TROISIÈME LEÇON

Détermina tion de la résultanle d*an nombre quelconque de force» appliquées au m6me point, de son intensité, de sa direction, du sens dans lequel elle agit. — Conditions d'équilibre d'un point matériel i<> libre dans l'espace; i^ assujetti k rester sur une surface donnée; 3<* assujetti à rester à la fois sur deux surfaces ou sur une courbe donnée.

29. En vertu des principes que nous venons d'établir, il est clair que si plusieurs forces étant appliquées au même point, on donne : i^ les sommes X, Y, Z, de leurs projections algébriques sur les axes des x^y^ z^7?les sommes L, M, N, des projections algébriques de leurs moments linéaires sur les mêmes axes, on pourra déterminer rintensité de la résultante, la direction suivant laquelle elle agit, et le sens dans lequelelle est dirigée.

Comme les six quantités

représentent précisément les projections algébriques de cette résultante et de son moment linéaire, on devra obtenir une somme nulle en les multipliant deux i deux» et ajoutant les produits ainsi obtenus. On aura donc (n^ !28)

(î) LX-+-MY-hMZ=:o;

de plus, la résultante ne pourra s'évanouir que dans le cas particulier où ses trois composantes, c'est-à-dire les trois quantités X, Y, Z seront nulles simultanément.

Soient en général, R cette résultante; a, &, c les angles que sa direction fait avec les demi-axes des coordonnées positives 5 Rrson moment linéaire; enfin, /, w, n les

angles que forme la direction du moment linéaire avec les mêmes demi-axes; les valeurs des huit quantités

R, û, by c, r, /, /w, n,

se trouveront déterminées par le moyçn des huit équations

!R cosa = X, R cos é = Y, R cosc = Z, cos^ a -f- cos^ à -h co»*c = i , !Rrcos/ = L, Rrcos/w=M, Rrcos/i^N, c<is'/ -h cos'm 4- ces' n =. i^

desquelles on tirera

R sr ^X» H- îr* -H ZS

cosa=~9 C0S0 = — î C0SC = 7-»

r = VL'+M' + N' X ^>

cos/ = — . cos m = j^, cos« = — •

Cela posé, R aura évidemment une valeur finie et différente de zéro, excepté dans le cas particulier où X, Y, Z s'évanouiraient simultanément. Si Ton fait absti^action de ce cas particulier, les quantités a, b^ c, r auront toujours des valeurs finies complètement déterminées ; et il en sera de même des trois angles ly m, n, à moins toutefois que R ne s'évanouisse, c'est-à-dire à moins que les trois quantités [j, M, N ne deviennent nulles en même temps. Mais dans ce dernier cas le moment linéaire Rr se réduisant à zéro, il n'y aurait plus lièa de chercher les angles /, m, n que aa direction fait avec les demi-axes» des coordonnées positives. Dans la même hypothèse la force R agirait suivant une droite menée par le centre dos moments de manièixî à former avec ces demi-axes les

ÉQUILIBRE UVh POUIT. 53

angles a^ b^c. Ajoutons que dans le cas général la direction du moment linéaire Rr devant être perpendiculaire a celle de la résultante R, les valeurs de a, b^ c, /, m, n devront vérifier Féquation de condition

(6) cosa cos/ + cos6 cosm + co9ccos/i =o.

Or cette équation se réduit en vertu des formules (4)

et (5) à