PREMIÈRE LEÇON

Définitions : Mécanique, mâssc, point matériel, résultante, coniposantes. — Résultante de deux ou plusieurs forces appliquées k un point matériel.

1 . La science de la Mécanique, qui sera T objet de ces leçons, se divise en deux parties, la Statique et la Dynamique. Dans la mécanique on suppose les corps sollicités au mouvement par des causes qu'on appelleybrce5, et l'on cherche les conditions d'équilibre ou de mouvement de ces mêmes corps. La détermination des équations d'équilibre appartient à la statique, celle des équations de mouvement à la dynamique.

2. On appelle masse d'un corps la quantité de matière qu'il renferme. Cette quantité de matière peut être plus

OU moins considérable sous un volume donné. Et réciproquement, on peut, sans changer la masse, admettre que le volume est augmenté ou diminué. Cela posé, concevons que, la masse restant la même, les dimensions du volume viennent à décroître indéfiniment, on finira par obtenir une masse finie concentrée sensiblement sur un seul points ou ce qu'on appelle un point matériel, Â ce point matériel, pris dans Tétat de repos, pourront être appliquées une ou plusieurs forces dirigées suivant une ou plusieurs droites données. Si, pour fixer les idées, on suppose d'abord qu'une seule force lui soit appliquée^ il en résultera dès le premier instant une tendance au mouvement dans la direction de cette force. Et si à ce même instant le mouvement est arrêté par un obstacle fixe, le mobile exercera contre cet obstacle un certain effet appelé pression. C'est ainsi, par exemple, qu'un corps abandonné à l'action de la pesanteur, et posé sur un des bassins d'une balance, exerce contre la surface horizontale de ce bassin une pression k laquelle on a donné le nom de poids,

3. Comme les pressions sont les seuls effets que les forces produisent dans le cas d'équilibre, on est convenu, en statique, de mesurer l'intensité d*une force appliquée à un point matériel, par le moyen de la pression que ce point matériel exerce contre un plan fixe perpendiculaire à la direction de la force. Cette convention une fois admise, si l'on désigne par p la pression que produit la force P appliquée à un point matériel donné, les pressions

2/?, 3/?, 4p7'"i pourront résulter, soit de l'application faîte au point matériel donné de 2 , 3, 4 9 • • • 9 forces égales à P et dirigées dans le même sens, soit de l'application d'une force unique que Ton prendra successivement égale à

aP, 3P, 4P,....

COMPOSITIOM DES FORCES. 3

Oc même, 6\ Ton désigne par P, P', P', . . . , plusieurs forces capables de produire séparément les pressions

Py P ^ P »' "f

la pression

pourra résulter soit de Taclion simultanée des forces P, P', V^\ . . . , appliqué^ au poin( donné, dans la même direction, soit de Taction d'une force unique

P-hP'-hP'H- ....

En général, lorsque plusieurs forces P,P', P^, ..., sont appliquées a un point matériel, soil dans la même direction, soit dans des directions différentes, il en résulte une pression unique suivant une direction déterminée. La force R qui serait capable, à elle seule, de produire cette pression unique, est ce qu'on appelle la résultante de toutes les forces données. Celles-ci prennent le nom de composentes. Si les directions coïncident, la résultante R, d'apris ce qui a été dit ci-dessus, aiira la même direction et sera égale à leur somme, c'est-à-dire que Ton

aura

4. Supposons maintenant que parmi les forces appliquées au point matériel donné, les unes

PTj' p" n/f

soient dirigées suivant une certaine droite el dans le même sens, les autres

suivant la même droite, mais dans le sens contraire^ concevons d'abord, pour fixer les idées, le système des forces P, P', . . . , réduit à la seule force P, et le système des forces Q, Q', . • ., à la seule force Q. Si les forces P, Q, dirigées suivant la même droite, mais en sens con-

iraires, sont égales entre elles, le point matériel restera évidemment en équilibre, sans que Ton soit obligé d*arrêter son mouvement par un obstacle fixe; et par suite la pression se trouvera réduite à zéro, toutes les fois que l'on aura

Si au contraire les intensités des forces P et Q sont inégales, en sorte que, P désignant la plus grande, on ait

le point matériel se trouvera dans le même cas que s'il était sollicité au mouvement, i^ par deux forces Q égales et agissant en sens contraire, 2^ par une force R dirigée dans le sens de la force P; on pourra faire abstraction des forces Q qui se neutralisent réciproquement, et con* sidérer le point comme uniquement soumis à l'action de la force R = P — Q.

