MOMENTS LINÉAIRES DES FORCES. J^Q

27. Dans ce qui précède, nous avons supposé que Ir point O, centre des moments, coïncidait avec rorigiue des coordonnées. Imaginons k présent que l'on transporte ce même centre en un point.' Oo dont les coordonnées soient respectivement Xo, y©? ^oj et cherchons à exprimer les projections algébriques du moment linéaire de la force P par le moyen des quantités P, «, 6, 7; r, r, z*

Pour y parvenir, on observera que si Ton transpoitait à la fois le centre des moments et Torigine des coordonnées au point 0©, les coordonnées du point A par rapport à cette nouvelle origine étant alors exprimées par les difierences x — Xo^y — Xo ? ^ — Zq^ les projections algébriques du moment linéaire de la force P, par rapport h la même origine, seraient égales, au signe près, au:^ trois produits

I P[(r — .r«)C0S7 — (3— Za)cOs6],

;i5) / P[(3 — «,)cosa — (t — jr,jcos7l,

[ P[(^— a:«)cQ56— (/ — Jo)cosa].

Ces trois derniers procluits, pris avec le signe •+- dans les cas où les mouvements de rotation directs ont lieu de droite à gauche autour 'des demi-axes des coordonnées positives, et avec le signe — dans le cas contraire, représentent donc les projections algébriques du moment linéaire de la force P, par rapport au point O».

28. Si Ton donne a la fois les projections algébriques d'une force et les projections algébriques de son moment linéaire, on connaîtra par suite l'intensité de la force, la droite suivant laquelle elle agit, et le sens dans lequel elle est dirigée. En effet, soit P la force en question, Pp son moment linéaire, et a, 6, 7, X, (a, v, les angles que la force et son moment linéaire font avec les demi- axes des coordonnées positives. Si l'on suppose données les six quan-

5o STATIQUE.

tités

Pcosa, Pcosê, PCO87,

P/>COSl, P^COSfJt, P/7C0SV,

on en déduira immédiatement les valeurs des suivantes

P, a, 6, 7; P/7, >, ft, V,

c'est-à-dire les intensités de la force et du moment linéaire avec les angles qui déterminent leurs directions respectives. On pourra donc construire : i^ le moment linéaire en grandeur et en direction ; fi? une force nonseulement égale et parallèle à la force P, mais encore dirigée dans le même sens. En. menant par le centre des moments un plan perpendiculaire à la direction du moment linéaire, on obtiendra le plan du moment delà force P, plan qui devra contenir cette force (on pourrait supposer que la force égale et parallèle à P est construite, comme le moment linéaire, à partir du centre des moments; alors la force construite se trouverait dans le plan du moment de la force P) : ce pian devra donc être parallèle à la force construite, ce qui aura lieu si là direction du moment linéaire et celle de la force construite comprennent entre elles un angle droi t, ou , en d'autres termes, si l'éqUation de condition

{ 16) cosa cosX 4- cos C cosf* -h C0S7 cosv = o

est satisfaite.

Cette condition étant supposée remplie, on divisera Pintensitë P/> du moment linéaire par Tintensité de la force P) pour obtenir la perpendiculaire p abaissée sur la direction de cette force du centre des moments ; puis on tracera dans le plan du moment de la force P deux droites parallèles à la force construite et situées départ et d'autre du centre des moments k la distance p* Cela posé, il ne restera plus qu'à transporter la force construite

MO:££»TS LiAÉAia£â DES FORCES. 5f

parallèlement à elle-même^ de manière qu'elle agisse smvant l'une de ces droites, et tende i faire tourner leur plau de droite à gauche autour du centre des moments. L'obligation où Ton est de satisfaire à cette dernière con<dition déterminera quelle est la parallèle que Ton doit préférer. Quant au point d^ application de la force P sur cette parallèle, il restera complètement indéterminé*, ce qu'il était facile de prévoir. Car si Ton porte sur la même droite, mais à partir de deux points différents, deux forces égales et dirigées dans le même sens, leurs projections algébriques seront évidemment égales, et il en sera de même de leurs moments^ ainsi que des projections algébriques de leurs moments linéaires.

U est bon d'observer que Téquaiion (i6) multipliée par V*p peut être présentée sous la forme

(17) Pcosa.PpcosX4-Pcos6. P/?cosfA-f-PcoS7.P/?cosv= o.

De plus, en attribuant des valeurs finies quelconques aux six quantités

Poosa, Pcos6, PCO87, P^cos)., P/^ costx, Ppcosv,

on en déduit évidemment des valeurs finies pour les suivantes :

P, a, 6, 7; Ppj )., fA, V,

et même pour la quantité

Pjj

k moins toutefois que la force P ne s'évanouisse, auquel cas ses projections algébriques sont toutes nulles simultanément. Lorsqu'on fait abstraction de ce cas particulier, la seule condition nécessaire pour que six quantités

5 a sTATiQue.

prises aa hasard puissent être censées représenter : i° les projections algébriques d'une force, ù? les projections algébriques de son moment linéaire, se réduit i celle que fournit Téquatîon

P cos «. Vp cos X -f- P ces 6. Pp cos f* -4- P cosy. Pp cos v = o,

c*esi-à-dire à Tévanouissement total de la somme qu'on obtient en multipliant deux à deux les projections algébriques correspondantes, puis ajoutant les trois produits ainsi formés.

ÉQUILIBRE DVK POlDiT. 53