XX 9X

l div du\ l du dv \

4 / du\ ^ dv . di\' ^ d» . div

(dv div \

du dv dw

(dw du\ (du do\

c'est-à-dire des expressions se composant chacune, i^ de plusieurs termes afTectés des six composantes p^ des pressions antérieures aux déplacements u, m, iv, et i? de sextinômes affectés des coefEcients a, et qui ne différent en rien des expressions (26) trouvées autrement au n^ 269 pour les composantes de pression du cas où il n'y en avait aucune antérieurement aux déformations.

Nous avons donc, en écrivant pour" p^^, p„, p^^ p^y des expressions analogues , ces formules très-générales des neuf composantes, réduites à six inégales, des pressions qui ont lieu, après les déplacements 1/, v^ w^ sur trois faces piaintenant perpendiculaires aux coordonnées

TnéOKIE GÉNÉRAXE DB l' ÉLASTICITÉ. 683

rectangles jr,y, z^ et d^une superficie égale à Tunîtë

^ l du dv

Pxx

'XX

\dx dy

j . /rf!f dw du\

dff di>

•^ ^P% T. + ^P-J -JZ ■+" p!v^

P*M = pU -4- A?î. f

djr)

A ^«' A dfv

Pj»=P% —Pj*

du di

^ d» . div

, dv . dw

A t dp . dw . du

- dw . €/ll ,

-^p'-d^-^p-dl+p"'

dw du dv

Ptx = P'^j - P'^y-^-^Pj^ :77 +/^- X

. du . dp ,

/'ix, /?^^, pltiPj^j pL, Pxj remplaçant ici les expre»-

sions sextinômes (a6) Bxr^x ~i h. . .> dans lesquelles

on aurait mis

du dv dw ' (h div dw du du dv dx djr dz tlz dy dx dz dy dx

\ à la place de D,, "hjy D„ g;.,, g,,, g,^ (*).

(*)Ce sont les formules complètes qu*on trouve (sauf les notations) & la page i38 de la quatrième année des Exercices de Hathématiques, et qui

Ces formules contiennent vingt et une constantes, mais dont six, savoir •

n* 9m* #■• »»• rt* »•

fxjri /\rrj p%%% f'v%t P%Jct F*J^

ne sont que les composantes des pressions primitives, toutes nulles quand Vétat antérieur aux déplacements était un état vàtueel, où aucune force extérieure n'agissait encore sur les molécules. Quant aux autres constantes, au nombre de trente-six en apparence, appelées comme aux formules (a6)

axrxri ^**JJf ^xxft» • • • »

elles se réduisent, da ns le fai t, à quinze distinctes seulemen t, car comme les sous-lettres x, j^, z remplacent les facteurs

X, y, z qui sontsous les signes W dans les expressions (5o),

tous ceux de ces coefficients a qui ont les mêmes souslettres en même nombre, quel que soit leur ordre, sont

se dédaiseot immédiatemeotyda reste, de celles que Gauchy arait données à la troisième année (i8d8), p. 33>*i33, en substituant à p, qui y déiijfpie

I— — ""3 — Ifa")^» ^^^ Cauchy désig

par A la densité ancienne qui est ici appelée /».

Poisson a été amené aussi finalement, en 1839, mais pour le seul cas

particulier de Tisotropie, à la page Sa du XX* Cahier ( t. XIII) du Jommal

de l'École Polytechnique, à oes six expressions, après avoir reconnu que

les neuf autres, tontes inégales et contenant moins de termes en ^* (qu*il

avait données à la page 47f et aussi au tome VIII des Mémoires de l'Insti-

tutf p. 38a), ne représentaient que les composantes parallèlement aux aies

des X, jr, s de pressions sur des faces primitivement perpendiculaires,

maintenant un peu obliques à ces aies fixes, et ayant des superficies

primitivement égales à Tunité et devenues un peu plus grandes par suite

de ce que leurs dimensions parallèles aux x, aux f, aux s, ont augmenté

dans des proportions

. ^ du , di' dw

de là 1-4-^-9 ai-t-T-» etài-H^;

remarque essentielle, comme on peut voir, par ses conséquences, aux Comptes rendus, 28 juillet et 4 *o^t 1862, t. LV, p. 9o3, tii.