Cette dernière force sera donc la résultante des deux forces P et Q. La même résultante serait Q — P et dirigée dans le sous de la force Q, si l'on avait

Lorsque le point matériel est soumis, 1° à l'action des forces P, P', P', . . . dirigées suivant une même droite et dans le même sens, a** à l'action des forces Q, Q', Q", . . . dirigées suivant la même droite, mais en sens contraire, on remplace les forces P, P', P", . . . par une force unique égale à P -f- F-f- P+ . . . et les forces Q, Q', Q^, . . . par une force unique égale à Q -H Q' 4- Q" 4- . . . .

Cela posé, les deux forces

P -h P' 4- ?'' + .,. et Q-hQ' + Q'' + ...,

dirigées suivant la même droite, mais en sens contraires, auront une résultante égale à

P-hP'-HP''4-... — Q — Q' — Q'— ...

COHPOSITlOir DES FORCES. S

lît dirigée dans le sens des forces P, P' , . . . ; ou une résultante unique

Qh- Q' ■+■ Q" . — P — P' — P*' — . . . dans le sens des forces Q, Q' , . . . , suivant qu^on aura

P H- P' -+- P'' -+^ . . . > Q -+- Q' + Q'^ + . . . ou

Q -f-Q'-HQ"-+- . . . >P -hP' -^P"-h . . ..

En résumé, la résultante sera égale à la valeur numérique de la difTérence

et dirigée dans le sens des forces P, P', P'', ... ou en sens contraire, suivant que cette dîflereuce sera positive ou négative.

Si Ton avait

P -h P'-hP'H- . . . = Q -H Q' + Q" -4- . . . ,

le point matériel se trouvant sollicité au mouvement par des forces égales et directement opposées, resterait en équilibre, et la résultante

R = ±(P-hP'4-P"-t-..— Q — Q' — Q^— ...) se trouverait réduite ci zéro.

5. Considérons à présent un point matériel sollicité au mouvement par plusieurs forces agissant dans des directions différentes ; ce point matériel ne tendra à se mouvoir que dans une seule direction et avec une certaine intensité : rien n'empêche évidemment d'attribuer cette tendance au mouvement dans une direction unique et avec une certaine intensité à Faction d'une force unique, apte par là même à remplacer les forces primitives, et qui sera leur résultante*, les forces primitive* ment appliquées seront h leur tour les composantes de la résultante unique.

6 STATIQtK.

6. Supposons que ces forces se réduisent à deux, appliquées au point A ; concevons que Ton représente Tintensité de chaque force par une longueur portée sur sa direction, à partir du point où elle est appliquée.

Soient AB, AC (fig- i), ces longueurs ou ces forces, et R leur résultante : i^ cette résiJtante sera dans le plan ABC des deux forces, parce que, s^il y avait quelque raison pour que le point A tendit à sortir de ce plan d'un côté, en dessus ou en dessous, la même raison existerait pour qu'il en sortit de Tautre côté^ a^ cette résultante sera dirigée dans Tangle BAC formé par la direction des deux forces, car il n'existe aucune raison pour que le point A tende à sortir de* cet angle; au contraire la force Q tend à l'éloigner de l'angle BAC, la force P de l'angle B'AC, et les deux forces réunies de Tangle B'AC; il restera donc dans l'angle BAC ; 3** dans le cas où les deux forces P et Q seraient ^ales, la résultante couperait évidemment en deux parties ^les l'angle des deux forces.

LcHMÈ I. — Si ton désigne pàr'K la résultante de deux forces P e^ Q simultanément appliquées au point A, et par X un nombre quèlconquey là résultante des deux forces égales aux produits Px, Q x et dirigées suivant les mêmes droites que les forces P e« Q, sera représentée par le produit Rx et dirigée suii^ant la même droite que la force R.

