ÉQUILIBRE D'UN SYSTÈME INVARIABLE

représentas pour le premier système par les deux quantités

y/a* -H Y» -H Z% v^L»-|-M»-hW».

Et comme, en passant du premier système au second, on De change ni les sommes des projections algébriques des forces, c'est-à-dire les quantités X, Y, Z, ni les sommes des projections algébriques de leurs moments linéaires , c^est-à-dire les quantités L, M, N, il est clair que les conditions nécessaires et stiffisantes pour Téquilibrc seront exprimées par les équations

(i) X»-f-Y« + Z» = o, L»-f-M»-hN'=:o,

auxquelles on f»eul substituer les suivantes

Si l'une des forces P'", P*', . . . , avait son point d'application situe dans le plan du triangle, KA! h!' il arriverait de deux cboses Tune : ou cette force serait elle-même comprise dans le plan du triangle, et alors elle pourrait être remplacée par deux composantes appliquées à deux sommets de ce triangle, par exemple aux points A, A'; ou elle serait dirigée suivant une droite qui percerait le plan, et pourrait être alors appliquée à un nouveau point de cette droite que l'on supposerait invariablement lié avec tous les points du système. Ce nouveau point étant situé hors du plan du triangle, toute difficulté disparaîtrait. Dans l'un et l'autre cas, on parviendra également aux conclusions que nous avons déjà obtenues. On arriverait aussi au même résultat en substituant au triangle AA'A'' un triangle quelconque dont les trois sommets seraient liés invariablement au système des points donnés.

Donc , en définitive, pour que des forces quelconques appliquées aux différents points d'un système invariable

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se fassent équilibre , il csl nécessaire et il suffit que la force principale et le moment linéaire principal s^évanouissent, ou, en d^autres termes, que les sommes des projections algébriques des forces données et des projections algébriques de leurs moments linéaires se réduisent à zéro.

47. Lorsque le système des forces données ne satisfait pas aux conditions d'équilibre, on peut à ce premier système de forces en joindre un autre choisi de manière que réquilibre se trouve rétabli.

Soient dans cette hypothèse

Xj, Ti, Z|,. L|, M|, N|, ce que deyiennent les quantités

lorsqu'on passe du premier système au second ; on aura nécessairement, puisque les deux systèmes se font équilibre,

(X-f-Xi = o, T + Y,=o, Z-hZ.=o, ^' |L-f.L,=o, M-hM, = o, N-hN, = o, ou , ce qui revient au même ,

jX. = -X, Y. = -Y, Z.=^Z, ^^^ I L, = — L, M, = •- M, N, = — N.

Réciproquement, si les équations qui précèdent subsistent, la réunion des deux systèmes produira l'équilibre.

Donc, pour que deux systèmes de forces appliquées à des points liés invariablement les uns aux autres se fassent mutuellement équilibre, il est nécessaire et il suffit que dans le passage du premier système au second les sommes des projections algébriques des forces et des projections algébriques des moments linéaires conservent les mêmes valeurs numériques, mais changent de signe.