XXII PRÉFACE

d'aller toujours au plus pressé pour gagner ma vie et la vie de ceux que la bonne Providence mettait à ma charge, je n'ai pu qu'attendre et me résigner.

Quand l'impression du Calcul des variations (ui ache* vée, il me parut trop dur de laisser enfoui dans des cartons un manuscrit précieux et riche d'avenir, à une époque surtout où l'enseignement des Mathématiques, grandement amoindri, demande d'urgence à être relevé, où la Mécanique n'est plus représentée en France que par les Leçons trop élémentaires de Navier, de Duhamel, de Slurm. Je me mis donc à l'œuvre, et je commençai une impression fatalement empêchée par une foule d'obstacles imprévus. On ne saurait se figurer ce qu'absorbent de temps la rédaction consciencieuse d'un journal comme le Cosmos ou les Mondes, et la mission de vulgarisation à laquelle je n'ai pas pu me soustraire. Mais voici que j'ai pu achever enfin le premier volume de ce grand ouvrage : la Statique analytique des corps solides et des systèmes de points matériels.

Avoir commencé par la Statique, cVst, dans les idées régnantes, en présence de programmes d'enseignement profondément bouleversés, au grand détriment de la prospérité et des progrès en France des Sciences mathématiques, une faute et presque un délit dont j'ai, avant tout, k me justifier. Je publie les Leçons de Cauchy, je devais donc lui rester fidèle. A l'époque où Cauchy enseigait, personne n'aurait eu l'idée de commencer l'étude de la Mécanique analytique par la Cinématique, qui n'existait pas encore, ou par la Dynamique. On suivait alors la marche naturelle et plus facile du simple au composé. Parce que l'idée de repos est plus élémentaire queVidéede mouvement, en ce sens qu'il n'exige point de cause ; parce que la Statique ne considère que la tendance au mouvement et sa possibilité, tandis que la Cinématique et la Dyna-

p&érACB. xxiii

mîque mettent en jeu le mouvement et le temps, le déplacement réel dans Tespace et dans le temps^ on débu*' uîtpar la Statique. Et, en effet, si l'idée de point matériel et de force est commune à la Statique, à la Cinématique et à la Dynamique, la Cinématique et la Dynamique, qui lui ajoutent les idées de vitesse et d'accélération, doivent nécessairement venir plus tard. Si Ton objecte qu'il est mal, dans une science toute de faits, d'emprunter à la métaphysique l'idée des forces ou des causes efficientes du mouvement qui ne sont le plus souvent que des êtres de raison, je répondrai qu'en tout cas l'idée de force est une idée première, nettement définie, dont on ne pourrait affranchir son esprit que par un effort contre nature, rajouterai que, très-disposé k ne voir dans le monde matériel que de la matière et du mouvement, à ne donner aucune existence réelle à des forces purement explicatives, comme l'attraction universelle ou moléculaire, je ne puis cependant me résoudre à admettre que les mois force de traction, d^impulsion^ de tension, depres^ non, ne soient pas des réalités positives, qu'il est permis de ramener d'abord à une idée abstraite, pour les représenter plus tard par des longueurs et par des noodsres, et les soumettre à toutes les opérations de la Géométrie et de l'Analyse. Or, la Statique ne fait pas autre chose.

Il y a sans doute du vrai dans ce passage de d'Alembert (préface de la première édition du Traité de Dynami^ue, p.xv): (( Tout ce que nous voyons bien distinctement dans le mouvement d'un corps, c'est qu'il parcourt un certain espace, et qu'il emploie un certain temps à le parcourir ; c'est donc de cette seule idée qu'on doit tirer tous les principes de la Mécanique, quand on veut les démontrer d'une manière nette et précise. Aussi ne sera-t-on pas surpris qu'en conséquence de cette réflexion j'aie, pour ainsi dire, détourné la vue de dessus les causes motrices,

XXIY PKÉFACB.

