X.4-X,= o, Y, -hY,=:o, Z,4-Z, = o

L4-L,= o, M H-Ma=o, N-fN, = o,

L, 4-La = o, M, -hMa = o, . N, 4-Na=o,

et par suite

Ainsi, pour que deux systèmes de forces appliquées à des points liés par des droites invariables soient équivalents, il est nécessaire et il suffit que, de part et d'autre, les projections algébriques des forces ecde leurs moments linéaires fournissent les mêmes sommes, ce qui revienf à

dire que ces deux systèmes doivent avoir la même force principale et le même moment linéaire principal.

49. Il a été prouvé : i^que les six quantités représentées par X, Y, Z, L, M, N*, c'est-à-dire les projections algébnques sur les trois axes de la force principale et du moment linéaire principal , conservent les mêmes valeurs en changeant de signe, pour deux systèmes de forces successivement appliqués à des points liés entre eux par des droites invariables, lorsque ces deux systèmes se font équilibre; a^ que deux systèmes seront équivalents entre eux toutes les fois que les six quantités dont il s'agit ne varieront pas dans le passage de l'un à l'autre. On peut donc dire que ces six quantités étant données pour un système, son effet, relativement à Téquilibre» est complètement déterminé. On a vu d'ailleurs que, des six quantités X, Y, Z, L, M,N, on déduit immédiatement : i^ l'in-tensité de la force principale et du moment linéaire principal ; *i? les angles que les directions de cette force et de ce moment linéaire forment avec les demi «axes des coor^ données positives.

50. Concevons maintenant que pour un système de forces appliquées i des points liés invariablement les uns aux autres, on connaisse les six quantités

Pour que ce système soit réductible à une force unique, ou, en d'autres termes, pour qu'on puisse le remplacer par une force équivalente, il sera nécessaire et il suffira que les six quantités données soient propres a représenter les projections algébriques d'une seule force et de son moment linéaire. Par suite il sera nécessaire et il suffira que l'on ait en même temps

(5) X'-hY»-hZ'>o,

(iV) LX-hMY4->Z = o.

RÉDUCTIOIii DES SYSTEMES DE FORCES. 87

Ces conditions étant supposées remplies, la force équivalente au système donné sera ce qu'on nomme sa résul^ tante^ et cette résultante ne sera pas autre chose que la ibrce principale appliquée i Fun des points de la droite éoax les coordonnées ^, 77, ^ véri&ent les trois équations

(7) ',Z — CY = L, $X — ÇZ = M, |Y — nX = N.

Si Ton avait à la fois

Téquation (6) serait toujours vérifiée, mais Tinégalilé (5) se trouverait remplacée par Téquation

Dans ce cas le système donné sera évidemment réductible à deux forces égales et parallèles, mais dirigées en sens contraire, de manière à former un couple. En effet, pour obtenir un couple équivalent au système dont il s'agit, il suffira de choisir ce couple de telle sorte que son moment linéaire ait pour projections algébriques sur les axes les trois quantités

Pour y parvenir, on tracera un demi-axe qui fasse avec ceux des coordonnées positives des angles dont les cosinus soient respectivement

On mènera par un point quelconque de Tespace un plan perpendiculaire à ce demi-axe, et par deux points pris arbitrairement dans ce plan deux parallèles quelconques. Enfin on divisera le radical VL'4-M*-+-]N' par la distance des deux parallèles, puis on portera sur elles, dans des sens opposés, deux forces égales représentées par ce quo-

tient et dirigées de manière que chacune tende à faîie tourner le plan de droite à gauche, soit autour du demiaxe primitivement construit, soit autour d'un demi-axe parallèle dont l'origine coïnciderait avec le point d'application de l'autre force. Il résulte de ces observations qu'après avoir obtenu un couple équivalent au système donné, on pourra, sans changer Teffet de ce couple relativement à l'équilibre, transporter son plan parallèlement à lui-même partout où Ton voudra, et faire varier arbitrairement dans ce plan^ non-seulement les points d'application des deux forces, mais encore les droites suivant lesquelles elles agissent. Ces droites étant supposées connues, on en déduira immédiatement l'intensité de chaque force. Il est bien entendu que les points d'application des deux forces du couple sont censés liés invariablement Vun à Tautre et à tous les points que Ton considère.

