MOMEUTTS LINÉAIRES DES FORCES

biement Tîntensité de la force P, sa direction par rapport an rayon vecteur dans le plan, et la quantité dont on fait tourner ce même plan, pour que cette force parvenue dans sa nouvelle position coïncide avec une force quelconque menée par le point A. Ou peut donc énoncer la proposition suivante :

Théorème II. — Si deux forces quelconques appli-quées au point A sont projetées sur un plan perpendiculaire au rayon vecteur^ qui joint le point A auec le centre des moments, les projections formeront entre elles le même angle que les moments linéaires dçs forces données,

20. Considérons maintenant avec deux forces P, P', simultanément appliquées au point A, la résultante de ces deux forces. $oient O le point pris pour origine des moments, OA le rayon vecteur; et supposons que l'on ronstruîse tout à la fois les moments linéaires des forces P, P', R^ avec les projections de ces forces sur le plan mené par le point A perpendiculairement au rayon vecteur. D'après ce qu^on vient de dire, les moments linéaires formeront entre eux les mêmes angles que les projections des forces correspondantes \ et, de plus, ces moments seront, en vertu de leur définition même, respectivement égaux aux produits qu'on obtient en multipliant le rayon vecteur par les projections dont il s'agit. Cela posé, concevons : 1^ que les droites AB, AC, AD représentent en grandeur et en direction les projections des force» P, P', R; a° que les droites OE, OF, OG représentent en grandeur et en direction leurs moments linéaires. Ces trois dernières droites seront proportionnelles aux tix)is premières, puisque Ton a

OE = OAXAB, OF=:OAXAC, OG = OAXAD;

et, prises deux à deux, elles formeront cnirc elles les I. 3

mêmes angles. Par suite les deux figures ABCD, OEFG seront des figures semblables. Or la force projetée AD étant la résnliante des forces projetées AB, AC, puisque {n^ 8) la projection de la résultante est aussi la résultante des projections , la figure ABCD est nécessairement un parallélogramme, donc la figure OEFG en sera un également. Donc le moment linéaire OG de la résultante R sera la diagonale du parallélogramme construit sur les moments linéaires des composantes ; et pour l'obtenir il suffira de mener, par l'extrémité du moment linéaire de la force P, une droite égale et parallèle au moment de la force P^ puis de joindre le centre des moments avec Textrémité de cette droite. Ainsi les moments linéaires se composent comme les forces elles-mêmes et à Taide de la même construction. Cette remarque ne se borne pas au cas où Ton considère deux composantes, elle s*étend à un nombre quelconque de forces P, P', P", . . . ; car il est clair qu^en répétant plusieurs fois de suite la construction indiquée, d'une part sur les forces combinées deux à deux, de' Tautre sur les moments linéaires correspondants, on obtiendra par le même procédé: i^ la résultante de toutes ces forces ; a® le moment linéaire de cette résultante. Enfin la remarque subsiste, quelles que soient les directions des forces données, et celles de leurs moments linéaires respectifs, et par conséquent dans le cas même ou quelques-unes de ces directions viendraient à coïncider.

Pour indiquer que le moment linéaire de la résultante de plusieurs forces P, P', P'', . . • , résulte de la composition de leurs moments linéaires, nous le désignerons désormais sous le nom de moment linéaire résultant.

Dans le cas particulier où le plan des moments de deux forces coïncide^ c'est-à-dire lorsqu'un seul plan renferme à la fois le centre des moments et les deux forces,

mohbuts linéaires des forces. 35

leurs moments linéaires se comptent évidemment sur un seul axe perpendiculaire au plan dont il s^agît. De plus, ils se comptent sur cet axe, dans le même sens ou dans des sens opposés, suivant que les forces données tendent à faire tourner le plan qui les renferme dans le même sens ou en sens contraires. Si toutes les forces P, P', P^, • • . , appliquées au point matériel A se trouvaient comprises avec le centre des moments dans un plan unique, tous les moments linéaires se comptant alors sur le même axe, le moment linéaire de la résultante serait égal à la somme des moments linéaires des composantes, pris avec le signe + ou avec le signe — , suivant que les forces correspondantes tendraient à faire tourner le plan de tous les moments dans le même sens que la résultante ou en sens inverse.

