DEUXIÈME LEÇON

Propriétés absolues el relatives des compoftantes H de la réaultanle de plusieurs forées appliquées à un point matériel. — Projectioos. — Moments linéaires. — Relations entre les moment» linéaires de la résultante et des composantes.

9. La constraction donc nous avons fait usage pour dëterminer ta résultante de plusieurs forces P, P', W appliquées à un point matériel A, subsiste quelles que soient les directions de ces mêmes forces, et par conséquent dans le cas où elles sont dirigées suivant une même droite^ les unes dans un sens, les autres en sens cotitraire. Cest au reste ce qu'il est facile de vérifier à posteriori. En effet, la construction indiquée consiste à mener par Textrémité de la droite qui représente la première force P, une deuxième droite égale et parallèle à la force P', par Textrémîté de cette deuxième droite une troisième droite égale et parallèle à la force P", par l'extrémité de la troisième droite une force égale et parallèle à la force P'*^, .... Si l'on joint ensuite le point matériel donné avec l'extrémité de la dernière droite, on obtiendra la résultante cherchée, qui se réduit dans le cas de deux on de trois forces k la diagonale du parallélogramme ou du parallélipipède construit sur ces mêmes forces, et qui, dans le cas général, forme le dernier côté d'un polygone dont les autres côtés sont les forces données. Or, si l'on construit de cette manière la résultanie de plusieurs forces P, P', P", . . . , Q, Q', Q"^, . . . , dirigées suivant une même droite, les unes dans un sens, les autres en sens contraire, on trouvera que cette résultante est égale à la somme des forces qui agissent dans un sens, moins la somme des

forces qui agissent daiis Tautre seDS, ei qu'elle est dirigée dans le sens des forces qui composent la plus grande somme, ce qui devait être. Ainsi, par exemple, pour obtenir la résultante de deux forces P, Q, appliquées au point A ctdirigées suivant la même droite, il suffiradepor-» ter sur cette droite, à partir du point A, A6=P [fig- 8), dans le sens de la première force, puis, à partir du point B, BD ou BD' = Q, dans le sens de l'autre force. La force représentée en grandeur et en direction par la droite AD ou AD', force évidemment égale à la valeur numérique de P + Q) dans le cas où les deux forces sont dirigées dans le même sens, ou à la valeur numérique de P — Q, et dirigée dans le sens de la plus grande des forces quand elles agissent en sens contraire, sera précisémicnt la résultante cherchée. Ce qui s'accorde avec les principes développés précédeuimenl.

10. ConvEMTiONS, DÉFiMiTiOMS. — Lorsqu uuc force P, appliquée au point matériel A, est représentée en grandeur et en direction par une certaine longueur AB comprise entre le point A et le point 6, si Ton projette la longueur AB sur un plan ou sur une droite, la projection pourra être censée représenter en grandeur et en direction une nouvelle force dirigée de la projection du point A vers la projection du point B. Cette nouvelle force est ce qu'on appelle la projection de la force donnée P sur le plan oti siu* la droite que Ton considère. Cela posé, concevons que tous les points de l'espace étant rapportés à trois axes rectangulaires OX, OY, OZ (fig* g), desx, j', z, on projette successivement la force P sur trois parallèles à ces trois axes menées par le point A. Les trois projections seront évidemment les côtés d'un parai léli pi pède rectangle qui aura la force P pour diagonale \ par conséquent la force P sera la résultante des trois forces représentées

par les projections dont il s'agit. Ces trois forces se nom* ment par cette raison les composantes rectangulaires de la force donnée, parallèles aux axes. Comme les projections d'une longueur sur deux droites parallèles sont nécessairement égales, il est clair que les projections de la force P sur les axes mêmes des coordonnées doivent être égales en intensité à ses composantes rectangulaires. Lorsque la force P est dirigée suivant une droite comprise dans l'un des plans coordonnés, ou dans un plan parallèle, par exemple dans le plan xy^ cette force a seulement deux composantes rectangulaires parallèles, Tune à l'axe des x, l'autre à l'axe des j^ et se réduit à la diagonale du rectangle construit sur ces deux forces.