Démonstration, — Premier cas, x est nn nombre entier m. Les deu^ forces Vx = Pm, Qx = Qm, équivalent à m forces égalées à Pou Q. Or chaque paire de forces P, Q, a, par hypothèse, une résuliatile R; donc les m forces P, Q auront m résultantes R, dirigées toutes suivant la même droite que R, qui s'ajouteront par conséquent et donneront une résultante unique mR ou R.r.

Deuxième cas, x est une fraction -î n étant un nombre

COMPOSITIOV DES FORCES. 7

eotier. Appelons R' la ré&ultanie des deux forces

Pjt = - = P', Qx = ^ = Q',

puisque ron a P = nP', Q = nQ[y la résultanle R des forces P et Q devra (i*"" cas) coïncider en direction avec R' et être égale à nB!'^ on aura donc

/iR'=R, R'=- = P^a:,

c'est-à-dire que la résultante des deux forces Pjt, Qx, coïncide en direction avec la résultante R de P et Q et est ^ale à Rx.

Troisième cas. J? est un nombre fractionnaire —9 m et n

étant des nombres entiers. Les forces

P4: = — P = iw -=/wP', Qx = — Q =//!- = //iQ, n n n n

équivalent à n forces P', Q'; or, si Ton appelle R' la ré-

sultante de P'= -> 0'= — t cette résultante R' (a'' cas)

aura la direction de la résultante R des deux forces P, Q,

et sera égale à — *, d'autre part [i*' cas) la résultante des forces Par = m P, Qx = mQ', aura la direction de R' et sera escale à m R' == — R = Rx: donc la résultante de Px,

Qx coïncide en direction avec R et est égale k Rx.

Quatrième cas* x est un nombre irrationnel. On pourra faire varier les nombres entiers m et /i de manière que

la fraction — converge vers la limite x, et il est clair que, n

dans ce cas, la résultante des forces > —-^ > toujours

lit R dirigée suivant la même droite, et toujours égale à — 9

tendra de plus en plus à se confondre en grandeur et en direction avec la résultante des forces Par, Qx. Donc cette dernière résultante sera dirigée suivant la même droite que la force R, et elle aura pour mesure la limite du pro-

duit > c'est-à-dire le produit Rx.

Corollaire, — Désignons par les notations PQ, PR,

QR les angles compris entre les directions des deux forces P, Q et leur résultante R) et concevons pour fixer les idées que les forces P, Q, R soient représentées {Jig- 2) par les trois droites AB, AC, AD. Menons par le point A la droite AE qui fasse avec AB ou P Pangle

QR, et la droite AF qui fasse avec AC ou Q l'angle PR. Si, suivant AD et AE, on appliquait deux forces Px et Qx, elles auraient pour résultante une force Rx dirigée suivant AB, et comme rien n'empêche de faire

Rx = P, a: = -g-î ce qui donne Vx = ■— > Qx = -^j il

R H. Il

en résulte que la force P peut être remplacée par deux

, P* . . î PQ

forces, Tune -- dirigée suivant AD, l'autre -rr- dirigée

suivant AE. On prouvera de la même manière que la force Q peut être remplacée par deux autres, l'une ~

dirigée suivant AD, l'autre -^ dirigée suivant AF. Les

deux forces P, Q peuvent donc être remplacées par deux

forces ~7 ^ ayant la direction de la résultante R, et par

doux forces égales -^5 -:^ diiigées suivant les lignes AE

et AF,

Lemme II. — La tésultanlc R de deux forces P, Q

COMPOSITIOn DES FORCES. g

^itt se coupent à angle droit, est représentée en gran^ deur par la diagonale du rectangle construit sur les deux composantes, en sorte qi^on a

Démonstration. — Concevons quon remplace la force

pj PQ

P par les deux composantes -^ et -~^9 qui forment avec elle

les angles PR et QR ou dirigées [fig* 3) suivant AD, AE;