pour n'envisager uniquement que le mouvement qu'elles produisent. » Mais d'abord au mot Mécanique il faudrait dans ce passage substituer le mot Dynamique; et il n'en reste pas moins vrai que les idées de repos, d'équilibre, de force, de simple possibilité de mouvement, compté^ temenl indépendantes des idées de déplacement dans l'espace et dans le temps, ont an moins autant de réalité objective et subjective. Qui pourrait dire que l'idée de deux bommes de force ^ale, tirant ensemble sur les deux extrémités d'une corde rigide, et se faisant mutuellement équilibre, n'est pas une idée positive et complète? D'Alembert, en outre, ne faisait pas tellement abstraction des causes motrices, qu'il cessât d'attribuer un pouvoir moteur réel à la matière inerte.

Pour jeter plus de jour sur ces questions délicates, qu'il me soit permis de citer ici un passage digne d'attention de la Notice sur la vie et les ouvrages de Pierre-Louis- Georges, comte du Buat, l'auteur des Principesd'hjrdrau^ lique, et de son fils Louis-Josepb du Buat, capitaine an corps du génie, par M. Barré de Saint-Yenant. Cet opuscule, très-original, est malheureusement peu connu, parce qu'il n'a été publié que dans les Mémoires de la Société impériale des Sciences, de V Agriculture et des jé ris de Lille, année i865.

« Dans les trois Mémoires sur la Dynamique, im- » primés in-4^ chez Didot en i8a4} L.-J. du Buat défi- » nit les forces accélératrices de simples accroissements » de vitesse, et les forces motrices des produits de ces » accroissements par les masses, sans définir ces dernières » quantités. Il observe que le mot force a, dans l'usage » ordinaire, une signification différente ', qu'on désigne » ainsi la cause qui produit le mouvement et qui réside » soit dans les êtres animés, soit dans les propriétés de la » matière \ mais que la Mécanique ne considère et ne

P&ÉFACB. XXV

V mesure les forces que dans leurs effets, qui sont des )i vitesses imprimées à des masses; que Tëquilibre n'est tt que le cas particulier où les vitesses ne produisent pas » de mouvement, et que c'est, par conséquent, pour » abréger l'expression, que Ton donne à l'effet le nom de » la cause, etc. Sous celte réserve, ou avec celle définition, » du Buat emploie le mot force dans la suite de ses Me-- » moires.... Ampère (c'est toujours M. de Saint- Venant » qui parle) me disait en i834 que ces Mémoires du fils » de du Buat étaient faits avec beaucoup de talent, ei » fournissaient ainsi la preuve quV/ serait à jamais » impossible de faire une Mécanique sans forces enyi* » sagées et calculées comme telles. 11 est permis de ne » pas acquiescer à cette deuxième partie du jugement

V porté par l'illustre Académicien, et de ne point engager » ainsi l'avenir le plus éloigné. Le sage Ecossais Reid, » le philosophe moderne le moins rêveur qu'il y ait eu, » et chez qui les connaissances géométriques venaient » suffisamment en aide à un admirable bon sens pour lui » permettre de parler pertinemment de ce que les Sciences » physico-mathématiques o:it de plus général, remar- » que fort bien que leur objet n'est pas de déterminer » et d'évaluer les causes ej^cientes inconnues des 9 phénomènes, mais de découvrir et d'appliquer les lois w qu'observent constamment ceux-ci dans leur succes- » sion. Dans le fait, quel que soit un problème de Mén canique terrestre ou céleste proposé, les forces n'entrent » jamais ni dans les données, ni dans le résultat cherché 1» de la solution. On les fait intervenir pour résoudre, » et on les élimine ensuite, afin de n'avoir finalement » que du temps, ou des distances, ou des vitesses, comme » en commençant. On conçoit très-bien qu'im jour, à la » place de ces sortes d'intermédiaires d'une nature occulte » et métaphysique, on puisse n'introduire et n'invoquer,

XXTI PRÉFACE.

