LX -f. MY -t- NZ
Cette dernière expression, ainsi qu on devait s'y ^ttendre^ ne dépend pas des coordonnées du centre des moments, mais seulement des six quantités X, Y, Z, L, M, N, qui conservent les mêmes valeurs quelle que soit la position de ce centre.
38. La projection du moment linéaire principal sUr la direction de la force principale étant une quantité invariable, représente nécessairement la plus petite valeur que puisse admettre ce moment linéaire, ou, en d'autres termes, son minimum. Pour obtenir ce minimum j il faut évidemment placer le centre des moments dans un(^ position telle, que la direction du moment linéaire principal devienne parallèle à celle de la force principale. Ccltr rondilion sera remplie si l'on a
cos / cos /// cos N
FOaCE PRIMCIPALE ET MOMENT PRlNCiPAl.. n
OU, ce qui revient au même,
par conséquent, si Ton nomme ^, r/, ^ les coordonnées d'un point qui, pris pour centre des moments, remplisse la condition énoncée, on aura
^ i LX-hMY-hNZ
Celle dernière formule équivaul aux irois équalions
I 7U..V ^ LX + MY + NZ
(10) { M — ÇX-+-ÇZ = — ^^ ,
N r-r , ^Z LX + MY + WZ
Comme ces trois équations sont du premier degré relativement aux coordonnées (, 77, ^^ et que la troisième équation se déduit immédiatement des deux autres, îl est clair qu'elles appartiennent à une droite sur laquelle il suBîra de placer le centre des moments pour que le moment linéaire principal devienne un minimum. Cette droite sera désignée désormais sous le nom daxe principal,
39. Lorsque le système des forces données se réduit à une seule, les six quantités X, Y, Z, L, M, N appartiennent à cette force unique; elles i*eprésentenl les projections algébriques de cette force sur les axes et celles de son moment linéaire par rapport à rorîgine» Dans la même
7 a SXATIQVB.
hypothèse on a nécessairement LX 4- MY -h NZ = o, et par suite les équations ( lo) se réduisent à
(il) Zn— YÇ = L, XC — 2;ç = M, Y? — X>î = N,
ou en substituant pour X, Y, Z, L, M, N leurs valeurs, et transformant, a
ces a cos € cos 7
équations de la droite suivant laquelle agit la force donnée. Donc alors Taxe principal se confond avec cette droitp.
40. Lorsque le système des forces données se réduit ;i deux forces P, P', on a
X = P cosa H- F cos a', Y = Pcos6-hP'cos6', 2 = Pcos 7 -f- P' cos 7'.
Alors la force principale est la résultante de$ forces P, P' transportées au même point, elle moment linéaire principal est la diagonale du parallélogramme construit sur les moi^ents linéaires des deux forces données. Dans la même hypothèse la force principale s'évanouit lorsque les deux forces P, P' forment un couple, auquel cas on a nécessairement
( COSa'==: — COSa^ COSê' = — COS 6, co^7' = — COS7.
Dans ce cas, les projections algébriques (6) du moment linéaire principal deviennent indépendantes de la position du centre des moments ; par suite le moment linéaire principal conserve toujours la même valeur et n^admet plus de mininium, en sort« que Taxe principal disparait entièrement. La valeur constante du moment linéaire principal est alors équivalente au moment du roupie, c'csi-à-dirc au moment lin^ire de l'une des forces quand on place le contre des moments sur la direc-
TOftCE PR11IC1PA1.E ET MOMENT PRIMCIPAL. yi
lion de l'autre force, ainsi que nous l'avons déjà expli^ que. On arriverait aux mêmes conclusions en observant que dans le cas présent, les projeclions algébriques du moment linéaire principal se réduisent, en vertu des formules (i^), à
( L=P[(7— /)cos7 — (z — z')cos6], (i3) I M=P[(« — «'jcosa — (x— ar')coS7],
( 5 = P[(ar— j:')cos€ — (jr/)cosa],
c'est-à-dire aux projections algébriques du moment linéaire de la force P dans le cas où Ton prend pour centre des moments le point d'application de la force P'.
Si pour le système des forces P, P' la force principale et 1^ mompnt linéaire principal s*évanouissaient en môme temps, on en conclurait que ces deux forces sont égalof^ et agissent suivant une même droite, mais en sens contraires.
