LX-f-MY-4-NZ

"sTr = ^'

et par conséquent à Féquation

(i) LX-I-MYh-N2 = o.

30. Les valeurs de X, Y, Z, L, M, N, ou, ce qui revient au même, celles des quantités R, a, fr, c, r, l^m^n^ supposées connues , ne suffisent pas pour déterminer le point d^applicatiôn de la résultante R. Soient Ç, 13^ ^ les coordonnées de ce même point. Si Ton adopte pour les demi-axes positifs là disposition la plus ordinaire, on pourra donner aux trois premières équations (3) la forme suivante :

R (u cos c — »- 1; cos ^) = L,

(7) \ R(;cosa — Çcosc) = My

R(Çcos^ — iicosa)=X<.

On en conclura, en ayant égard aux trois premières équalions (a),

lïZ — ÇY = L,

(8) ( ÇX — ÇZ = M,

gY— *ïX = N.

n semble au premier abord que ces trois formules fournissent le moyen de déterminer les trois inconnues (, 19, ^ en fonction des six quantités X, Y, Z, L, M , N) mais il faut observer que si Ton ajoute les équations (8) après avoir

multiplié la première par X, la deuxième par Y, la troisième par Z, on trouvera la condition LX -H MY -h NZ = o . Cette condition devant toujoiirs être remplie par les valeurs données de X, Y, Z, L, M, N, il en résulte que deux des équations (8) entraînent la troisième. Donc il n'existera en réalité que deux équations entre les coordonnées ^9 >7) C* ^^^ deux équations étant du premier degré, les dilTérents systèmes de valeurs qu'elles fournissent pour ces coordonnées correspondent à des points situés sur une même droite. Cette droite sera précisément celle suivant laquelle agit la résultante R. Sa projection sur le plan des yz sera représentée par la première des équations (8), sur le plan des xz parla deuxième, et sur le plan des xy par la troisième.

3i l'on fait passer une parallèle à cette même droite par Toriginc des coordonnées, les trois équations de laparallèle seront rcspectivemejit :

uZ^tY=:o,

ÇX — ÇZ = o,

çY— iîX = o,

rt pourront être remplacées par la formule

X"" Tf "" z'

à laquelle on parviendrait directement en observant que cette parallèle comprend la direction d'une force qui, appliquée à Torigine, aurait pour projection algébrique sur les axes les quantités X, Y, Z.

Si Ton plaçait le centre des moments au point jto, 7^09 ««9 les étfuations (8) se trouveraient remplacées par les

suivantes :

(Lutin, si le centre des moments coïncidait avec un point

ÉQUILIBRE D UN POIAT. 5 7

situé sur la direction de la force R, on aarail a la fois

ei les équations (9) se trouveraient comprises dans la s^ule formule

on aurait par suite

Ç — X, n — /„ Ç — «• cosa cos^ cosc

Cette dernière formule présente sous la forme la plus simple les équations d^une droite qui passe par le point ^•» Xù'9 ^ù et qui, prolongée dans un certain sens, fait avec les demi-axes des coordonnées positives les angles a, i, c.

Appliquons maintenant ces propriétés analytiques de la résultante à la recherche des conditions d'équilibre d'un point matériel soumis à Faction de forces quelconques.

31. Considérons un point matériel soumis à Faction des forces P, P', P", . . . , dont la résultante est représentée par R, et supposons d'abord que ce point matériel soit entièremeut libre. Pour qu'il ne prenne aucun mouvement, il faudra et il suffira que la résiiltante R se réduise a zéro. Or^ si l'on rapporte la position du point à trois axes rectangulaires des or, y^ z et que l'on désigne par X, Y, Z les sommes des projections algébriques des forces

données sur ces trois axes, on aura R = v'X' H- Y* -h Z*. Donc l'équation

entraînera les trois suivantes

(10) X=:o, Y = o, Z=io.

Réciproquement, si ces trois dernières équations se trouvent \érifiées^ la première le sera aiisbi. Par suite,

pour qu^un point malériel libre soumis à raction de plusieurs forces P, P\ V"^ . . • , reste en Àjuilibre dans Tespace, trois conditions sont nécessaires et suflSsantes : savoir que les sommes des projections algébriques de ces forces sur trois axes rectangulaires se réduisent à zéro.

32. Supposons maintenant le point matériel assujetti à rester sur une surface donnée, il ne sera plus nécessaire que la résultante R se réduise à zéro; mais il suffira évidemment qu'elle soit normale ou perpendiculaire à la surface donnée, auquel cas elle se trouvera détruite par la résistance même de cette surface. Soit

tf = o

Téquation de la surface en question, u désignant une certaine fonction des coordonnées Xf^yZ'^ la normale menée par le point auquel appartiennent les coordonnées X, y^ z étant prolongée dans une certaine direction formera avec les demi-axes des coordonnées positives des angles dont les cosinus seront représentés par :

du dx

du du

De plus, si Ton suppose la résultante R appliquée à ce

ÉQUILIBRE d'i;N POlftT. 5t;

point, et si Ton appelle a, b^ c les angles formés par la direction de cette résaltante avec les demi-axes des coordonnées positives, on trouvera

cos a = -- =

^ ^X^-hY^-hZ»'

cos & = — - =

cos c = — =

R ^X»-t-Y»-HZ'

Cette direction devant coïncider avec celle de la normale prolongée dans un sens ou dans un autre, il faudra que Ton ait dans le cas d'équilibre

du X , dx

v/(êy-($)'-(è)''

le môme signe devant être adopté à la fois dans les seconds membres. des trois équations. Il est essentiel d'observer qu'on peut remplacer le système de ces trois équations par*la formule

