le cylindre oblique abb'a' élevé à gauche sur ab = (ù comme base et ayant des arêtes égales et parallèles à r^ de même que les molécules qui les éprouvent sont toutes contenues dans un cylindre égal abb^a" élevé à droite en prolongement de l'autre. Leur somme équivaudra donc à l'action qui serait exercée sur une molécule unique m située à l'extrémité m de la ligne r par toute la masse p.cit>rcos(r, n) de ce cylindre oblique de gauche concentré en M.
THÉORIE GÉNÉRALE DE l' ÉLASTICITÉ. 6^5
Il résulte de ce théorème (^) que s'il s'agit d'une prea^ sion intérieure^ ou si la matière est la même des deux côtés de la face, et si nous appelons encore
5 le sens arbitraire suivant lequel on veut prendre la composante <*>p^ de la pression sur &>;
Et (avec Poisson et Cauchj) :
W une somme relative aux distances r du centre M de la face à toutes les molécules environnantes^
En sorte que - W sera la somme relative aux molécules d'un des deux côtés ;
On aura, en divisant par ci), Texpressiou générale suivante de la composante, suivant une direction donnée 5, de la pression sur l'unité d'une petite face dont la normale a une direction n aussi donnée,
(4o) /'a*=p§^'*-A-cos(/-,n)cos;r,*);
formule fondamentale dont Texactitude ne nous a jamais paru douteuse, et qu'il n'y a plus qu'à particulariser pour avoir tontes les autres formules de la mécanique molécu-
(^) Nous l'avons démontré pour la première fois pour celte définition de la pression (n^* 253, 254) k la Société philomathique en mars i844» et aax Comptes rendus, 7 juillet iS^S' (t. X\l, p. 34 )• Canch^ fa démontré de même dans un Mémoire inédit [Comptes rendus, 33 juin et i4 juillet, t. XX, p. 1765, et t. XXI, p. 135). 11 est, au reste, presque évident, et Il a été admis aussi par Poisson (t. VIII des Mémoires de r Institut, p. 375, et Journal de l'École Poljrtechnitiuey XK* eabier, art. 16 on p. 3i), par MM. Lamé et Clapeyron {Savants étrangers, t. IV, p. 485 ou art. 30), par Cauchy {Exercices, troisième année, p. 3 16) pour une autre définition de la pression ; et il n*a été constesté que depuis qu'on a pré- (enda étabHr les formules des pressions par un simple raisonnement mathématique {n9 267), sans se baser sur la loi physique des actions moléculaires à distance.
6j6 STÀTIQLE.
latre appliquée principalement à la théorie de l'élastieité. Nous aurions pu en tirer même les théorèmes I et II des nO' 256 et 257, et les égalités (i), (a), (3), (4)> ( 5) ; mais nous avons préféré les déduire ci-dessus de considérations que personne n*ait jamais contestées, et qui sont dues également à Cauchy. II serait facile de la démontrer [*) pour des systèmes mélangés de molécules de nature différente exerçant des actions mutuelles de diverses intensités, Jlr étant alors une fonction en quelque sorte moyenne composée par règle d^allîage.
278. jipplication au cas de contexture le plus généraL — Nous n'avons à considérer ici que ce fpii se passe dans une portion très-petite du corps, contettant les molécules exerçant des actions d'une intensité sensible d'un côté k Tautre de petites faces se croisant en un même point M; et les déplacements des divers points de celte portion, quelle que soit leur grandeur absolue dans Tespace, sont toujours supposés tels que les distances des uns aux autres n'augmentent ou ne diminuent que dans de très-faibles proportions. Nous pouvons donc supposer cette portion de corps amenée, de prime abord, par des translations et rotations n'altérant en rien les distances mutuelles, dans une situation où ses points soient très-voisins des emplacements qu'ils doivent occuper après les déplacements, ce qui^ne changera rien aux forces développées. De cette manière, nous pourrons supposer, avec Cauchy et les autres auteurs, les déplacements tràs^petiis, sans restreindre la généralité des formules a obtenir pour les pressions sur des plans perpendiculaires aux coordonnées rectangles (**).
(*) Nouvelle édilion des Leçons de Navier, Appendice III, note du J a3, p. 567.
(** ) On trouve au même Appendice III de la nouvelle édition de Navier,
THÉORIE GtntKkhm DB L^tLASTICITÉ. 677
Soîenl doue
Xf yj z les coordonnées rectangles du centre M de la face, avant les déplacements ;
^ '+*''> J^"^ ^9 £ -f- tv ce que sont devenues ces coor« données, ou u, i^, tv les projections sur les jr, les j^, les z de son déplacement, supposé trés^pelit comme nous venons dédire;
X -f • X, ^+ j, z-hz les coordonnées primitives de la molécule -ut très-proche, ou x, j,'z les projections de Mi?i = r sur les x, /, 2 ;
x-Hii-f- x-i-Am, y-i-i^-hy-i-A»', «-hiv-|-z-f-Aw les coordonnées de la même molécule m après les déplacements (*)\
p la densité, ou la masse de Tunité de volume autour de M avant les déplacements;
pi^ r, les valeurs qu'ont prises la densité p et la petite distance Mm = r après les déplacements;
plx^ Pjjn- • •» p!rr 1*^8 grandeurs que pouvaient avoir, avant les déplacements, les six composantes, paraU lèlement auxx,^, ^, des pressions sur Tunité superficielles de trois petites faces se croisant au point M
note do $ 33, p. 667 à 67^, la même analyse, sans réduire ainsi préatablemeot l«s déplacements v, v, w à être trèa-petiU et sans même les faire entrer dans le calcul; et aussi, en prenant les pressions sur dés plans quelconques rectangulaires ou obliques fort peu inclinés sur les plans matériels primitivement perpendiculaires aui '>r>s> au lieu de ne les prendre que sur des plans actuellement perpendiculaires aux mêmes coordonnées.
