MOMENTS LIKÉAIRES DES FORCES

ments de droite à gauche autour des demi -axes des coordonnées positives sont des mouvements directs, et le signe inférieur dans le cas contraire.

Si aux é({uations ( 7) on réunit la suivante

cos' > H- cos* Il H- cos' V = I ,

on en tirera

(n) p =[(j:*-4-7'-hz')— (xcosa4-/cos6-f «cos7)'J » ,

et après avoir ainsi déterminé la valeur dep^ on obtiendra celle des angles X, fx, v, par le moyen des formules :

/ ^ i 7C0S7 — secs 6 ^«rosa — xcosy

* , XCOSb— rcosa

ces V = ± •

Les valeurs précédentes de cos X, cos fx, cos v, satisfont évidemment aux deux équations de condition

cos a cos \ + cos 6 cos \i -f- cos 7 cos v =z u , xcosX+/cosftH-«cosv = o.

Or comme les demi-axes des coordonnées positives formen t les angles a, €, 7, avec la direction de la force P, et les angles X, (A, V 9 avec la direction de son moment linéaire Vp^ la somme

cos a cos X + cos € cosfA + cos 7 cos y

représente nécessairement le cosinus de Tangle compris entre les deux directions ; donc la première équation de condition exprime que ce cosinus est nul, ou, ce qui revient au même, que les deux directions se coupent à angles droits. De même, puisque le rayon vecteur mené de Torigioe au point d'application de la force P a pour projections algébriques sur les axes les coordonnées x^y^ z, et forme,

par conséquent, avec les demi-axes des coordonnées positives des angles qui ont pour cosinus respectifs

Tangle compris entre la direction de ce rayon vecteur et celle du moment linéaire aura aussi évidemment pour

cosinus

X ces X -+- X ces fA H- « ces v

Donc la deuxième équalion de condition, que Ton obtient en égalant ce cosinus à zéro, exprime que la direction du moment linéaire se compte sur une droite en même temps perpendiculaire a la force P et au rayon vecteur. On aurait pu immédiatement poser ces deux équations , desquelles on déduit la formule

y cos 7 — z cos 6 z cos a — .r cos y x cos 6 — y cos a cos \ cos fA cos y

par Téli mi nation successive des trois coordonnées x^y^z. Ajoutons que l'équation (i i) peut elle-même se démontrer directement. En effet, le rayon vecteur mené de l'origine au point d'application de la force P est représenté

par V^J^M-jM-^j et Tangle que forme la direction de

ce rayon Vecteur avec celle de la force P, ayant pour co^

X cos v.-^- y cos 6 -h « cos 7 sinus — "i aura nécessairement pour

sinus

[(x cos a -f- ^ cos 6 -f- « cos 7 )1 ' [x^-hj^*-l-«' — ( ar cos a -h ,r cos 6 -h «cos 7)*]»^

et, en multipliant ce sinus par le rayon vecteur lui-même.

MOMENTS LinéAIRES DES FORCES. 4? <

on obtiendra évidemment la valeur de la perpendiculaire p et par conséquent Téquation (i i).

Des formules (jii) et (la) réunies on déduit facilement la formule (lo). Pour le démontrer, il suffit de remarquer

que si plusieurs fractions données t) p> jûy» • • • » ^^^ équîfvalenies entre elles et ont des dénominateurs de

même signe, la fraction ^"^ ,, rTr— sera encore équi-

valente à toutes les autres^ d'où il résulte que la formule

entraine toujours la suivante:

b b' b" yJb^^b'^^b'^K,.

Cela posé, il est clair quW tirera des formules (i i) et ( 1 3) réunies

/ cos 7 — z ces 6 z 008 a — j: cos 7 x cos 6 — x ^^^ *

cos \ "^ cos |A cos V

[x' + 7'-+- »' — (x cosa -♦- 7 ces 6 4- «ces 7)]» ,

Mais il importe de faire remarquer que la méthode à Taide de laquelle on vient de trouver la formule (10), ne donne pas le moyen de décider quel signe on doit attribuer dans cette formule à la quantité p,

96. Concevons maintenant que plusieurs forces P, P, P'', . • . , se trouvent simultanément appliquées au point A» qui a pour coordonnées x^y^z^,. .'^ désignons par R leur réstd tante, et supposons que les forces P, P', P'', . . . ,R,

48 STATIQCE.

formeDt avec \g$ demi-axes des coordonnées positives les angles a, o/, gl"^. ., ,a, 6, 6', 6^', . . . ,i, y, /, j^, . . . ,r, Si l'on exprime les projections algébriques des moments linéaires de ces mêmes forces sur les axes des coordonnées en fonction des diverses quantités que nous venons de représenter par des lettres, et si Ton égale ensuite la projection algébrique sur chaque axe du moment linéaire résultant à la somme des projections algébriques des nK>ments linéaires des composantes, on obtiendra les trois équations

R (y CCS c — z cos ô) = P [y cos y — z cos 6)

-h P'(/cos7' — 2cose')-f-. . .

, R(zcostf — d;cosr)= p («cosa — xcosy) ^' ' ^ -f-P'(2COSa'— xcos7')4-. . .

R [xQOsb — jcosa) = P(:pcos6— ^cosa)

-H P' [x cos 6' — X COS a') -h ... .

Or si Ton fait varier le point d^application de toutes les forces, en transportant toutes ces forces parallèlement à elles-mêmes, les seules quantités jr, y^ x, varieront dans les équations (i3). Ces équations doivent donc subsister, lorsqu'on y considère les ordonnées Xy y y z^ comme indéterminées; et par conséquent les coefficients de^, /, z, doivent avoir les mêmes valeurs dans les seconds membres de chaque formule. En égalant deux à deux ces coeffi* cients, on retrouve les équations

[ R cosfl = P cos a H- P' cos a' -H . . . ,

{i4) \ Rco5A = Pcos€h- P'cos€'-f-. . >

( Rcosc= PC0S7-+- P'cosy'-h. ..,

déjà obtenues précédemment. Ainsi les trois équations relatives aux moments des forces entraînent celles qui se rapportent aux projections. Réciproquement, les équations (i4) étant données, il est clair qu'on en déduira immédiatement les équations (i3).