Q' PO
et la force Q par deux composantes ^ et -^9 qui forment
avec elle les angles QR et PR ou dirigées suivant AD, AF. Les deux forces équivalentes à -~ formant chacune avec
la direction AD de R un angle égal à PQ, formeront entre elles un angle égal au double de r(^. Donc, puisque Vangle PQ est droit par hypothèse, AF sera le prolongement de AE, les deux forces -Régales, mais directement oppo-
sées , se feront équilibre , tandis que les forces ^ 9 —- 9
dirigées suivant la même droite AD que la résultante R,
s'ajouteront et devront reproduire Rj on aura donc
d'où Ton déduit immédiatement Téquation
R' = P' 4- Q'; ce qu il fallait démontrer.
Lemm£ III. — La résultante Q de deux forces P, Q^ ijui se coupent à angles droits^ est représentée non-seu- Icment en grandeur, ainsi quon vient de le prou^er^
10 STATiQOE.
mais encore en direction^ par la diagonale du rectangle construit sur les deux composantes.
Démonstration, — Cette proposition est évidenle dans le cas où les forces P, Q, sont égales entre elles, car alors la résultante R, devant nécessairement diviser
Tangle PQ en deux parties égales, coïncide a^ec la diagonale du carré construit sur les deux forces, et le lemme II donne
R»=aP% R = Pv/2.
Le Icmme III se démontre encore facilement dans le
cas où l'on suppose Q' tî= aP', ou Q = Py^. En effet, considérons trois forces égales P dirigées suivant trois droites qui soient perpendiculaires Tune à Tautre. Ces trois forces seront représentées par trois arëles d'un cube qui aboutiront à un même sommet. De plus, la résul-
unte de deux de ces forces étant égale à Py^a, et dirigée suivant la diagonale d'une des faces du cube, la résultante R des trois forces sera nécessairement comprise dans tout plan qui renfermera Tune des forces P, et la diagonale du carré construit sur les deux autres. Or il existe trois plans de cette espèce, et ces trois plans se coupent suivant la diagonale du cube. Donc la résultante des trois forces P, ou, ce qui revient au même, la résultante des forces P et P ^2, qui se coupent à angles droits, sera dirigée suivant la diagonale du cube, laquelle est en même temps la diagonale du rectangle construit sur les
forces P et P ^2.
On prouverait absolument de la même manière que si Ton désigne par m un nombre entier, et si Ton suppose
le lemmc III démontré dans le cas où Ton a Q == P ^m, la résultante de trois forces respectivement équivalentes à
l>, P, Pv^,
COMPOSITION DES FORCES. I t
et représentées par trois droites perpendiculaires entre elles, sera dirigée suivant la diagonale du parai léli pi pède rectangle qui aura pour côtés ces mêmes droites. On en conclut que, dans lliypothèse admise, le lemroe III subsistera encore si Ton prend pour Q la résultante des
forces P et P ^/?*, c'est-à-dire si l'on fait Q == P ^m 4- i . D'ailleurs le lemme III est évident quand on a Q := P ou, ce qui revient au même, m = i . Donc ce lemme subsistera encore si l'on prend Q = P ^i -f- 1 = P v'a , ou
Q == P v^2 + i = P v^, . . . ou en général Q = P ^m^ m étant un nombre entier quelconque.
Concevons tnaintenant que, m et n désignant deux nombfes entiers, ton construise un parallélipipède rectangle qui ait pour côtés trois droites propres à représenter les trois forces
P, P^, Pv^.
La résultante de ces trois forces sera évidemment comprise : \^ dans le plan qui renferme la force V^ln et la diagonale Pvm-ï-i du rectangle construit sur les forces P, P^fW5 2*^ dans le plan qui renferme la force P ^i et la diagonale V^n -f- i du rectangle construit sur les forces P, P sfn^ Donc cette résultante sera dirigée suivant la diagonale du parallélipipède, et le plan qtti i^nferme la même résultante avec la force P, coupera le plan des deux forces Py^, P^n suivant la diagonale du rectangle construit sur ces deux forces. Donc la ré-
sulunte des forcés PV'^i, P^, qui doit évidemment être comprise dans le plan dont il s'agit, sera dirigée suivant cette dernière diagonale. Donc le lemme III subsistera quand on remplacera les forces P et Q par deux
forces égales à P\^, PV" ? c'est-à-dire par deux forces dont les carrés soient entre eux dans le rapport de m à n ;
~ = — ou
donc le lemme III subsistera encore entre les forces P et Q si Ton suppose
Q = PV/?-
Soit maintenant Q = Px, X désignant un nombre quelconque. On pourra faire varier les nombres entiers
m et riy de manière que le rapport — converge vers la
limite x*, et il est clair que, dans ce cas, la résultante des
forces P, P i/ — j dirigées suivant deux droites perpen-
dictdaires Tune k Taulre, tendra de plus en plus à se confondre en grandeur et en direction, d'une part avec la résultante des forces P, Par, et d'autre part avec la diagonale du rectangle construit sur ces deux forces. Donc la résultante des forces P, Par sera représentée par la diagonale dont il s'agit.
