R = 2PC0S

Donc si Féquatîon (2) subsiste quand on attribue à Tangle

PR la valeur t, elle subsistera encore quand pn attri-

l6 StATIQtJE.

T tt T

buera au même anslc Tune des valeurs -> • Or

cette équation se vérifie quand on suppose PR = - ou PR = jy car on a évidemment dans la première hypothèse R = o, aP cos rR = aP cos - = o, et dans la seconde, lemme III,

R=Py^, 2PC08PR = 2Pc0S^ = 2Pi/i = PV^>

donc, et il aurait suffi de considérer le cas de PR =■ 9 ' 7.

Inéquation sera également vraie si Ton prend

i^ I TT ir

PR=-. = .. ou PR = -^.-^j = -g-,

donc elle sera encore vraie si l'on attribue â Tapgle PR Tune des valeurs

l TT TT

1 Srr SîT

I / 3;r\ Stt

En continuant de même, on prouvera que la formule ( 2)

a généralement lien lorsque Tangle PR reçoit une va-

2 fît I I leur de la forme ~ — 9 n désignant un nombre entier

quelconque, et 2 m -h i un nombre impair inférieur à 2". Si on représente par 0 un angle aigu pris à volonté, on pourra faire varier les nombres entiers m, et n de ma-

nière que le rapport - — - — s'approche indéQniment de

COMPOSITION DES FORCES. in

la limite 6-, et la résultante R tendra de plus en plus à se confondre d'une part avec une force équivalente à aP cosd et d*aatre part avec la résultante de deux forces égales à P qui formeraient entre elles un angle double de 6. Donc cette dernière résultante sera représentée en grandeur par a Pcosd et vérifiera encore la formule ( a ).

Quand le théorème du parallélogramme des forces a été démontré pour deux forces égales, faisant entre elles un angle quelconque, on Téiend facilement au cas de deux forces inégales à l'aide des deux scolies suivants.

ScoLiB I. — La résultan ta de deux forces rectangulaires quelconques est représentée en grandeur et en direc^ tion par la diagonale du rectangle construit sur ces detix forces.

Soient P = AB, et Q = AC {(ig. 6) les deux forces, construisons le rectangle A6DC : les deux diagonales AD, CB sont égales et se divisent en deux parties égales. Cela posé, en menant EF parallèle à CB, la force AB peut être remplacée par deux forces égales AO, AE; la force AC, par les forces AO, AF, et les deux forces P et Q par les quatre forces AE, AO , AF, AO. AE, AF égales et opposées se détruisent, les deux forces AO s'ajoutent et équivalent à une force unique AD diagonale du rectangle ABDC. Donc le théorème, vrai dans le cas de deux forces ^ales, est vrai encore dans le cas de deux forces rectangulaires quelconques,

ScoLiB II. — La résultante de deux forces objiques quelconques est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme construit sur ces deux forces.

Construisons (fig» 7) le parallélogramme ABDC ei menons AE perpendiculaire à la diagonale AD, la force P = AB peut (scolîe I) être remplacée par les deux forces

l8 STATIQUE.

rectangulaires AG, AE, la force Q par les deux forces AH, AF; les forces égales AE, AF se détruisent: restent les forces AH, AG qui s^ajouteot et équivalent, à cause de AH := GD, à ÂD, diagonale du parallélogramme construit sur les deux forces.

8. La construction géométrique qui sert a déterminer la résultante de deux forces P, Q, appliquées à un point matériel Â, peut être facilement étendue à la composition de plusieurs forces P, P', P", . • . , appliquées suivant des directions quelconques à ce point matériel. En effet, après avoir composé entre elles les forces P, P', on pourra composer de la même manière la résultante des forces P, P' avec la force P'', puis la résultante des forces P, P', P", avec la force P*, . . .; en continuant ainsi, on aura composé successivement toutes les forces, on arrivera à une résultante dernière qui les représentera et les remplacera toutes, et Ton peut énoncer la règle suivante, qui est en même temps un théorème fondamental.

Théoremb II. — Pour obtenir la dernière résultante^ oUf ce qui revient au même, la résultante de toutes les forces données, il suffira évidemment de mener par Tex* trémité de la droite qui représente la première force P, une seconde droite égale et parallèle à la force V\ par Fextrémité de cette seconde droite, une troisième droite égale et parallèle à la force P^j par Fextrémité de la troisième droite ^ une quatrième droite égale et parallèle à la force P'". . . . Si l'on joint ensuite le point matériel donné avec l'extrémité de la dernière droite, on obtiendra la résultante cherchée, qui se réduira, dans le cas de deux ou de trois forces^ à la diagonale du parallélogramme ou du parallélipipède construit sur ces mêmes forces, et qui, dans le cas général, formera le dernier côté d'un polygone dont les autres côtés setvnt les forces données.

FKOJECITIOMS UBS FOItiIBS.