21 • Revenons au cas où les moments linéaires des forces P, P', . . . , ont des directions quelconques. Dans ce cas, au lieu de construire géométriquement le moment linéaire de la résultante^ on pourrait déterminer analyttquement son intensité et sa direction. En effet, soit R cette résultante et désignons par

les perpendictdaires abaissées du centre des moments sur les directions des forces

K^y ET f M. ,...,X«.|

leurs moments linéaires seront représentés par

et si l'on suppose que les directions de ces moments linéaires forment respectivement, avec le demi-axe des x positives les angles

avec le demi-axe des y positives les angles

avec le demi-axe des z positives les angles

les produits

P/7COS1, PV'cosV, P"/>"cosX",. . ., Rrcos/^ P/;cosfi) V p^ CQ/i \tf ^ P"/;" cos ^" , . . . , Rrcosm, P/> cos V , P'/?' cos v' , P'^/?" ces v" , . . . , R r ces «,

seront ce qu^on peut appeler les projections algébriques des moments linéaires dont il s^agit sur les axes x^ y^ z. Cela posé, puisque le moment linéaire R r est à Fégard des autres ce qu'est la résultante R à T égard des forces P, P', P",..., les relations trouvées entre les projections algébriques des forces P, P, P^, « . • , R subsisteront entre les projections algébriques des moments linéaires P/?, V f/^ V" //', . • , ,R r. En conséquence la projection algébrique sur chaque axe du moment linéaire résultant sera égale à la somme des projections algébriques sur le même axe des moments linéaires des composantes. On aura donc les trois équations

IRrcos/ = P/> cos X 4- PiP' cos X' 4- P V cos 1" H ^ Rr cosm = P/^cosfn + V'p' cos fi' H- P^'^os f**'-!- . . . , Rrcos/i =P/icos v-f P'/?'cos v'+P'^/i'^cos v''4-. . . .

Si à ces trois équations on réunit la suivante,

(a) cos'/4-cos'/w-f-cos'/i = i,

on obtiendra quatre équations suffisantes pour déterminer les valeurs des quatre inconnues Rr, /, "m, /i, c'est-àdire la direction et Fintensité du moment linéaire résultant, toutes les fois qu'on connaîtra en grandeur et en

MOIIEIITS LIVÉAIHES DES FORCES. 3^

direction les moments linéaires des forces P, P^, P'^, .... Les seconds membres des équations (i) étant dans cette hypothèse des quantités connues, si, pour abréger, on les désigne par L, M, N, on aura

(3) Rrcos/ = Ly Rrcosiit = M, Rrcos/islf.

Or on tire de ces dernières équations, en ayant égard à la formule (2),

Donc, par suite,

(4) Rr=^L»4-M»-f.N«.

L'intensité Rr ou la grandeur du moment linéaire résultant étant ainsi déterminée, on obtiendra les angles /, m, n, que sa direction forme avec les axes des coordonnées positives, par le moyen des équations

(5) cos/=— , cos/ii = — , cos/i = — ;

ces angles seront aigus ou obtus, suivant que les quantités L, M, N seront positives ou négatives.

22. Les calculs qui précèdent subsistent quel que soit le point de l'espace qu'on ait pris pour centre des mo* nients. Dans le cas particulier où ce centre coïncide avec l'originedes coordonnées, on peut exprimer les projections algébriques du moment linéaire de chaque force au moyen de Tintensitéde cette force, des coordonnées de son point d'application et des angles que fait sa direction avec les demi-axes des coordonnées positives. On y parvient facilement à Taide des considérations suivantes.

Le moment de la force P appliquée au point A, savoir P^, représente, comme on l'a dit ci-dessus, le double de la surface du triangle OAB, qui a pour base la force

