QUATRIÈME LEÇON

Propriétés d*UD système de forces appliquées à différents points matériels dans l'espace. — Couples. — Moment et moment linéaire d*un couple. — Force principale, moment linéaire principal, axe principal. —Cas de une, de deux, de trois fo^es. Application à la recherche des conditions d*équilibre d'une droite invariable et d'un triangle invariable.

34. Après avoir trouvé les conditions d'équilibre d*mi [K>int matériel soit libre, soit assujetti à rester sur une courbe ou sur une surface donnée, nous devons rechercher les équations d'équilibre d'un système composé de plusieurs points liésiiivariablcment entre eux, et sollicités par des forces quelconques. Pour faciliter cette recherché nous allons d*abord faire connaître quelques propriétés générales d'un semblable système.

Soient respectivement a:, y, z] orf^y'y ^'3 a:", j", z"\ . . . , les diflërents points que l'on considère; P, P, P",^, ., les différentes forces qui les sollicitent réduites à une seule pour chacun d'eux. Concevons de plus qu^ ces mêmes forces foiment respectivement avec les demi-axes des coordonnées positives les angles

Les projections algébriques de la force P sur les axes seront

P cos a, p cos €, P cos 7 ;

tandis que les projections algébriques de son moment linéaire se trouveront représentées, si l'on place le centre des moments à l'origine des coordonnées, par les trois

FORCE PRIMCIPALS VT MOMEUT PRIUCIPÀL.

pitxlttits

P(jcoS7 — icosê), P(»cos a— jrco»7), P(j:cos6 — ^cosa),

et, si Ton place le centre des moments au point qui a pour coordonnées Xo^jr^^ ^09 pstr les suivants

P [tr— r»)«» 7— (*—*•) *^^]» P[(»— *.)cosa— («— jp,)co87l, P [(x — x.) CCS € — (^ — ^0) ces a].

On peut remarquer d'ailleurs que, pour obtenir ces trois derniers produits, il suffit d^ajouter respectivement aux trois premiers les quantités

P(/«co$7— «,cbS6), V{z^cd<a — j:,coi7), P(j:.cos6 — ^/•cosoc),

prises en signe contraire, c'est-à-dire, en d'autres termes, les projections algébriques sur les axes du moment linéaire d'une force égale et parallèle à P, maïs dirigée en sens contraire et appliquée au point Xo, 7^0» •^o) ce moment linéaire étant calculé pour le cas où Ton place le centre des moments k Torigine des coordonnées. De cette remar^ que on déduit immédiatement la proposition suivante :

Théorème L — Si\ en plaçant le centre des moments à Forigine des coordonnées^ on construit: t^ le moment linéaire de la force P, 2** le moment linéaire ^ une force égale et parallèle^ mais dirigée en sens contraire et ap^ pliquée au point x^, y^f Zo, le moment linéaire résultant transporté parallèlement à lui-métne au point dont il s'agit^ représentera en grandeur et en direction le mo^ ment linéaire de la force P par rapport à ce même point.

35. Nous dirons avec M. Poinsot que deux forces forment un couple Ioi:squ' elles sont égales et parallèles, mais dirigées en sens contraire, suivantdeux droites différentes, elle moment de ce couple ou son moment linéaire sera ce que devient le moment ou le moment linéaire de l'une des forces, quand on prend le point d'application de l'autre pour centre des moments. Cela posé, le moment du I. S

couple sera évidemment égal au produit de l*uQe des forces par leur distance mutuelle, c'est-à-dire, eu d'autres termes, à la surface du parallélogramme construit sur les deux forces^ et le plan du moment du couple sera précisément le plan de ce parallélogramme, ou, si Ton veut, celui qui renferme les deux forces données. De plus le moment linéaire du couple élevé par le point d'application de l'une des forces se comptera sur le demi-axe perpendiculaire au plau du couple, et autour duquel l'autre force tend à produire un mouvement de rotation de droite à gauche. Enfin, comme dans la proposition ci-dessus les points d'application des deux forces P et Torigine des coordonnées peuvent être des points quelconques de Tespace, il est clair que cette proposition se réduira simplement à celle que nous allons énoncer :

Théoième II. — Lorsque deux forces forment un couplcy le moment linéaire résultant pour le système de ces deux forces est égal et parallèle au moment du couple et dirigé dans le même sens, quelque soit le point de r espace quon prenne pour centre des moments.