51, Si pour le système de forces donné l'équation (6) cessait d'être vérifiée, on pourrait lui substituer la réunion de deux autres tellement choisis, que les sommes des projections algébriques des forces et de leurs moments linéaires fussent respectivement :

Pour le premier système,

Et pour le sscond,

Oj o, o, X', M, N.

Le premier des deux nouveaux systèmes pourrait être remplacé par la fiorce prindpale appliquée à Torigine des coordonnées et le second par un Icouple. Par suite, cette force et ce couple réunis seraient équivalents au système donné. De plus, il serait permis de faire passer le plan du couple par ToriginCf et même d'appliquer à cette originç une des forces du couple, en la suppost-^nt dirigée suivant

RÉDUCTIOlf DES SYSTÈMES DE FOECES. 89

Dne droite quelconque dans ce plan. Ajoutons que Torigine des coordonnées peut être transportée en un point quelconque de l'espace, d*où il suit que le système donné, quelles que soient les valeurs de X, Y, Z, L, M, N, pourra toujours être remplacé par la force principale appliquée à un point quelconque de Tespace et par un couple.

On arriverait aux mêmes conclusions, en considérant ce système comme formé par la réunion de deux autres pour lesquels les sommes des projections algébriques des forces et de leurs moments linéaires seraient respectivement de la forme

0, o, o, L — /,Z-h»iY, M— ZtX+x.Z, N— ar,YH-j^,X.

Le couple qui, joint à la force principale, peut remplacer un système donné, est ce que nous nommerons le couple principal de ce système. D*aprèsce qu'on vient de dire, ce couple principal dépend du point d'application de la force principale, et son moment linéaire est égal et parallèle au moment linéaire principal, quand on prend le point dont il s'agit pour centre des moments.

Comme^ dans le cas où Ton applique au même point la force principale et une force du couple principal, rien n'empêche de composer ensuite ces deux forces entre elles, il est clair qu'on pourra, si Ton veut, substituer au système donné, au lieu d*une force et d'un couple, un système composé de deux forces seulement.

52. Nous terminerons en observant que Téquation (6) est satisfaite dans deux cas dignes de remarque, savoir : 1** quand les forces données sont parallèles à une même droite, par exemple à Taxe des 2, puisque Tou a dans celte hypothèse

go STATIVJUE.

a" quaad elles sont comprises dans un même plan, par exemple dans le plan des jy, puisqu'on a dans ce cas

On en conclut que dans Tune et Tautre hypothèse le système donné peut être réduit soit à une force unique, soit a un couple unique de deux forces parallèles à Taxe des z ou comprises dans le plan des xy. Ajoutons que les quantités X, Y^ Z, L, M, N ayant des valeurs quelconques^ on pourra toujours décomposer le système qui leur correspond en deux autres tellement choisis, que ces mêmes quantités deviennent respectivement :

Pour le premier système,

Pour le socond,

par conséquent en deux systèmes, dont l'un renferme seulement des forces parallèles a Taxe des 2, et Tautredes forces compnses dans le plan des xy.

53. Nous avons fait voir qu'un système de forces, ap« pliquées à des points liés invariablement entre eux, pouvait toujours être remplacé par la force principale appliquée à un point quelconque de Tespace et par un couple; qu en outre il était permis de supposer l'une des forces du couple appliquée au même point que la force principale, et dirigée suivant une droite menée arbitrairement par ce point dans le plan du couple. En partant de ces principes, nous trouverons facilement les conditions d'équilibre d'un système invariable retenu par un ou deux points fixes.

Concevons d'abord que le système invariable soit retenu par un point fixe et prenons ce point fixe pour origine des coordonnées. Soient à l'ordinaire X, Y,Z,L, M, N, les sommes des projections algébriques des forces données et

ÉQUILIBRE AUTOtIR DVN POINT FIXE. 9I

des projections algébriques de leurs moments linéaires, Torigine étant prise pour centre des moments ; le système de ces mêmes forces pourra être remplacé par la force principale

appliquée à Torigine, et par un couple de deux forces Q qui agiraient en sens contraires suivant deux droites parallèles, séparées Tune de Tautre par la distance D, Tintensilé Q de chaque force étant liée à la distance D par Téqualion

QD = \/ï7+lÂM^.