Les conventions ou définitions précédentes admises, concevons que plusieurs forces P, P', P'', ..., dirigées dans l'espace d'une manière quelconque, soient appliquées simultanément au point matériel A, et que Ton cherche : i" la résultante de ces forces, 7? la résultante de leurs projections sur un plan fixe, 3° la résultante de leurs projections sur un axe fixe.

Pour obtenir ces trois résultantes, il faudra, d'après la règle trouvée précédemment, porter à la suite les unes des autres à partir du point A on de ses projections : 1° des droites égales et parallèles aux forces P, P', . . ., a" des droites égales et parallèles à leurs projections sur le plan fixe, 3*^ des droites égales à leurs projections sur l'axe fixe et dirigées dans le même sens. En joignant le point A ou ses projections avec les extrémités des dernières droites, on obtiendra dans chaque cas la résultante cherchée. Or, les droites ainsi construites sur le plan ou sur l'axe fixe étant évidemment les projections des droites construites dans l'espace, on doit nécessairement conclure que la résultante des projections des forces P, P', P", . . . , sur re plan, ou sur cet axe, est précisément la projection

23 STATIQL'E.

(le la résultante de ces mêmes forces. On peut donc énon* cer le théorème suivant.

Théorème I. — Plusieurs forces P, P', P'', . . . , étant appliquées au même point suii^ant des directions quelconques, si on les projette, ainsi que leur résultante R, sur un plan ou sur un axe donné, la projection de cette résultante ne sera autre chose que la résultante de leurs projections.

Pour montrer une application de ce théorème, supposons que Ton projette à la fois sur l'un des plans coordonnés une force et ses trois composantes rectangulaires^ comme parmi les projections de ces trois composantes Tune s'évanouira, les deux autres projections respectivement égales aux composantes qui leur correspondent, auront nécessairement pour résultante la projection de la force donnée.

11 . II est facile de traduire eu analyse les résultats que nous venons d^ obtenir, nous allons tout à Fheure eu donner les moyens ; mais auparavant il est nécessaire de fixer le sens de certaines expressions dont nous ferons un fréquent usage dans ce qui va suivre.

Pour que Teffet d^une force soit complètement déterminé, il ne suffit pas de connaître son intensité, son point d'application et la droite suivant laquelle elle agit, il faut connaître de plus dans quel sens elle est dirigée suivant cette droite, on, en d'autres termes, quelle est sa direction: car deux forces qui agissent suivant une même droite, peuvent être dirigées en sens contraires. On ne sera doncpoint étonné de nous entendre dire qu'une seule droite comprend deux directions dilTérentes. On n 'obtient qu'une seule de ces deux directions, lorsqu'à partir d un point donné on prolonge indéfiniment colle droilr dans un sens détermine.

Souvent on appelle axe une droite menée par un point quelconque dans l'espace et prolongée indéfi ni ment dans les deux sens. Nous dirons qu'un axe de cette espèce se divise en deux demi-axes aboutissant au point que l'on considère, et dont chacun se prolonge indéfiniment dans un seul sens. Par conséquent chacun de ces deux demiaxes aura toujours une direction déterminée. Si Ton considère trois axes, rectangulaires, OX, OY, OZ {fig- 9)9 desx, desj^, des z^ chacun d'eux sera divisé à l'origine en deux demi-axes sur Tun desquels se compteront les coordonnées positives, tandis que l'on comptera sur l'autre les coordonnées négatives.

D'après ces définitions, il est clair que si Ton lient compte seulement des angles qui renferment au plus 180% deux axes ou deux droites tracées de manière à se couper formeront toujours Tune avec l'autre deux angles, l'un aigu, l'autre obtus, tandis que deux directions ou deux demi -axes aboutissant à un point donné formeront un seul angle tantôt aigu, tantôt obtus. Lorsque deux droites ou deux demi-axes aboutiront à deux points différents de l'espace, ils seront censés former entre eux le même angle que formeraient deux demi-axes parallèles et prolongés dans le même sens, à partir d'un point unique. Cela posé, l'angle que deux forces formeront entre elles sera toujours complètement déterminé, et l'on en pourra dire autant des angles formés par une force avet* les demi-axes des coordonnées positives.