(*) Ces notations sont à peu près celles que Cauchy a adoptées 6n»lement {Exercices d'an^ljrse et de phfsi^u^ mmthématitfue, t. l^'', i84o, p. i et suiv.). Il appelait précédemment {Exercices de Mathfyaa tiques, troisième année) àx, Aj, A« ou rcosa, rcosS, rcos'/ ce qu'il a nommé, depuis 1840, X, y, 1; et r(i-Hc) ce qu*il a appelé r-f*/»> auquel nous substituons /*, pour éviter la confusion avec la densité api elée p, !Nous mettons, pour les déplacements, «, f , iv, notation qui a préva u (Poiss u, Lamé et Clapeyron, Stokes, KirchbofT, Neumann), au lieu de (,«:,< qnV:nployait Gaucby.
perpendiculairement entre elles et aux mêmes coordonnées \ Pxxt Pjrf''i pxj les composantes pour Tunitë superficielle mesurée après les déplacements, et toujours sur des faces perpendiculaires et dans des sens parallèles actuellement aux SLxes^xes des coordonnées Xy y^ z.
Nous aurons d'abord, d'après la formule fondamentale (40)9 expression du théorème du n^*276, en remplaçant successivement u, s par x^ y^ z^ et vu que
rcos (r, jr) =: X, '•cos{r,j^) = y , rcos(/', z) =z,
les expressions suivantes des composantes de pression antérieures aux déplacements
et ensuite, pour deux des composantes après les déplacements, x, y, z devenant x 4- A m, y-f-Ai^, z-hAw:
(43) />,.= ^'gm(y-hàp)(z + A«.):^.
Or, en projetant Au, Ai', Aiv, excès des déplacements de m sur ceux de M, sur leur ligne de jonction primitive r, et prenant la somme, on a, pour Faccroissemenl que cette ligne a subi, à cela près de grandeurs négli-
TBÊOftIB GÉHéRÀLE DB l' ÉLASTICITÉ. 679
geables,
(44) /•,-— /-i^ - Al* -f- - Ap 4- - A(v. ^
Elt puisque raccroiasement r^ — /', positif ou négatif, est extrèmemeiil petit vis^à-vis de r, on peut prendre, en dé*
veloppant la fonction — de r, = r-+- (r^ — r) , et en se bor-
nant à la puissance première de ri ^^ r,
= h(xA/i -+-yAp + zAfi*) r—'
r ^ ' ^ r (Ir
Substituant dans (4^) et (43), effectuant les multiplications et négligeant les carrés et les produits des accroissements A des déplacements, nous avons
\Px*
= £-'Qwi j — yz 4- — zAp-f-~yA
(xyzA
« -h y'zAi' -h xz'A«') , l-
Or, quelque irrégulière que puisse être la marche des déplacements des molécules 4[uand on passe de Tune à Vautre, les irrégularités individuelles disparaissent lors-
68o STÀTIQUB*
qu'on en considère simultanément un nombre suffisant; et les moyennes u, f', w^ ou les déplacements des centres de gravilé de leurs groupes, peuvent être regardés comme variant assez régulièrement avec x, y^ z, pour qu'on puisse appliquer le théorème de Tajlor au développement des accroissements A qu'ils subissent lorsqu'on passe du point {x^y^z) au point (x-Hx, J+y, zH-z). 11 en résulte
du du du
I (d^u 1 ,1 Xdx"*
Z*-h ZTT J* -^ TT ^^
dy^ ^ dz^ dydz ^
d^ dv dv
^1»=-— x-h-— y-h-— s-h..., dx dy dz
dw d(v dw
dx dy' dz
dont on peut se borner ici à prendre les termes du premier ordre, ce qui donne, par (44)) Texpression suivante :
I Vdu , dv ^ àw ^ (dp d»\ rldx dx' dz \dz djrj'
± du\ {dx dz)
-|-(-4-;;]xx^(^-|-^)xy]
qui est conforme k celle ( i4) de d,.=: —
Enfin, il ne faut pas oublier de mettre pour la densité sa valeur nouvelle. Comme les dimensions d'un élément parallélipipède rectangle, parallèles aux x, auxj^, aux z, se sont dilatées respectivement dans des proportions
(no 274)
du dy dAP dx dy dz
THÉORIE GÂKÉRALE DB l' ÉLASTICITÉ. 68 1
et comine ses angles presque droits ont encore Tunité pour sinus, son volume s'est accru dans la proportion ^
Il y a d'autant moins de -molécules sous même volume, et Ton a pour la nouvelle densité
^'"" / dtt\ f d9\l dw\
du dv dw\ dx tiy dz I
Cette expression doit être mise pour px daof les formules (46) en même temps qu'on y met (47) pour Au,
ùkv^ Atv. Cela revient à mettre p pour pt hors du signe ^ et a multiplier par 1— ^ -^ j- les seuls
premiers termes ^x*, w-yzde (46) entre crochets; car
les produits de Au, A i^, A w par -r 9 -r-' -r~ doivent être
'■ ^ dx dy d%
négligés.
En opérant ces substitutions, et en ayant égard aux valeurs (4i ) des pressions antérieures p^^ puis en faisant
et ainsi des autres ,
68a STATK^OS.
expressionsdanslcsquellesles sommes W sont toutes relatives i Tétat primitif quant à la situation des molécules ou auic grandeurs des distances r et de leurs projections X, y, z, on obtient
4 / ilti dv dw\ . du . du
du dv dw Idç dw\
a«*,-r- 4- a„rr -V- -h a,*.! ^ -4- a,,^, I ^ -f- — I
du du