En général, quel que soit le nombre des forces P, P', P*, . . . , lorsque X, Y, Z s'évanouissent, la grandeur et la direction du moment linéaire principal deviennent indépendantes de la position du centre des moments. Par suite, si, la force principale étant nulle, le moment linéaire principal se réduit à zéro pour une certaine position du centre des moments, il s'évanouira également pour toutes les autres.
41 . G>nsidérons encore, pour mieux fixer les idées, un système composé seulement de trois forces ,P, P', P". Si pour ce système les six quantités X, Y, Z, L, M, N s'évanouissent, non-seulement la force principale s'évanouira, mais encore le moment linéaire sera lui-même nul, quel que soit le centre des moments. Cela posé, supposons que l'on fasse coïncider le centre des moments avec le point d'application de la force P". Dans ce cas, le moment linéaire de la force P'' étant nul, ceux des deux
autres forces devront être égaux ^t dirigés suivant une même droite, mais en sens contraires, afin que le moment résultant se réduise à zéro. Par suite les directions des forces P, P' devront être comprises dans un plan unique mené perpendiculairement à la droite dont il s'agit par le point d'application de la force F'. Ce plan unique renfermant les points d'application des trois forces P, P', P" sera nécessairement le plan du triangle formé avec ces trois points. Comme.au point d'application de la force W où peut substituer à volonté celui de la force P ou celui de la force P', on déduira évidemment des remarques que nous venons de faire la proposition suivante :
Théorème III. — Si pour le système des trois forces P, P', I^, les six quantitésX^ Y, Z, L, M, N s^é^auouissent, chacune ries trois forces sera comprise dans le plan du triangle qui renferme les trois points d'application.
42. Cela posé, cherchons les conditions d'équilibre de deux points matériels A et Â' soumis à l'action des deux forces P, P' et liés entre eux par une droite invariable. Si l'équilibre subsiste entre les forces appliquées aux extrémités de cette droite, ou ne le troublera pas en fixant l'une de ces extrémités, par exemple le point A'. Dans cette supposition le point A, restant seul mobile, ne pourra décrire que la surface d'une sphère, et la force P pour le maintenir en équilibre devra être normale à cette surface, par conséquent dirigée suivant A A', ou suivant son prolongement. On prouverait de même, en fixant le point A, que la force P' doit encore être dirigée suivant le rayon AA' prolongé dans un sens ou dans un autre. Concevons maintenant que, les forces P, P' agissant l'une cl l'autre suivant la droite qui joint leurs points d'application, on rende à rcs deux points leur mobilité primitive.
ÉQUILIBRE d'uKE DKOITE itv^lABLK. 75
Pour que réquilîbre <x>ntînue à subsister, il sera évidemment nécessaire que la droite soit tirée à ses extrémités par les deux forces dans deux sens opposés, et autant dans un sens que dans Tautre. Par suite les deux forces devront être égales et dirigées en sens contraires. Réciproquement, si les deux forces P, P' appliquées aux extrémités de la droite invariable A Â' sont égales entre elles et agissent suivant cette droite, mais eu sens opposés, il y aura évidemment équilibre.
Lorsque deux forces sont ^ales et agissent suivant une même droite en sens contraires, leurs moments linéaires sont nécessairement égaux et directement opposés. En conséquence, pour le système composé de ces deux forces. le moment linéaire principal s'évanouit aussi bien que la force principale. Réciproquement, si pour un système composé de deux forces P, P' la force principale et le moment linéaire principal s^évanouisseut, on pourra conclure que ces deux forces sont égales et agissent en sens contraires, suivant la droite qui joint leurs points d'application. Donc alors, si cette droite est invariable, elles se feront équilibre.
43. Pour traduire en analyse les conditions d'équilibre que nous venons de trouver, désignons par or, /, ^, jr', y\ z\ les coordonnées des points A, A'-, par a, o, y, a\ S', y' les angles que forment les directions des forces P, P' avec les demi-axes des coordonnées positives; enfin, par X, Y, Z, L, M, N les sommes des projections algébriques des deux forces sur les axes des x, ^, z et les sommes des projections algébriques sur les m^ootes axes de leurs mon^ents linéaires, dans le cas où l'on place le rentre des moments à Torigine des coordonnées. La force
principale étant représentée par v^X* -f- Y* -{-7? et le momrnl linraire principal par y^L^ -h RP ~h N*, il sera né-
ceasaire et suffisant pour l'équilibre que Ton ait i la fois
(i4) X»-^T»-hZ» = o, L» -h M» 4- N» r= o,
et par suite
Si dans ces dernières équations on remet pour X, Y, Z, L^ M, N leurs valeurs respectives, on trouvera
IP cosa -+- F cOs a' = o, P cos6 -h P' cos6' = o, P cos 7 -h P' cos 7' = o, IP (/cos 7 — «cos6) -f-P' (y cos 7' — »'cos6') =0, P (zoos a — xcos7)-4-P*(»'cosa' — x'cos7') = o, P(xcos6 — /cosa)-hP' (j/cos€' — y cos a') = 0.