Soient a, o, y, ces trois angles pour une certaine force, en sorte que a, 6, y désignent les angles formés par .la direction de cette force avec les demi-axes des x, j^, z positives, il est clair que la direction de la force P sera complètement déterminée si l'on connaît son point d'application avec les angles a, 6, y. En effet, menez par le point d'application trois demi-axes parallèles à ceux des

sà4 statique.

coordounées positives, et construisez ensuite autour de ces demi-axes trois cônes droits, dont les génératrices forment respectivement avec ces mêmes demi-axes les angles a, 6, y. La direction de la force P devra être celle d^une géné- .ratrice commune aux trois cônes ; or il est bien vrai que les surfaces des deux premiers cônes se coupent suivant deux génératrices, mais on doit observer que ces génératrices formant avec le troisième demi-axe deux angles différents, Tun aigu, l'autre obtus, une seule se trouve comprise dans la surface du troisième cône.

Lorsque les angles a, q, y sont connus avec l'intensité de la force, on en déduit encore les valeurs des composantes rectangulaires de la force ou, en d'autres ternies, ses projections sur les axes, et même le sens dans lequel chacune de ses projections est dirigée. Considérons, par exemple, la projection de la force P sur l'axe des x ; elle sera, d'après un théorème de trigonométrie, égale au produit de cette force par le cosinus de Tangle aigu qu'elle forme avec Taxe dont il s^agit.Or la direction de la force P forme avec les deux demi-axes des x positives et des X négatives deux angles suppléments Tun de Tautre, dont le premier est représenté par a et le second par k — ce. En conséquence la projection de la force P sur l'axe des x se trouvera représentée, si Tangle a est aigu, par le produit Pcos a, et, si l'angle est obtus, par

P ces ( TT — a) = — P ces a,

c'est-à-dire dans les deux cas par la valeur numérique du produit P cos a. * .

Il est d'ailleurs évident que cette projection sera diriger dans le sens des x positives si Tangle a est aigu, dans le sens des x négatives si Fangle a est obtus, et que le produit Pcos a sera positif dans le premier cas, négatif dans le second. En résumé, le produit P cos a sera équivalent

à la projection de la force P sur l'axe des Xy prise avec le signe -H ou avec le signe — , suivant que cette projection sera dirigée dans le sens des x positives ou des x négatives.

De même les produits Pcos S, P cos y seront respectivement égaux aux projections de la force P sur les axes des y et des 2, prises tantôt avec le signe -h, tantôt avec le signe — , suivant que chacune de ces projections sera dirigée dans le sens des coordonnées positives ou négatives.

12. Les trois produits Pcos a, Pcosê, Pcos 7, dont uous connaissons maintenant la signification, sont ce que nous appellerons désormais les projections algébriques de la force P sur les axes des oc, des y, des z. Comme les va leurs numériques de ces trois produits représentent pré- Gisement les composantes rectangulaires de la force P, et que ces trois composantes sont les arêtes d'un paralléli* pipède rectangle qui a la force elle-même pour diagonale. • il est clair que la somme des carrés de ces produits doit être égale au carré de P. On a donc

P'= P'cos'a 4- P»coâ'6 -♦- P'cos-7.

On en conclut, en divisant par P',

1 = CD»' a -H ces' 6 "h cos' 7.

Cette dernière équation, qu'on pouvait écrire à pnon\ exprime que a, S, y sont trois angles formés par une même droite avec les axes des coordonnées.