Corollaire ' I . — Si la force R est représentée par la longueur ÂB (fig* 4)9 portée, à partir de son point d'application, sur la droite suivant laquelle elle agit, et si Ton mène par le point  deux axes perpendiculaires Tun à l'autre, on pourra substituer à la force R ou AB les deux forces représentées en grandeur et en direction par les projections ÂC, AD de la droite AB sur les deux axes.
Corollaire II, — Concevons maintenant que, deux forces P, Q étant appliquées à un même point A et représentées par deux droites AB, AC [fig^ 5 ) , qui forment entre elles un angle quelconque, on trace, dans le plan de ces deux forces, deux axes dont l'un coïncide avec la diagonale du parallélogramme auquel elles servent de côtés, et dont l'autre soit perpendiculaire a cette diagonale : on pourra substituer aux deux forces P, Q les quatre forces représentées en grandeur el en direclion par les projerlions
COMPOSITION DBS FORCES. l3
AB', AB*, AC, AC", des droites AB, AC, sur les deux aTCs. Or de ces quatre forces, deux, étant directement opposées et égales, se feront équilibre; les deux autres, dirigées suivant la diagonale du parallélogramme, s'ajouteront et donneront pour somme une force représentée en grandeur et en direction par cette même diagonale, puis-* que AC'= B' D. On peut donc énoncer la proposition suivante :
Théorème I. — La résultante R de deux forces P,Q, Simultanément appliquées à un point matériel A, et dirigées dune manière quelconque^ est représentée^ en grandeur et en direction, par la diagonale du parallé^ logramme construit sur ces deux forces.
Réciproquement^ une force quelconque R peut être remplacée par deux autres forces P, Q, à /a seule condition que ces deux forces seront représentées, en grandeur et en directionj par les côtés iun parallélogramme dont R serait la diagonale.
Par cela même, en effet, que la force R équivaut en grandeur et en direction aux deux forces P etQ, les deux forces P et Q équivalent à la force unique R.
Corollaire I. — Comme la diagonale R du parallélogramme construit sur les deux forces P, Q, est en même temps le troisième c6té du triangle que Ton forme en menant par l'extrémilé de la première force une droite égale et parallèle à la deuxième, et que T angle opposé dans ce triangle au côté R est le supplément de Pangle
PQ, on a nécessairement, en vertu d'une formule connue de trigonométrie,
( 1 ) R» = P» -f- Q' + 2 PQ 005 PQ.
Corollaire II* — Dans le cas où les forces P, Q deviennent égales entre elles, leur résultante R est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du
l4 STATIQUB.
loaange construit sur ces mêmes forces. Alors la for-> mule (i) se réduit à
R»=2P»(h-cosPQJ.
De plus, si Ton suppose PR = 9, on aura dans le cas de deux forces égales,
PQ = 2e, R'=: 2P^(H-COS 2 9);
et comme on a cos 2 0=2cos*6 — i, l'équation qui donne R devient
(2) R = 2PcosO uu {l = 2PcoaPa.
On peut, au reste, s^assurer directement que le second membre de la formule (2) représente la diagonale du losange construit sur deux forces égales à P.
7. Il est facile de démontrer le théorème I pour le cas où les forces P, Q ont entre elles un rapport quelconque, quand une fois on a établi ce théorème pour le cas où Ton a Q = P, c'est-à-dire quand on a établi la formule
(2) R = 2pcosPR.
Or on peut donner de cette formule une démonstration directe, déduite de l'équation cos 2^=2 cos' 6 — i , et trèssimple.
Admettons que la formule (2) soîi vérifiée pour le cas
où Ion a PR = t, r désignant un angle droit ou aigu. Je dis qu^el le subsistera encore si Ton suppose
PR = - ou PR =
En effet, dans ces deux hypothèses Tangle PQ, compris entre les directions des deux forces égales P, Q, sera équivalent à l'un des angles t, tt — t, et Ton prouvera, en raisonnant comme dans le lemme II, que l'on p£^ut substituer au système des deux forces P, Q, ou à leur résul-
COMPOSITION DBS FORCES. I^
unie R, quatre composantes égales à ---9 parmi les-
quelles deux seront dirigées suivant la même droite et dans le même sens que la force R, tandis que les deux autres formeront chacune avec la résultante R un aùgle
équivalent à PQ c'est-à-dire à t ou tt — t. Or, puisque Ton suppose la formule vériGée dans le cas où Ton a
rR = T, les deux, demi ères composantes pourront évidemment être remplacées par une force unique égale
pï
à a ^ cos r, et dirigée dans le sens de la résultante R ou
R dans le sens opposé^ par conséquent on trouvera définitivement
Ipj p» pj
R»=2P»(i±cost), le signe ± devant être réduit au signe + dans le cas où
Ton aura PR = - 9 et au signe — dans le cas où Ton
aura PR = • On tirera d'ailleurs de la formule
cos 2 0 = 2 cos' 9 — I9 en y posant successivement
0 = - et 0 = ,