» pour la solution des divers problèmes de l'ordre physi- » que, que ces lois avérées des vitesses et de leurs chan- D gements suivant les circonstances, lois dont on ferait I) Papplicalion, comme un juge, à l'espèce, c*est-à-dire » aux données de chaque problème, et dont on calculerait » pour chaque cas Taccomplissement. Ce ne sera pas » bouleverser la science, ce ne sera qu'en modifier le n langage. ... Il est donc possible que les forces, ces sortes )> d*êtres problématiques, ou p1ut6l d'adjectifs substances » qui ne sont ni matière, ni esprit, êtres aveugles et » inconscients, qu'il faut douer cependant de la mer-, )) veilleuse faculté d'apprécier les distances et d'y propor- » tionner ponctuellement leur intensité, soient de plus » en plus expulsées et écartées des sciences mathéma- » tiques. Elles feraient place aux lois non-seulement » géométriques, mais aussi physiques^ qui règlent les » circonstances, les durées et les grandeurs des change- » ments de vitesse et de situation *, et cela, quel qu'en » soit l'agent excitateur, unique ou multiple, ayant ou » n'ayant pas grandeur et direction variables comme les » changements produits. Le temps n'est peut-être pasbien » loin, où, sans nier aucunement le principe de causa- » lité, qui appartient à une sphère d'idées plus élevée, » mais en laissant la cause ou les causes à leur vraie » place, qui n'est point la physique, on renoncera à la » prétention d'en faire un sujet de calculs. Aujourd'hui » certaines locutions ou alliances de mots, telles que » forces d^inertie, trav^ail d*inertie^ servent utilement » sans doute à établir l'homogénéité, en remplaçant dans » le langage les faits par des causes, ou le visible par » l'occulte, de manière à n'avoir que des équations entre » causes. Mais on trouvera sans doute le moyen de rem- » placer ces locutions par d'autres n'offrant pas, comme )) celles-ci, quelque chose de contradictoire, et opérant

PtiFACB. XXV II

9 dans le même but une substitution inverse; ou, pour » mieux dire, de n'exprimer plus, en Mécanique, que T» les faits réels de temps et d^espace, en énonçant et en « appliquant les lois de leur succession. »

M. de Saint-Venant est allé plus loin : il a passé de la spéculation k la pratique, en publiant, en i85i, chez Bachelier, ses Principes de Mécanique fondes sur la Ciné^ matique (in->4^ lithographie).

Ces lignes renferment tout ce que Ton peut opposer de plus fort au parti que j^ai pris de commencer renseignement de la Mécanique par la Statique, en la fondant sur la notion de la force et du point matériel . Or, il suffira de quelques réflexions exposées sans ordre, pour prouver que j'ai eu raison de rester fidèle aux doctrines de Cauchy.

1® Et d'abord, du Buat ne renonce pas plus que d'Alembert i l'emploi du vaoi forces et à leur mise en jeu ; comme d'AIembert encore, il attribue un pouvoir moteur réel i la matière, ce qui est proclamer la force une réalité dans le cas le plus inadmissible. Je fais, moi aussi, grand cas des espaces parcourus, des vitesses, des accélérations, même de plusieurs ordres; mais une fois admis le principe de l'inertie de la matière, mon esprit exige qu'on fasse de ces vitesses et de ces accélérations les effets des causes dont elles mesurent naturellement et nécessairement l'intensité.

a® Il résulte des paroles citées par M. de Saint-Venant, que je suis d'accord avec Ampère, un de mes maîtres les plus illustres et les plus chers. Il ne déclarait pas seulement impossible la Mécanique sans forces : quoique ce soit a lui que revienne l'honneur d'avoir divisé la Mécanique en trois branches distinctes : Statique ^ science de l'équilibre des forces, abstraction faite du déplacement réel dans l'espace, mais sans exclure la tendance au mouvement, le mouvement possible ou virtuel; Cinématique^ science du mouvement, abstraction faite des forces;

XXVIII F&ÉFACB.