36. Revenons maintenant au système des forces P, P, P", . . . , appliquées k différents points de l'espace. Soient respectivement X, Y, Z, L, M, N les sommes des projections algébriques des forces et de leurs moments linéaires dans le cas ou l'on place le centre des moments à l'origine des coordonnées. On aura

X = P cos a -h P' ces a' -h ... , Y = Pcos.€ -4- P'cosS' -+-..,

Z = Pros7 -^- P'^'O^v' -+-.... L = P (,)• C0S7 — z cos 6 ) H- . . , M= P (scosa — XCOS7) -f- . . . , N = P fr ces fi — r cas a'i -h , . . .

FORCE PKIWCIPALE ET MOMEIVT PRINCIPAL. 67

Cela posé, si par un poini quelconque on mène des forces P> P'» P'^ . . . , égales et parallèles aux forces données, leur résultante, que je désignerai par R^ aura pour valeur

et formera avec les demi-axes des coordonnées positives dçs angles a, b^ c, déterminés par les équations

(3) COSÛ=--, COS&r=^, COSC=:

ti A R

De plus, si, prenant le point dont il s'agit pour centre des moments, on construit les moments linéaires des forces données, on pourra composer ces moments entre eux de manière a obtenir en définitive un moment linéaire résultant. Soit K ce dernier moment et désignons par /, m, n les angles que forme sa direction avec les demi -axes des coordonnées positives. Si le point pris pour centre des moments se confond avec l'origine des coordonnées, on aura évidemment

(4) K=:s/L»-hM»-i-NS

\0) €OS/=--» COSW = --» COS/t=— ,

puisque les projections algébriques du moment linéaire résultant devront être respectivement égales aux sommes des projections algébriques de tous les autres. Si le même points supposé distinct de l'origine, avait pour coordonnées Xo^jo^ ^0) il faudrait, d'après ce qui a été dit ci-dessus, lui appliquer des forces égales et parallèles atix forces P, F, P",.!., mais dirigées en sens contraire. En joignant ces nouvelles forces au système des forces données, et composant les uns avec les autres les moments linéaires de toutes les forces pris par rapport à Torigine, on formerait un moment linéaire résultant égal et parallèle à celui que l'on cherche et dirigé dans le même sens. Or les nou-

velles foixes étant égales et parallèles aux forces données, maisdîrigées en sens contraire, leur résultante serait ^ale et directement opposée à la force R. Par suite les sommes des projections algébriques de leurs moments linéaires seraient respectivement égales aux projections algébriques du moment linéaire de la force R prises en signe contraire, c'est-à-dire à

R [z^ cos b — x^ ces c) == z,Y — j'.Z, R(j:«cosc — ZoC08a)=x,Z — «tX, R ( Jo cos a — x, cos B) =/, X — x^Y.

Donc, si k ces trois dernières expressions on ajoute les quantités L, M, N, on trouvera pour sommes les projections algébriques du moment linéaire représenté par K ; donc, en plaçant le centre des moments au point x^, y^^ 2», on aura

/ Kcos/ = L — j«Z-h «.Y, (6) I Kcosiw = M — 2|X-i-«oZ,

( Kcos/i = N— a:tY4-r«X.

On aurait pu obtenir immédiatement les seconds membres de ces dernières équations en exprimant au moyen des quantités X, Y, Z, L, M, N, les sommes des projections algébriques des moments linéaires des forces P, P, P', . . . , par rapport au point Xo, j^o, ^o? c'est-à-dire, en d* autres termes, les trois polynômes

-+-P'[(r'— r.) «>•/-(«'— «•)cose']-h...,

P [(»-:-«•) cos a — (ar — x,) cos 7]

-f- ?'[(«' — z.) cos «' — (x'— Xo} cos 7'] -h . . . ,

P [ (x — Xo ) cos 6 — ( J — Ja ) co s a ]