En vertu des équations (16), les équations (17) deviennent
( P[{r — y)cos7 — (« — z')cos6]=ro,
(18) I P [{z — a') cos a — {x—x') COS7] = O,
[ P[^'jr — jc')cos6— (7— j')cosa] = o,
et peuvent être remplacées par les deux équations comprises dans la formule
, , Pcosa PcosS PCOS7
Ea conséquence, les six équations d'équilibre que nous avons trouvées se réduisent à cinq, savoir aux équations (16) et à celles que comprend la formule (19). Les équations (16) expriment que les forces P, P' sont égales et agissent en sens contraires suivant la mèine droite, ou suivant des droites parallèles. La formule (19) exprime que la force P agit suivant la droite qui joint les points d'application des deux forces. Ajoutons que les <^qua-
ÉQUILIBRE D*I)MB DIIOITS INVARIABLE. 7^
lions (16) et la formule (19) peuvent être remplacées par une seule formule, savoir :
(P CCS a P ces 6 P cos y X — -c' Y — r' » — z' (ao) \ -^ . ^ ^ ^ P'cosa' P'cosS' P'cos7'
En vertu de ce qui précède, une force P appliquée au point A et agissant suivant la droite AA' fera équilibre à une deuxième' force F = P appliquée à un autre point A' de la même droite et dirigée suivant cette droite, mais dans un sens contraire, pourvu que Ton suppose les deux points liés invariablement entre eux. Cet équilibre subsisterait encore si l'on transportait le point d^application de la force P de A en A', sans changer la direction de cette force, puisqu^alors on aurait au point A' deux forces égales et directement opposées. Le point A' pouvant d'ailleurs être choisi arbitrairement sur la direction de la force P, nous devons conclure qu'une force dirigée suivant une droite dont tous les points sont liés invaria« blement entre eux produit toujours le même effet en quelque point de cette droite qu'on la suppose appliquée^ C'est ce qu'on peut encore exprimer en disant que deux forces appliquées aux extrémités d'une droite invariable et agissant suivant cette droite dans le même sens sont équivalentes.
n est d'ailleurs e3sentîel d'observer qu'en transportant le point d'application d'une force partout où l'on voudra sur la direction de cette force, on ne changera jamais ni ses projections algébriques , ni celles de son moment linéaire.
Si, la droite A A' demeurant toujours invariable, l'extrémité A de cette droite était soumise à l'action de plusieurs forces P, Q, • . . , et l'extrémité A' à l'action de
^8 STATIQIJK.
plusieurs autres forces F, Q', . . ., il seiait nécessaire, et il suffirait pourTéquilibre que la résultante des forées P, Q, . . . , fut égale à la résultante des forces F, Q', . . . , et que ces deux résultantes fussent dirigées suivant la même droite, mais en sens contraire^ par suite , il serait nécessaire et il suffirait que, pour le système de toutes les forces données, la force principale et le moment linéaire principal se trouvassent réduits à zéro.
Si Ton désigne toujours par X, Y, Z, L, M, N, les sommes des projections algébriques des forces données sur Jes axes et celles de leurs moments linéaires, les deux conditions qu'on vient d^énoncer seront encore exprimées par les deux équations
(i4) X»-+-T» + Z»=ro et L' + M»-hN»=o,
ou
(i5) X = o, Y=o, Z=ro et L = o, M = o, Nr=o.
Il semble donc au premier abord qu'il y ait dans le cas présent six équations d'équilibre, mais on prouvera facilement, comme on Ta déjà fait dans un cas semblable, que la sixième équation se déduit des cinq autres.