THÉORIE GÉSÉRALE DE L*ÉLA8TIC1TÉ. 685

égaux, en sorte qu'entre ces trente-six coefflcients, il y a non-seulement les quinze égalités (3o) résultant de la permutation possible des deux premières sous-lettres avec les deux dernières à la fois, démontrées autrement par Green, mais encore les six égalités (3i) simplement annoncées au n^ S70 \ ce qui prouve qu'on peut faire permuter aussi une des deux premières sous-lettres avec une des deux dernières.

Les pressions primitives p^, si elles proviennent par exemple de la pesanteur, peuvent être de même ordre de grandeur que les pressions p — p^ ultérieurement produites. Mais elles sont généralement fort petites vis-à-vis des quinze coefficients ef élasticité a dont les valeurs, comme on sait par la théorie usuelle de la résistance des solides, se comptent par billions dcr kilogrammes quand Tunité de surface est le mètre carré ^ ce qui vient de ce qu^apparemment la force moléculaire Jr^ excessivement variable avec la distance r, est toujours petite en

comparaison de /' -^ • Les produits de ces pressions pi i-

, ^ ^, , , du du div

raitives p^ par les neul dérivées —5 -r-» • • • » — peuvent

donc être effacés généralement devant les termes des p^ affectés des coefficients a, en sorte que, pour les corps solides terrestres, les excès

des pressions ultérieures sur les pressions primitives, se réduisent aux />*, c'e^t-à-dire aux expressions (26), qu'on a lorsqu'on part de Tétat naturel. Mais pour l'éther lumineux répandu dans les espaces célestes ou dans les corps transparents, ou pour Tair si ces formules peuvent s'y appliquer, ou même pour un solide qui aurait été fortement comprimé avant- d'éprouver quelque compression

ultérieure, les termes en p^ peuvent n^étre point négligeables.

Au reste, on explique facilement la présence, dans (5o),

de termes en p^ affectés de dérivées telles que :r-> tj-i

— 9 • • - 9 qui ne sont pas des dilatations et qui ne sont que

des portions de glissement; ces termes subsistent seuls, avec le terme en p^ non afiecté, quand on suppose nuls les glissements et les dilatations, auquel cas les déplacements tt, ^, w ne produisent que de petites translations et rotations. Ces mêmes termes proviennent alors de ce que les faces parallèles aux plans fixes j-^, zx, Ay, sur lesquelles les pressions p se prennent, n'occupent plus les mêmes positions dans le corps, où les pressions p^ sont supposées n'être pas les mêmes en tous sens autour de chaque point. On obtient eOectivement ces termes par les formules (6) Pj^^ ==. pjçjgclj^ -f- . . . de changement de plan de pression, si Ton y remplace x\ y\ z' par x, jr^ Zy et jc,^, z par Xoyj^'i ^0 supposés représenter les directions primitives des trois droites matérielles rectangulaires devenues parallèles à jr, j, z (en sorte que p„x,j Pjtf • •» ^^^ '* même chose que p!^,^ p*^^ • • • ) 9 ^^^ '^ cosinus ont alors les valeurs suivantes faciles à tirer de considérations semblables à celles qui ont fourni les termes de la deuxième expression (36) du n° 275

Cx.# = î ,

du ""•^ dz'

dw '''•' ~ dx'

Ca., = I ;

et Ton peut, en les substituant, négi

iger les carrés et les

produits de ceux qui :

ne sont pas égs

tux à I.

THÉORIE GÉHéaALB DE l'ÉLASTICITÉ. 687

Les termes en p^ dont nous parlons peuvent donc être regardes comme représentant (à cela près de quantités négligeables) les composantes de pressions antérieures aux déplacements, sur les trois faces devant devenir perpendiculaires aux JT, aux j", aux z.