âB =: P, et pour sommet le point O centre des moments^ c'est-à-dire dans le cas présent l'origine des coordonnées. Xa surface de ce triangle est donc 7 Pp. En la multipliant par cos X, c'est-à-dire par le cosinus de Tangle que forme la direction du moment linéaire avec le demi -axe des X positives, on obtient la moitié de la projection algébrique de ce moment linéaire. Or le moment linéaire .se comptant sur Tun des deux demi-âxes perpendiculaires au plan du moment Pp, et Taxe des x étant perpendiculaire au plan des yz^ Tangle X sera évidemment Tun des angles que le pfan des moments fait avec le plan àesyZj angles qui, étant suppléments Tun de Tautre, ont, au signe près, le même cosinus. D'ailleurs si Ton multiplie une surface plane par le cosinus de l'angle aigu compris entre le plan qui la renferme et un autre plan pris à volonté, on aura pour produit la projection de la surface plane sur ce dernier plan. Donc le produit | Vp cos X sera égal, au signe prés, à la projection du triangle OAB sur le plan des yz. Donc, par suite, la projection algébrique du moment linéaire, savoir Pp cosX, sera égale, au signe près, au double de la surface du triangle projeté, ou, en d'autres termes, au moment de la force P projetée ellemême sur le plan desyz. Ajoutons que le produit Fp cos X sera positif ou négatif, suivant que Tangle X, formé par la direction du moment linéaire avec le demi-axe des x positives, sera aigu-ou obtus, c'est-à-dire, en d'autres termes, suivant que la force P tendra à faire tourner le plan de son moment de droite a gauche ou de gauche à droite, autour du demi-axe perpendiculaire à ce plan, et qui forme avec le demi-axe des x positives un angle aigu. Ur il est clair que la projection de la force P sur le plan des yz tendra elle-même à faire tourner ce dernier plan autour du demi-axe des x positives, de droite à gauche dans le premier cas, et de gauche à droite dans le second. On

MOMENTS LIHÉAllIES DES FOECES. Sg

peut donc conclure que le produit Vp cos X, c'est-à-dire la projection algébrique du moment linéaire de la force P sur l'axe des x, sera égal au moment de la force "projetée sur le plan des yzj ce dernier moment étant pris avec le signe -h ou avec le signe — , suivant que la force projetée tendra à faire tourner le plan des yz de droite à gauche ou de gauche à droite autour du demi-axe des x positives. On prouvera de même que la projection algébrique du moment linéaire de la force P sur Taxe des y ou des z est égale au moment de la force projetée sur celui des plans coordonnés auquel cet axe est perpendiculaire, le dernier moment étant pris avee le signe + ou avec le signe — , suivant que la force projetée tend à faire tourner le pian dont il s'agit de droite à gauche ou de gauche à droite autour du demi-axe desj^ ou des z positives.

23. Considérons maintenant Tangle solide trièdre qui a pour arêtes les trois demi -axes des coordonnées positives, et concevons qu'un rayon mobile d'une longueur indéfinie, mené par Torigine, fasse le tour de cet angle solide en s' appliquant successivement sur ses trois faces. Son mouvement sur chaque face sera un mouvement de rotation, de droite à gauche ou de gauche à droite, autour de l'arêle perpendiculaire à cette face. De plu8) il est aisé de voir que les trois mouvements de rotation sur les trois faces, c'est-à-dire, en d'autres termes, sur les trois plans coordonnés seront de même espèce. Par exemple, si la disposition des demi-axes des coordonnées positives est celle que représente \^fig> lAy ^^ ^^î se trouve la plus usitée, les trois mouvements de rotation auront lieu de droite à gauche, autour de ces trois demiaxes, lorsque le rayon mobile, faisant le lourde Tangle solide, passera successivement de la position OX à la position OY et de celle-ci à la position OZ, pour revenir en-

4o STÀTIQIIE.

suite a la position OX. Si le demi-axe des z positives se trouvait transporté de l'antre côté du plan des xy^ alors les mouvements de rotation auraient lieu de droite à gauche, dans le cas où le rayon mobile prendrait successivement les trois positions OX, OZ, OY ^fig» iS), pour revenir ensuite directement de la position OY à la position OX.

Afin de bien distinguer les deux espèces de mouvement que peut prendre un rayon mobile, assujetti à passer par Toriginc et à parcourir Tune après Tautre les trois faces de Tangle solide OXYZ, nous dirons que ce rayon mobile a dans chacun des trois plans coordonnés un mouvement direct de rotation, s^il passe successivement de la position OX à la position OY et de celle-ci à la posi^ tion OZ. Nous dirons dans le cas contraire que le rayon a un mouvement de rotation rétrograde. Cela posé, si Ton adopte la disposition U plus ordinaire pour les demiaxes des coordonnées positives, les mouvements directs de rotation autour de ces demi-axes auront lieu de droite À gauche et les mouvements rétrogrades de gauche à droite, c'est-à-dire que dans cette disposition le mouvc^ ment est direct lorsqu'il se fait dans Tordre des lettres.