Dynamique, science des rapports des forces avec les déplacements et les vitesses qu'elles déterminent dans Tespace et dans le temps, ou des rapports des déplacements et des vitesses avec les forces qui les ont engendrés, il s^esl bien gardé de défendre à ses élèves de déduire les lois d'équilibre des lois du mouvement: il nous a appris au contraire à ramener les lois du mouvement aux lois de Téquilibre, comme Tout fait du reste du Buat,d'Alembert, Lagrange.

3° M. de Saint- Venant nous permettra -t «il de lui rappeler qu*il n'est pas vrai que dans la solution des problèmes de Mécanique on élimine complètement les forces pour n'avoir finalement que du temps, ou des distances, ou des vitesses? Par exemple, dans le problème du mouvement des planètes autour du soleil, une des équations fondamentales et finales est celle qui exprime que la force qui fait graviter les astres agit proportionnellement aux masses et en raison inverse du carré de la vitesse. Je veux bien, je veux même plus que tout autre, que cette force ne soit qu'explicative, que tout se passe comme si les corps s^attiraient, sans que l'attraction soit réelle; je conçois même que l'on remplace cette force explicative par l'accélération qui est une réalité et sa mesure véritable; mais je n'en maintiens pas moins qu'ici, comme dans une foule d'autres exemples, la notion de force attractive est très-naturelle, invincible même, qu'elle n^a absolument rien de contradictoii*e, matbématiquement parlant, que sans elle, au contraire, la Mécanique céleste ne serait plus intelligible.

4^ Que M. de Saint-Venant veuille bien ausM le remarquer, les forces ou causes du mouvement que nous intro* duisons dans la Statique et la Dynamique ne sont nullement ces principes de causalité physique et métaphysique qu il relègue avec raison dans une sphère d'idées plus élevée. Nous ne cherchons pas du tout comment peuvent

PUÉFACB. XXIX

sepfxxluirela traction, rimpalsion, la pression, la tension^ l'attraction qui n'est qu^une traction mutuelle idéale, la répulsion qni n'est qu^une impulsion mutuelle hypothétique, etc. Nous voyons seulement, dans ces réalités ou dans ces idéalités, des grandeurs mathématiques que nous représentons par des longueurs d*abord, puis par des nombres rapports de ces grandeurs, et que nous soumettons au calcul, sans que la notion primitive de forces cesse d^êtrc présente à notre esprit^ alors même qu'elle se transforme en déplacement dans l'espace et dans le temps, en vitesse et en accélération.

5^ Certains esprits trouvent étrange qu'on déGnisse la force une cause de mouvement, alors que le mouvement devient lui-même une cause de mouvement et par conséquent une force. Je ne comprends rien à ce scrupule exagéré. Parla même que le mouvement est Teffet de la force, ou qu^il est né de la force, il a en lui, si nous pouvons nous exprimer ainsi, la réalité de la force et peut produire ce qu'elle produisait. Qui pourrait nier que la pierre lancée par la main, emmagasine et emporte avec elle l'effort exercé par la main, et qu elle peut par conséquent l'exercer k son tour.

En résumé: il est légitime, premièrement, de conserver la notion de forces, inséparable de notre nature, et à laquelle on ne renoncerait que pour y revenir malgré soi-, secondement^ il est non moins légitime de commencer par la Statique fondée sur la seule idée de forces, et de forces se faisant équilibre, tandis que la Cinématique, par cela même que dans son enseignement actuel elle comprend les accélérations, implique à la fois et l'idée de force et ridée de déplacement dans l'espace, tandis que la Dynamique à l'idée de forces et de déplacement dans l'espace ajoute encore l'idée de temps ou de déplacement dans le temps.