6o STATIQUE.

de laquelle il résulte que noa-seulement les trois fraclioiM

sont égales enlr« elles, mais encore

\dx) \dr) \dz)

que chacune d*elles est ëgale à

Cela posé, comme la formule (i i) équivaut à deux équations seulement, il est clair que les conditions d'équilibre d'un point sur une surface se réduisent à deux. On énonce à la fois ces deux conditions en disant queles sommes des projections algébriques des forces appliquées au point donné doivent être respectivement proportionnelles aux cosinus des angles que forme la normale à la surface avec les demi -axes des coordonnées positives, ou, ce qui revient au même, aux dérivées partielles de la fonction qui forme le premier membre de l'équation de la surface.

Pour donner un exemple de l'équilibre dont il s'agit ici, supposons que deux points qui ont pour coordonnées respectives, le premier a:© > J^o 5 ^0 » le deuxième, Xyjr^ z^ soient liés entre eux par une droite rigide et invariable, et que le premier de ces deux points devienne fixe \ le second, resté mobile, ne pourra se mouvoir que sur la surface de la sphère qui a pour équation

r désignant la distance invaiiable des deux points. Kn présentant cette équation sous la forme

ÉQUILIBRE d'uh point. 6l

on aura dans le cas présent :

du . du f/u

Par suite, si l'on suppose les forces P, P', . . . , appljqué<*s au second point, et si l'on désigne, comme k l'ordinaire, par X, Y, Z les sommes des projections algébriques de ces forces sur les axes, 011 trouvera, au lieu de la formule (ii),

Les deux équations comprises dans cette formule suffisent donc pour assurer l'équilibre du point matériel situé sur la surface de la sphère. Elles expriment que la résultante R des forces P, P', P^, . . . , est perpendiculaire à cette même surface, c*est-à-dire dirigée suivant le rayon de la sphère ou suivant son prolongement. On pourrait déduire la même conclusion des remarques faites dans la dernièie leçon, puisque, d'après ces remarques, la double équation

appartient à la droite qui passe par le point dont les coordonnées sont Xo, j^0 9 ^09 et suivant laquelle agit la force dont les projections algébriques sont X, Y, Z. Ainsi pour qu'une droite invariable dont une extrémité reste iixe et dont l'extrémité mobile est sollicitée par les forces P, P', . . . , demeure en équilibre, il faut, et il suffit que la résultante R de toutes les forces données agisse suivant cette même droite dans un sens ou dans un autre.

Nous avons supposé implicitement que la surface sur laquelle un point matériel était en équilibre présentait une résistance' indéfinie. Si elle ne pouvait sans se briser

résister au delà d'une certaine limite, il deviendrait nécessaire pour Tëquilibre que la résultante R des forces données ne dépassât pas cette limite. Enfin si le point matériel était simplement posé sur la surface, il faudrait que ce point matériel fût appuyé contre elle'par la résultante R, et par suite qu'elle fût dirigée dans un sens déterminé.

Dans le cas, par exemple, du point matériel posé sur la surface de la sphère, les trois quantités X, Y, Z doi* vent être affectées de signes contraires à ceux des diffé* rences x — J o» y — J^o» z — z^.

33. Considérons maintenant un point matériel assujetti à rester à la fois sur deux surfaces, ou, ce qui revient au même, sur la courbe qui résulte de leur intersection. Pour que ce point matériel reste en équilibre sous l'action de plusieurs forces P, P', P^, . . . , il sera nécessaire et il suffira que la résultante R puisse se décomposer en deux forces perpendiculaires aux deux surfaces; celte condition sera remplie si la résultante R est normale à la courbe d'intersection. Soient

tt = o. p = o

les équations des deux surfaces, ou, en d'autres termes, les deux équations de la courbe. Ces équations détermineront j- et X eu fonction de x, et la tangente à la courbe au point dont les coordonnées sont x, j^ Zy prolongée dans un certain sens, formera, avec les demi*axes des coordonnées positives, des angles qui auront pour cosinus les fractiouB

dx df dt

^dx^^dr^-^dz* ^dx^-i- dy -h dz^ ^ dx" -{- dy^ -^ dt^

Supposons la résultante R appliquée à ce même point et désignons par X, Y, Z les sommes des projections algé-

ÉguiLiBBE d'un point. 63

briques des forces P, P, P', . . . ,

V^X'-hY»-l-Z»' \/X»-hY»-hZ'' v^X»-f-Y' + Z»'

seront les cosinus des angles que la direction de la résultante R forme avec les demi-axes des coordonnées positives, et la somme

représentera le cosinus de Tangle compris entre cette direction et celle de la tangente à la courbe. Cet angle devant être droit, son cosinus devra être nul \ et par conséquent les conditions d'équilibre du point matériel sur la courbe se réduiront à une seule exprimée par l'équation

(la) Xd:»-f-Y<(r-HZ^« = o.

Prenons pour exemple un point matériel assujetti â rester sur le cercle tracé dans le plan xy et qui a pour équation

(x— j-,)*-f-(r— .n)»=r% zz=o.

On a dans ce cas

fijr dx flz

par suite Téquation (la) deviendra

Y(.r — jr,)— X(r — r»)=0» 0«

ces équations prouvent que la résultante coïncide avec le rayon mené du centre du cercle au point x, y^ ou qu^elle est normale â la circonférence du cercle.

64 STATÏQL'E.