24. La force P pouvant être remplacée par ses trois composantes, la projection algébrique de son moment linéaire sur Taxe des x sera égale à la somme des projections algébriques sur le même axe des moments linéaires de ces trois composantes , ou, en d'autres termes, à la somme des moments des mêmes composantes projetées sur le plan des yz^ ces derniers moments étant pris avec le signe + ou avec le signe — suivant que les forces projetées tendront a imprimer au plan des yz un mouvement de rotation direct ou rétrograde. Or les compo* santés de la force P parallèles aux axes des x^y^ Zy sont

MOMENTS LINÉAiaES DES FORCES. 4^

respectivement égales aux valeurs numériques des trois produits Pcosâc, PcosS, Pcosy. Quand on les projette sur le plan des yz^ le premier se réduit à zéro, tandis que les deux autres conservent leurs intensités respectives. De plus, les projections des deux deriiières composantés agissent évidemment suivant des droites menées parallèlement aux axes des y et des 2, par la projection du point d'application de la force P. Soient x^ y y z les coordonnées de ce point dans Tespace. La projection de la composante parallèle à Taxe des z aura un moment égal au produit de son intensité par la perpendiculaire abaissée de Torigine sur sa direction, c'est-à-dire par la valeur numérique de j*. Ce moment sera donc représenté car la valeur numérique du produit Pcosy.j'. On trouvera de même que la projection de la composante parallèle à Taxe des^ a un moment représenté par la valeur numérique du produit Pco^o.z. Ajoutons que des deux projections dont il s'agit, la première tendra à produire un mouvement de rotation direct si Pcosy et y sont de même signe, c'est-à-dire si le produit Pcos 7.^ est positif, la deuxième si PcosS et z sont de signes diflérents, c'està-dii*e si le produit PcosS . z est négatif. Les mouvements de rotation deviendront rétrogrades dans les suppositions contraires. Par suite, pour obtenir les projections algébriques sur Taxe des x des moments linéaires que fournissent les deux composantes de la force P parallèles aux axes desz et des y, il faudra prendre le produit Pj^cosê avec le signe -f- et le produit Pz cosê avec le signe — . La somme des deux résultats, savoir P(ycos7 — zcosê), devant être équivalente à la projection algébrique sur l'axe des x du moment linéaire de la force P, on aura nécessairement

P/) cos X = P {/ cos 7 — z cos 6).

4 a STATIQUE.

On trouverait de même en projetant les moments linéaires de la force P et de ses composantes sur les axes des y et desj^r

P/>coSfx=P(zcosa — XC0S7), P/?cosv = P(xcos6 — ^cosa).

Il est au reste essentiel d'observer que les trois équations

IP/> ces ^ = P (/ cos 7 — % ''OS 6) , P/>cosfA = P (z cos a — XC0S7), P/^ cos V = P (x cos 6 — ^'cosa),

ont lieu seulement dans le cas où Ton adopte pour les

demi-axes des coordonnées positives la disposition la

plus ordinaire, c'est*à-dire lorsque les mouvements de

rotation de droite à gauche autour de ces demi-axes sont

en même temps des mouvements directs et tendent a faire

passer un rayon mobile :

• daas le plan yz de la direct, des y posit. à la direct, des z posit.,

dans »zj: i>» z» »» x •

dans V xy » » .r n » » y it

Si les mouvements de rotation de droite à gauche autour des mêmes demi-axes devenaient rétrogrades, alors il faudrait remplacer les formules (6) par les suivantes :

IVp cos X = P (« cos 6 — ) cos 7 ), P/)cos|A=: P (j:cos7 — «cos a), P/? cos V = P ( j cos a — X cos 6 } .

Lorsque dans chacune des équations (6) et (7) on supprime le facteur P, commun aux deux membres, elles se réduisent à

p cos X =r / cos 7 z cos 6 ,

( 8 ) ( p cos \L= z cos a — X cos 7 ,

p cos V = x cos % — y C05 JL ,