44. On passe sans peine du cas d'une droite invariable au cas d'un triangle invariable, c'est-à dire de trois points A, A', A" liés par trois droites invariables, et soumis à Faction de trois forces données P, F, P'. Si l'équilibre subsiste, il ne sera pas troublé lorsqu'on fixera deux sommet» du triangle, par exemple les points A , A^; dans cette supposition, le point A^ restant seul mobile ne pourra décrire qu un cercle dont le plan sera perpendiculaire à celui du triangle, et dont le centre se trouvera situé sur la droite A A'. De plus, la force F' devant maintenir le point A'^ en équilibre sur la circonférence du cercle, sera nécessairement perpendiculaire à la tangente
ÉQUILIBRE d'uM TRIVKGLE INVARIABLE. no
au cercle mené par le poiiil A^', et, par conséqueiU, comprise dans le plan du triangle donné.
On arriverait encore à la môme conclusion en observant qne si la force P' n'était pas comprise dans le plan du triangle, elle ferait tourner ce plan autour de i^axe A A' devenu fixe en vertu de Thypothèse admise. Cela posé, on pourra c«>ii8truire un parallélogramme (jui ait pour dia* gonale la force P^ et dont les côtés coïncident en direction avecles droites A'^A, A^'^A^ ou avec leurs prolongements. Par snile, on pourra décomposer la force P appliquée au sommet A^^ en deux autres qui agissent suivant les côtés adjacents. Soient Q, Q^, les composantes dont il s*agit : il sera permis de transporter la force Q agissant suivant le côté A'^'A du point A'^ au point A, et la force Q' agissant suivant le côté A'' A' du point A'' au point A'; on obtiendra par ce moyen, au lieu des trois forces P, P, P', appli* quées aux trois sommets d'un triangle invariable , quatre forces P, Q, P9 Q' appliquées aux deux extrémités d'tmr; droite invariable, et qui devront encore se faire équilibre. Donc, pour le système des quatre dernières forces, la forée principale et le moment linéaire principal devront s'évanouir. D'ailleurs, la décomposition de la force P en deux antres et le transport de ces deux composantes ne peuvent changer en aucune manière, ni la force principale , ni le moment linéaire principal du système des trois forces P, P, P^ Donc aussi, lorsque le triangle invariable est en équilibre, cette force principale cl le nM>ment linéaire principal s'évanouissent. Cela posé, si l'on appelle X, Y, Z, L, M, N les sommes des projections algébriques des forces P, P, P', et celles des projections algébriques de leurs moments linéaires, on aura dans le cas d'équilibre :
(i4) X'-f-Y' -hZ'=r o, L^-hM'-f-ÎV' = o,
8o ST\TI4^1IE.
et, pai'mit^,
45. Réciproquement , on peut affirmer que le triangle invariable sera en équilibre toutes les fois que les équations (i5)serontsatisfaites,c'est-â-dire, en d'autres termes, toutes les fois que , pour le système des trois forces appliquées au sommet du triangle, la force principale et le moment linéaire principal se réduiront à zéro. En efTet, dans cette hypotbèse les directions des trois forces seront, ainsi qu'on Ta précédemment démontré, comprises dans le plan du triangle. Par suite, on pourra décomposer la force P' en deux autres dirigées vers les points A, A', et transporter ces dernières composantes de manière k les appliquer aux points dont il s'agit. On substituera^ par ce moyen, au système des trois forces données un système de quatre forces appliquées aux extrémités A, A' d'une droite invariable; et comme la force principale et le moment linéaire principal ne changeront pas de valeurs dans le passage du premier système au second, ces deux quantités seront encore nulles pour le nouveau système, d'où Ton petit conclure qu'il y aura équilibre.
Si, le triangle AA'A'^ restant invariable, chacun de ses sommets était soumis à l'action de plusieurs forces , on pourrait remplacer les différentes forces appliquées à chaque sommet par une résultante unique. Cela posé, comme le système des trois résultantes aurait la même force principale et le même moment linéaire principal que le système des forces données, on trouverait que les conditions nécessaires et suffisantes pour l'équilibre se réduisent à l'évanouissement de cette force principale et de ce moment linéaire principal, ou, ce qui revient au même, k l'évanouissement des six quantités qu^on obtient
ÉQUILIBRE d'oM TRIANGLE irv VARIABLE. 8l
en ajoutant : i^ les projections algébriques des forces données; a^ les projections algébriques de leurs moments linéaires.
Dans les deux cas que nous venons de considérer, et qui sont relatifs à l'équilibre d^un triangle invariable, la siziènie équation d'équilibre ne se déduit plus des cinq autres, comme il arrive quand on considère l'équilibre d'une droite invariable.
82 HT\TIQIJK.