Et qu'on ne dise pas qu'en introduisant dans laSla tique

XXX PRÂFÀCB.

la notion de vitesse virtuelle nous nous mettons en contradiction avec nous-mème ! Sturm, esprit excellent, qui ne montra jamais de tendance au paradoxe, a depuis longtemps fait bonne justice de ce semblant d^objection, et on nous permettra de rappeler ce qu'il disait peu de temps avant sa mort (Avertissement de son Cours de Mécani^ que édité par M. Proubet ; Paris, Bachelier, 1.861).

(( La Statique emprunte à Texpérience la notion du V point matériel et celle de la force: avec ces seuls prin- » cipes elle s'achève comme une science purement géo- » métrique. La Dynamique se distingue de la Statique » par Tintroduction de plusieurs notions nouvelles, tout » à fait étrangères à la Statique, telles que le mouvement, » la masse, le temps. Dans Tordre naturel, où l'on passe » du simple au composé, on doit donc commencer par » la Statique. Mais nous avons changé tout cela, ou » plutôt on a changé tout cela! Les conditions d'équilibre ^ )» sont indépendantes des idées de temps et de mouve* )) ment. Il ne faut pas dire que le théorème des vitesses » virtuelles soit le principe de la Statique, il n'en est que )) le résumé. Le véritable principe est le théorème de la » composition des forces. »

D'accord avec Slurm, quant au fond, je me permets de me séparer de lui dans quelques détails, et ce que je vais dire jettera un jour nouveau sur les questions délicates que nous avons déjà discutées. Nous n'admettons pas que les notions du point matériel et de la force soient emprunttécs a l'expérience *, ce sont au contraire deux notions abstraites de notre esprit comme toutes les grandeurs géométriques, de sorte que la Statique analytique est essentiellement une étude mathématique. C'est comme telle que je l'offre a mes lecteurs, et, parce que je la voulais ainsi, j'ai adopté les méthodes de Cauchy qui sont toujours des chefs-d'œuvre d'analyse. Sous ce rapport, l'ouvrage que je publie avec confiance et sécurité contribuera

PRÉFACE. XTLXI

k relever ea France renseignement inaibématique, dont tout le monde avoue l'aflaiblissement et la décadence. Chose étrange! pendant que Fécole allemande, notre rivale autrefois, notre maîtresse aujourd'hui, reste fidèle aux principes, à la manière, aux notations de Cauchy, eu France chacun se fait une méthode et des procédés à lui, méthode hybride, mélange inconsidéré d'analyse et de géométrie^ procédés indirects, sortes de petits tours de force imaginés dans chaque cas particulier pour les besoins du moment, mais qui ne constituent pas un enseignement logique et complet, que rien ne grave dans l'esprit, et qui ne préparent pas à l'étude des œuvres des maîtres.

Sturm attribue la notion de masse à la Dynamique; avec Cauchy je Tai introduite dans la Statique, parce qu'elle se rattache essentiellement à la notion de la force, du corps et même du point matériel. Je suis d'ailleurs intimement convaincu que la matière ou les corps sont for* mes essentiellement de points matériels, non pas géométriques, mais physiques ; et dans cet ordre d idées, force est de maintenir plus que jamais l'ancienne définition de la masse : quantité de matière contenue dans un corps, ou mieux nombre d'atomes physiques qu'il contient; et de la densité : masse sous P unité {te volume^ ou rapport de la quantité de matière au volume qui la contient. Outre que la décomposition actuelle de la matière en éléments simples est une vérité physique et métaphysique incontestable, recourir trop tard, pour définir la masse, à la vitesse ou à l'accélération de la vitesse, c'est certainement faire un paralogisme, passer d'un genre à l'autre, et marcher à rebours, du composé au simple. Comment une somme d'éléments simples peut-elle faire masse ou poids? c'est le mystère de la matière et de la pesanteur, le plus écrasant des mystères de la nature.