13. Considérons à présent plusieurs forces P, P, P", . . . , simultanément appliquées à un point matériel A. Soit R leur résultante, et supposons que les forces P, P', P\ . . . R, forment respectivement avec les demi-axes dcsx, desy

ei des z posilivcs des angles

a, a', a',. . ., «; 6, 6', 6",. . ., ^; l>l'yl"y ••»'*•

Si Ton projette ces dillërentos forces sur l'axe des x, la projection de la résultante R étant la résultante des projections P, P', P", . . . , sera équivalente à la somme de ces dernières projections prises tantôt avec le signe -h, tantôt avec le signe — , suivant qu^ elles seront dirigées dans le même sens ou dans le sens opposé. D*ailleurs la somme ainsi obtenue sera évidemment égale au signe près à la somme des projections algébriques des forces P, P', P', . . ., c'est-à-dire à

P cos a -f- P' cosa' -t- 9" cos «"-+-...,

puisque dans cette seconde somme deux forces dont les projections sont dirigées en sens contraire fournissent toujours deux termes de signes différents. Ajoutons que les deux sommes seront affectées du même signe ou de signes contraires suivant que la projection de la résultante agira dans le sens des x positives ou dans le sens des X négatives. Cette projection étant elle-même égale à R cos a pris avec le signe 4- dans le premier cas, avec le signe — dans le second, ou doit en conclure que les deux quantités R cos a, et P cosa H- P' cos«' 4- . . . , auront non-seulement la même valeur numérique, mais encore le même signe. On aura donc

R cosa = P cosa 4- P' cos a' -h ... .

En d'autres termes, la projection algébrique de la résultante sur Taxe sera équivalente à la somme des projections algébriques des composantes sur le même axe. La même relation devant évidemment subsister entre les

projections algébriques des forces

sur les axes des y et des z, il est clair qu'à réqualion précédente, on pourra joindre celles qui suivent :

R CCS 6 = P ces 6 -h P' cos€' -f- . . . , R CCS c = P C0S7 H- P' ces 7' 4- . . . •

Lorsque les forces P, P', P", . . . , sont connues en grandeur et en direction, les trois équations

IR ces a = P CCS « -h F ces a' -4- ... , R cos6 = P cos6 -f- P' cos6' -+-..., R ces c = P C0S7 •+- P' CCS 7' H- ... ,

servent à déterminer la grandeur et la direction de la résultante. En effet, on connaît alors les seconds membres des équations dont il s^agit, et si, pour abréger, on les désigne par X, Y, Z, on aura simplement

(1) Rcosa = X, Rcos6 = Y, Rcosi: = Z;

or on tire de ces dernières équations

R'(cos^ a H- ces' ^ -H cos*c) = X'-h Y' -h Z%

ou, puisque les angles a, &, c, sont assujettis à Féquation de condition cos* a -+- cos' b •+- cos*c = i ,

(3) R»=X'-}.Y»-hZ%

R =:v^X»-hY^-+-Z'.

14. La valeur de R étant ainsi déterminée, on obtiendra les angles a, &, c, dont cbacuu renferme au plus 180'', par le moyen des équations

( 4 ) ^'os n = —^ r<»s h = — n cos (•=-—•

On voit par ces équations que les rosinui» des angles cherchés sont positifs ou négatifs en nirmo temps que les

quantités X, Y, Z qui leur correspondent respeclivemenl. Par suite les angles a, &, c seront aigus ou obtus suivant que les quantités X, Y, Z seront positives ou négatives.

Lorsque dans la formule (3) on substitue pour X, Y, Z leurs valeurs en ayant égard aux équations de condition

cos^a -h cos'6 -j- cos'y = i , ces' a' -h ces' 6' -+- cos*7' == I ,

ou trouve

l -t- 2 PP' (cos a cos a' -4- ces 6 cos6'-H ces 7 6037') (5) /

j 4- 2 PP*' (cos a cos a" -h cos 6 cos6''-H cos 7 cos 7^^ ) -f-. . .

( -f-2P'P"(cosa'cosa"-f-cos6'cos6"-4-cos7'cos7")4-....