Ajoutons qu^il sera permis d'appliquer la première force du couple, aussi bien que la force R, au point fixe, pris pour origine des coordonnées. Alors cesdeux forces se trouveront immédiatement détruites par la résistance du point fixe, et la deuxième force du couplé pourra seule produire un mouvement de rotation autour de ce point. Pour que toute tendance à un semblable mouvement disparaisse, ou, en d'autres termes, pour que l'équilibre subsiste, il sera nécessaire et il suffira que la deuxième force du couple s^évanouîsse ou passe par Torigine, c^est-â-dirc que l'un des facteurs Q et D du produit QD s'évanouisse; par suite il sera nécessaire et il suffira que ce produit lui-même se réduise à zéro^ ce qui donnera l'équation

à laquelle on pourra substituer les trois suivantes : (8) L = o, • M=o, N = o.

En conséquence, des six équations d'équilibre qui se rapportent à un système invariable libre dans Tespace, les trois dernières subsistent seules, lorsque ce systèm<; rst assujetti à lounier autour d'un point fixe, et que ce

g 2 STATIQUE.

point fixe est pris pour origine des coordonnées. Ces trois dernières équations expriment que pour le système donné le moment linéaire principal relatif à Torigine s'évanouit.

Si le système des forces données était composé seulement de deux forces P, P^ son moment linéaire principal ne pourrait être nul qu^autant que les moments linéaires des deux forces seraient égaux et directement opposés, ou, ce qui revient au même, qu^autant que les deux forces seraient comprises dans un même plan passant par Porigine des coordonnées, et auraient dans ce plan des moments égaux. On arriverait aux mêmes conclusions en partant des équations (8) qui, dans le cas présent, prendraient la forme

Pp ces \ + P'p' cos X' == o, Pp cos fX + V'p' cos pi' = o , Pp cosv + P'/?' cosv' = o.

L'équilibre que nous venons de considérer est évidemment celui d'un let^ier coudé qui a pour point d'appui l'origine des coordonnées, et pour bras les droites invariables menées de cette origine aux points d'application des forces P, P'. Les deux forces devant avoir des moments égaux dans le cas d'équilibre, seront alors eu raison inverse des perpendiculaires abaissées de l'origine sur leurs directions. Si le levier est droit, et que les deux forces soient parallèles, on pourra substituer, à la raison inverse des perpendiculaires, la raison inverse des deux bras de levier.

5i. Passons maintenant à l'équilibre d'un système invanable autour de deux points fixes, ou, ce qui revient nu même, autour d'un axe fixe, et prenons cet axe pour axe des z. En conservant les mêmes notations que ci-

ÉQUILIBRE AUTOUR DVH AXE FIXE. q3

dessus, on pourra toujours remplacer le système des forces données par la force principale

appliquée à l'origine, et par deux forces Q formant un couple dont le moment QD sera déterminé par IVquation

QD = \/u 4- M» -t- N'.

L'origine se trouvant située sur l'axe fixe, et par suite étant elle-même un point fixe, si on lui applique, ce qui est permis, la première force du couple aussi bien que la force R, la deuxième force du couple pourra seule produire un mouvement de rotation du système invariable autour de l'axe fixe. Pour que ce mouvement devienne impossible, il sera nécessaire et il suffira que la deuxième force du couple agisse suivant une direction qui coupe l'axe des z, ou, en d'autres termes, que le plan du couple passe par l'axe des z. Cette condition sera remplie si le moment linéaire du couple est perpendiculaire à l'axe des js, auquel cas sa projection algébrique sur cet axe, c'est-à-dire la quantité N, devra se réduire à zéro. Donc, pour le système invariable assujetti à ne pouvoir que tourner autour de l'axe des z, une seule équation d'équilibre subsiste, savoir l'équation

Lorsque les forces données se réduisent à deux, l'espèce d'équilibre que l'on vient de considérer se réduit à l'équilibre du treuil.

On prouverait de même que l'équation M = o exprime la condition unique d'équilibre dans le cas où Ton fixe l'axe des y, et l'équalion L= o dans le cas où Fou fixe l'axe des x.