Ces termes y hors celui qui n'est pas affecté de — ou

^9'**> ne se trouveront point dans les formules, si au

lieu de prendre les pressions p^^j,^ . . . , p^.^ sur ces plans rectangulaires, on calcule les composantes

Px'x'i Pf/y Pe^y /y»', P^tfy PxTf

des pressions sur les plans irès-peu obliques ^iMx^, ZiMiXi, xJAiji^ dans lesquels ces mêmes plans se sont transformés, en estimant ou projetant les pressions, non pas suivant les intersections x^y j^i, Zj, mais suivant trois droites. x\ j\ z' perpendiculaires respectivement aux mêmes trois plans. Alors il ne restera d'affecté des p^, dans les expressions, tirées des formules (5o), des exofa Pj,^ — ^*jr,... composantes nouvelles sur les anciennes, que les premiers termes , tels que

^ {du dp dw\ g. du

OÙ se trouvent engagées les dilatations.

279. Équations d'équilibre les plus générales^ quant à la contexture du corps et quant à son état antérieur aux déplacements. — Au lieu de substituer à p^xt Pjyj' • " 9 P*:r ^^^^ ^^ équations d^équilibre (9)

~j; — "T" . • ■ ~T" p iW — 0> . • , y • • » y

les formules (26) ou (32) à (35), comme on a fait au n^ 276, si Ton substitue les formules (5o) qui supposent

l'existence de pressions p^j^y . . . , ptj antérieures ans déplacements, il faut en même temps, dans ces équations, faire

X=Xo.-4-X„ T = Y.-4-T., Z = Z.-f-Z.,

en appelant

Xo9 Yo) Zq les composantes, sniyant les x, jr^ Zy de la force extérieure (telle que la pesanteur), qui pouvait agir sur l'unité de masse au point (x, y^ z) avant les déplacements ;

Xi, Y|, Zi celles des forces qui peuvent être venues, depuis, s*y ajouter, et qui (avec les pressions*exercées sur la surface) ont produit les déplacements^ forces qui, dans le cas de mouvements vibratoires, se réduisent ordinairement aux seules inerties par unité de masse, en aorte que, puisque les différentielles par rapport au temps des coordonnées X -+• M, j^ -+■ i', z H- IV après les déplacements, se réduisent à celles des déplacements u, y^ w, on a alors

Pans les équations résultant de cette substitution, les forces primitives Xo) Yq, Zq disparaîtront ainsi que les dérivées des pressions primitives p^ dans les termes où ces

pressions ne sont pas multipliées par les dérivées —9 • • • 9

dt%'

—9 des déplacements, car, en vertu de l'équilibre primitif, l'on a (n? 262)

'^" ^ dpjx ^ dpi

dx djr dz

dply dply dpi

-f- pX» = Oj

-f- pY, z= o,

dx ' dy ' dz +PZ«=«'

dx dy dz

dpU dp% dpU

TfiAoEiB géhéhàlb de l'élasticité 689

Quant aux termes tels que -j— ^» • • • » qui contîeD-

uent les mêmes dérivées des pressions primitives multipliées par celles des déplacemeuU très-petits, on peut les effacer parce qu'on suppose les pressiouji primitives assez peu variables d'un poinl à Tautre pour n'altérer que fort peu Thomogénéitédes distribations moléculaires. On remarquera aussi que les termes négatifs affectés des p^ seront^ après les différentiations et les additions, détruits par des termes positifs et égaux , et il restera les trois équations différentielles :

^ !»•„ \- oî.

dx"

Pjy^^P^^^

d*u dydz

a/>îx

dzdx

VÎr

dxdy

dpL dz

-hpX, =0,

Pxx

Vxr

dxdy dpxj . dpl^

dp^ dz

H- pT. = o,

pi'

a^ir

i/>cb

dxdy

dpl

dpl dz