Dans le cas particulier où la résultante est formée seulement par la composition des deux forces P, P', Téquation précédente se réduit à

R'= P' -+- P"-f-2PP'(C0Sa fOS«'-h COSêcOsS' -h COS7 COS7').

Mais^ d'après ce qui a été dit, on doit avoir aussi

R' = F» H- P'» + 2PP'cosPP'.

Les deux valeurs de R' devant être égales, on en conclut

co» PP' = cos a cos a' -h cos 6 cos 6' -|- cos 7 cos 7'.

Par conséquent, pour obtenir le cosinus de Tangle compris entre deux directions, il suffit de multiplier deux à deux les cosinus des angles que ces mêmes directions forment avec les demi-axes des coordonnées positives, et d'ajouter les produits : ce qui forme un théorème connu d'analyse appliquée. En vertu de ce théorème, on aura encore, dans le cas général et quel que soit le nombre des

forces P, P', P ', . . .

ces PP" = cosa cos a" -h cosS cos6" -h ces 7 cosy", cos P'P" = cos o! cos a" + cos6'co8 6* -h cosy' CO87",

par suite Téquation (5) se trouvera réduite à

(6) ( +2PP'c0SPP'H-2PP''c0SPP"-h...

( H-2p'P"cosP'P"H-

Ainsi le carré de la résultante de plusieurs forces est ^al à la somme des carrés des composantes, plus la somme de leiurs doubles produits respectivement multipliés par les cosinus des angles compris entre les directions de ces mêmes forces composées deux à deux.

Les composantes rectangulaires de la résultante R ou ses projections sur les axes des x, y^ z étant précisément ^ales aux valeurs numériques des quantités X, Y, Z, il est facile d^en conclure que les projections de celte résultante sur les plans coordonnés respectivement perpendiculaires aux mêmes axes, c'est-à-dire sur les plans ^2, z:r et jey, seront représentées par les expressions

v/Y»-t-ZS v^Z'4-X', v^X' -f- Y".

IS. Après avoir exposé les propriétés d^une résultante relativement aux projections, nous passons à celles qui regardent les moments.

Si d'un point O (fig* 9) pris dans Fespace, à volonté, on abaisse la perpendiculaire OE sur la direction d'une force donnée AB=P, le produit de celte perpendiculaire par la force elle-même représentera le double de la surface du triangle AOB qui a pour base la force AB, et pour sommet le point O. Ce même produit, équivalent, comme on vient de le dire, au double de la surface OAB, est ce qu'on

3o îiTATlQUE.

appelle le moment de la forée P par rapport au poiiil O. De plus, le plan du triangle OAB, ou, en d^autres termes, le plan qui passe par le point O et par la force AB est ce qu^on nomme le plan du moment* Cela posé, il est clair que le moment d^une force ÂB reste le même, lorsque, sans changer l'intensité et la direction delà force, on déplace le point d'application A, de manière à le transporter en un autre point A' {fig» lo) de la direction dont il s'agit. En effet, si sur la droite AB prolongée on prend A'B'= AB, les deux triangles OAB, OA'B', ayant même base et même hauteur, auront é\ idemment des surfaces égales.

16. Le moment d'ime force n'étant autre chose que le produit de cette force par la perpendiculaire abaissée d'un point donné sur sa direction, le point à partir duquel on abaisse la perpendiculaire s'appelle Torigine ou le centre des moments. Le plus souvent on place le centre des moments k Torigine même des coordonnées. La droite OA menée du centre des moments au point d'application de la force sera désignée sous le nom de rayon vecteur. Ce rayon vecteur est l'un des côtés du triangle OAB dont la surface doublée équivaut au moment de la force AB^ d'où il est aisé de conclure que l'on obtiendra encore un produit égal à ce moment, si l'on multiplie le rayon vecteur OA par la perpendiculaire BC (fig* n) abaissée du point B sur ce rayon vecteur, ou, ce qui revient au même, par la projection AB' de la force AB sur un plan perpendiculaire au rayon vecteur.

17. Si l'on projette sur un plan quelconque le centre des moments et la force AB, on obtiendra en même temps pour projection du triangle OAB un nouveau triangle qui aura pour sommet la projection du point O, et pour base la projection de la force AB. Ce nouveau triangle sera donc celui dont la surface doublée mesure le moment

MOMENTS LINÉAIRES DES FORCES. 3l

(le la force projeléc par rapport h la projection du centre dès moments. Ainsi le moment de la projection d'une force sur un plan quelconque est égal à la projection sur ce même plan d'une surface équivalente au moment de la force donnée et comprise dans le plan du moment. Cest ce que nous exprimerons en disant que le moment fie la projection (Tune force ne diffère pas de la pro'^ jection de son moment.

18. Le plan du moment d'une force AB=P peut tourner dans deux sens différents autour du centre des moments. Si l'on vient à fixer ce même rentre, et que le rayon vecteur se change en une droite rigide, la force appliquée à l'extrémité mobile de cette droite tendra évidemnoient à imprimer au plan du moment un seul des deux mouvements de rotation qu'il peut recevoir. Suppoeoos que ce mouvement ait lieu, et que Ton ait élevé par le centre des moments un demi-axe perpendiculaire au plan. Un spectateur, qui aurait les pieds posés sur ce plan, et qui serait appuyé contre le demi*axe, verrait les diOerents points du plan se mouvoir en passant devant lui, de sa droite à sa gauche, ou de sa gauche à sa droite, ce que nous exprimerons en disant que le mouvement de rotation a lieu dedi*oite à gauche ou de gauche à droite. On doit observer au reste que si par le centre des moments on élevait à la fois deux demi-axes perpendiculaires au plan du moment, le même mouvement de rotation paraîtrait s^efiectuer autour de l'un de ces demi-axes de droite à gauche, et autour de l'autre de gauche à droite. Revenons maintenant au cas où l'on trace un seul demi-axe, et sup« posons que ce soit précisément celui autour duquel le mouvement de rotation s'effectue de droite à gauche. Si à partir du centre des moments on porte sur ce demi-axe une longueur numériquement égale au moment de la force

3ï STATIQUE.

P, on obliendra ce que nous appellerons le moment linéaire de cette force. La direction de ce momen t linéaire sera celle du demi-axe sur lequel il se compte^ et son intensité SLursL pour mesure le moment même de la force P.

19. Concevons à présent que dans le plan du moment de la force P ou AB (fig- la) on fasse varier cette force en grandeur et en direction, de sorte qu'elle se ôhange en une nouvelle force P' ou AB' toujours appliquée au point A, et propre à faire tourner le plan dans le même sens que la première autour du centre des moments. Les moments linéaires des deux forces P et P' devront être portés sur le même demi -axe; et si Ton projette ces deux forces AB, AB' sur un plan mené par le point A perpendiculairement au rayon vecteur^ les projections AC^ AC auront encore la même direction. Imaginons ensuite que le plan du moment de la force P' vienne à se détacher du plan du moment de la force P en tournant d'une certaine quantité autour du rayon vecteur. Pendant ce mouvement deux demi-axes perpendiculaires au rayon vecteur, aboutissant à deux points différents de ce rayon, et assujettis h tourner autour de ces points avec le plan du moment de la force P', décriront évidemment des angles égaux . Or, comme on peut supposer que ces deux demi-axes coïncident le premier avec la projection AC de la force P' sur le plan mené par le point A perpendiculairement au rayon vecteur, le second avec le demi-axe OL' mené par le point O, et sur lequel on compte le moment linéaire de la même force, nous devons conclure qu'après l'arrivée de la force P' dans sa nouvelle position le^ moments linéaires OL, OL' des forces P', P comprendront entre eux le même angle que les projections AG, AC de ces forces sur le plan perpendiculaire au rayon vecteur. Il est d'ailleurs essentiel d'observer qu'il suffit de choisir convena-